Movatterモバイル変換

Número de Bernoulli

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Números de BernoulliB±
n
n	fracción	decimal
0	1	+1.000000000
1	±1/2	±0.500000000
2		+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	−1/30	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6		+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	−1/30	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10		+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	−691/2730	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14		+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	−3617/510	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18		+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	−174611/330	−529.1242424

Enmatemáticas, osnúmeros de BernoulliB_n son unhasucesión denúmeros racionais que ocorren con frecuencia naanálise matemática. Os números de Bernoulli aparecen na (e poden definirse por) expansión daserie de Taylor das funciónstanxente etanxente hiperbólica, nafórmula de Faulhaber para a suma dasm-avas potencias dos primeirosn enteiros positivos, nafórmula de Euler-Maclaurin, e en expresións para certos valores dafunción zeta de Riemann.

Os valores dos primeiros 20 números de Bernoulli están indicados na táboa adxacente. Na literatura utilízanse dúas convencións, denotadas aquí por $B_{n}^{-{}}$ e $B_{n}^{+{}}$ ; difiren só paran = 1, onde $B_{1}^{-{}}=-1/2$ e $B_{1}^{+{}}=+1/2$ . Para todo imparn > 1,B_n = 0. Para todon > 0 par,B_n é negativo sen é divisíbel por 4 e positivo no caso contrario. Os números de Bernoulli son valores especiais dospolinomios de Bernoulli $B_{n}(x)$ , con $B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)$ e $B_{n}^{+}=B_{n}(1)$ .^[1]

Notación

[editar |editar a fonte]

O superíndice± usado neste artigo distingue as dúas convencións de signos para os números de Bernoulli. Só afecta ao termon = 1:

B−
n withB−
1 = −1/2B−
1 = −1/2 ((secuenciaA027641 naOEIS) / (secuenciaA027642 naOEIS)) é a convención de signos prescrita polo NIST e a maioría dos libros de texto modernos.^[2]
B+
n withB+
1 = +1/2B+
1 = +1/2 ((secuenciaA164555 naOEIS) / (secuenciaA027642 naOEIS)) utilizouse nos artigos antigos,^[1] e (desde 2022) porDonald Knuth seguindo o "Bernoulli Manifesto" de Peter Luschny.

Nas fórmulas seguintes, pódese mudar dunha convención de signos a outra coa relación $B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}$ , ou para o número enteiron = 2 ou maior, simplemente ignoralo.

Dado queB_n = 0 para todosn > 1, e moitas fórmulas só implican números de Bernoulli de índice par, algúns autores escriben "B_n" en lugar deB_2n . Este artigo non segue esa notación.

Historia

[editar |editar a fonte]

Primeiros tempos

[editar |editar a fonte]

Os números de Bernoulli teñen raíces na historia do cálculo de sumas de potencias enteiras, que foron de interese para os matemáticos desde a antigüidade.

Unha páxina doKatsuyō Sanpō de Seki Takakazu (1712), que tabula coeficientes binomiais e números de Bernoulli.

O resultado de Bernoulli foi publicado póstumamente enArs Conjectandi en 1713.Seki Takakazu descubriu independentemente os números de Bernoulli e o seu resultado foi publicado un ano antes, tamén póstumamente, en 1712.^[3] Porén, Seki non presentou o seu método como unha fórmula baseada nunha secuencia de constantes.

A fórmula de Bernoulli para as sumas de potencias é a formulación máis útil e xeneralizábel ata a data. Os coeficientes da fórmula de Bernoulli chámanse agora números de Bernoulli, seguindo unha suxestión deAbraham de Moivre.

A fórmula de Bernoulli chámase ás vecesfórmula de Faulhaber porJohann Faulhaber quen atopou formas notábeis de calcular a suma de potencias pero nunca enunciou a fórmula de Bernoulli. Segundo Knuth^[4]Carl Jacobi publicou por primeira vez unha proba rigorosa da fórmula de Faulhaber en 1834.^[5]

Reconstrución de "Summae Potestatum"

[editar |editar a fonte]

"Summae Potestatum", de Jakob Bernoulli, 1713⋮^[6]

Os números de Bernoulli (secuenciaA164555 naOEIS) (n)/ OEIS (secuenciaA027642 naOEIS) (n) foron introducidos por Jakob Bernoulli no libroArs Conjectandi publicado póstumamente en 1713, páxina 97. A fórmula principal pódese ver na segunda metade do facsímile correspondente. Os coeficientes constantes denotadosA,B,C eD por Bernoulli son mapeados coa notación que agora prevalece comoA =B₂,B =B₄,C =B₆,D =B₈. A expresiónc·c−1·c−2·c−3 significac·(c−1)·(c−2)·(c−3), os pequenos puntos úsanse como símbolos de agrupación.

Usando a terminoloxía actual estas expresións sonfactoriais descendentesc^k. A notación factorialk! como atallo para1 × 2 × ... ×k non se introduciu ata 100 anos despois. O símbolo integral do lado esquerdo remóntase aGottfried Wilhelm Leibniz en 1675 que o usou como unha letra longaS para "summa" (suma). A letran do lado esquerdo non é un índice desuma, senón que dá o límite superior do intervalo de suma que debe entenderse como1, 2, ...,n . Xuntando estas cousas, para unc positivo, hoxe é probábel que un matemático escriba a fórmula de Bernoulli como:

\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.

Esta fórmula suxire estabelecerB₁ =1/2, así temos

\sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}

seB₁ = 1/2, recuperando o valor que Bernoulli lle deu ao coeficiente nesa posición.

A fórmula para $\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}$ na primeira metade da cita de Bernoulli anterior contén un erro no último termo; debería ser $-{\tfrac {3}{20}}n^{2}$ en vez de $-{\tfrac {1}{12}}n^{2}$ .

Definicións

[editar |editar a fonte]

Atopáronse moitas caracterizacións dos números de Bernoulli nos últimos 300 anos, e cada unha delas podería usarse para introducir estes números. Aquí só se mencionan catro das máis útiles:

unha ecuación recursiva,
unha fórmula explícita,
unha función xeradora,
unha expresión integral.

Para a proba da equivalencia dos catro enfoques podemos ver a referencia de Ireland e Rosen^[7].

Definición recursiva

[editar |editar a fonte]

Os números de Bernoulli obedecen ás fórmulas de suma^[1]

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}

onde $m=0,1,2...$ eδ denota odelta de Kronecker.

A primeira delas ás veces escríbese como a fórmula (para m > 1)

(B+1)^{m}-B_{m}=0,

onde a potencia se expande formalmente usando o teorema binomial e $B^{k}$ substitúese por $B_{k}$ .

Resolvendo para $B_{m}^{\mp {}}$ dá as fórmulas recursivas

{\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}},\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}

Definición explícita

[editar |editar a fonte]

En 1893 Louis Saalschütz enumerou un total de 38 fórmulas explícitas para os números de Bernoulli,^[8] normalmente dando algunha referencia na literatura máis antiga. Unha delas é (por $m\geq 1$ ):

{\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m},\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}

Función xeradora

[editar |editar a fonte]

Asfuncións xeradoras exponenciais son

{\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}},\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}

Afunción xeradora ordinaria

z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}

é unhaserie asintótica. Contén afunción trigammaψ₁ (segunda derivada do logaritmo dafunción gamma).

Expresión con integral

[editar |editar a fonte]

Das funcións xeradoras anteriores, pódese obter a seguinte fórmula con integral para os números pares de Bernoulli:

B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t

Os números de Bernoulli e a función zeta de Riemann

[editar |editar a fonte]

Os números de Bernoulli dados pola función zeta de Riemann.

Os números de Bernoulli pódense expresar en termos dafunción zeta de Riemann:

B+
n = −n ζ(1 −n) paran ≥ 1.

Aquí o argumento da función zeta é0 ou negativo. Como $\zeta (k)$ é cero para os enteiros pares negativos (osceros triviais), sen>1 é impar, $\zeta (1-n)$ é cero.

Mediante aecuación funcional da zeta e afórmula de reflexión gamma pódese obter a seguinte relación:^[9]

B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad

paran ≥ 1.

Agora o argumento da función zeta é positivo.

Deζ → 1 (n → ∞ ) eda fórmula de Stirling despréndese que

|B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad

paran → ∞.

Análise asintótica

[editar |editar a fonte]

Artigo principal:Formula de Euler-Maclaurin.

Sen dúbida, a aplicación máis importante dos números de Bernoulli en matemáticas é o seu uso nafórmula de Euler-Maclaurin. A fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresións para a diferenza entre a suma e a integral en termos daderivada máis altaf^(k)(x) avaliada nos extremos do intervalo.

Asumindo quef é unha función suficientemene diferenciábel (k veces diferenciábel) , a fórmula de Euler-Maclaurin pódese escribir como^[10]

\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).

Esta formulación asume a convenciónB−
1 = −1/2.

\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).

Aquí $f^{(0)}=f$ (é dicir, a derivada de orde cero de $f {\displaystyle f}$ é xusto $f {\displaystyle f}$ ). Alén diso, sexa $f^{(-1)}$ aantiderivada de $f {\displaystyle f}$ . Segundo oteorema fundamental do cálculo temos,

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).

Así, a última fórmula pódese simplificar aínda máis á seguinte forma sucinta da fórmula de Euler-Maclaurin

\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).

Onde $R(f,m)$ é otermo de erro, que adoita ser pequeno para valores adecuados dek.

Esta forma é, por exemplo, a fonte da importante expansión de Euler-Maclaurin da función zeta

{\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}

Aquís^k denota ofactorial ascendente.^[10]

Os números de Bernoulli tamén se usan con frecuencia noutros tipos deexpansións asintóticas. O seguinte exemplo é a clásica expansión asintótica de tipo Poincaré dafunción digammaψ (derivada do logaritmo dafunción gamma).

\psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}

Suma de potencias

[editar |editar a fonte]

Os números de Bernoulli teñen un lugar destacado na expresión enforma pechada da suma das potenciasm-ésimas dos primeirosn números enteiros positivos. Param,n ≥ 0 definimos

S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.

Esta expresión sempre pode reescribirse como unpolinomio enn de graom + 1. Oscoeficientes destes polinomios están relacionados cos números de Bernoulli polafórmula de Bernoulli:

S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},

onde(m + 1
k) denota ocoeficiente binomial.

Por exemplo, tomandom como 1 dá osnúmeros triangulares0, 1, 3, 6, ... (secuenciaA000217 naOEIS).

1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).

Serie de Taylor

[editar |editar a fonte]

Os números de Bernoulli aparecen na expansión daserie de Taylor de moitasfuncións trigonométricas efuncións hiperbólicas.

{\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}

Serie Laurent

[editar |editar a fonte]

Os números de Bernoulli aparecen naserie de Laurent^[11] dafunción digamma: $\psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}$ .

Conexións con números combinatorios

[editar |editar a fonte]

A conexión do número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios baséase na teoría clásica das diferenzas finitas e na interpretación combinatoria dos números de Bernoulli como exemplo dun principio combinatorio fundamental, oprincipio de inclusión-exclusión.

Conexión cos números de Stirling do segundo tipo

[editar |editar a fonte]

Se se definen ospolinomios de BernoulliB_k(j) como:^[12]

B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}

ondeB_k parak = 0, 1, 2,... son os números de Bernoulli eS(k,m) é unnúmero de Stirling do segundo tipo.

Tamén obtemos o seguinte para os polinomios de Bernoulli,^[12]

B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.

O coeficiente dej en(j
m + 1) é(−1)^m/m + 1.

Comparando o coeficiente dej nas dúas expresións dos polinomios de Bernoulli temos:

B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)

que é unhafórmula explícita para os números de Bernoulli e pode usarse para demostrar oTeorema de Von-Staudt Clausen.^[13]^[14]^[15].

Conexión cos números de Stirling do primeiro tipo

[editar |editar a fonte]

As dúas fórmulas principais que relacionan osnúmeros de Stirling sen signo do primeiro tipo[n
m] cos números de Bernoulli (conB₁ = +1/2) son:

{\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},

e a inversión desta suma (paran ≥ 0,m ≥ 0 )

{\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.

Aquí o númeroA_n,m son os números racionais de Akiyama-Tanigawa, os primeiros deles aparecen na seguinte táboa.

número de Akiyama-Tanigawa
m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	...
2	1/6	1/6	3/20	...	...
3	0	1/30	...	...	...
4	−1/30	...	...	...	...

Os números de Akiyama-Tanigawa satisfán unharelación de recorrencia sinxela que se pode explotar para calcular iterativamente os números de Bernoulli. Ver (secuenciaA051714 naOEIS) / (secuenciaA051715 naOEIS).

Conexión co triángulo de Pascal

[editar |editar a fonte]

Hai fórmulas que conectan o triángulo de Pascal cos números de Bernoulli^[a]

B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~

onde $|A_{n}|$ é o determinante dunhamatriz de Hessenberg da parte n-por-n dotriángulo de Pascal cuxos elementos son: $a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{se }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{noutro caso}}\end{cases}}$

Exemplo:

B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}

Relación cos números eulerianos

[editar |editar a fonte]

Hai fórmulas que relacionan osnúmeros eulerianos⟨n
m⟩ cos números de Bernoulli:

{\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}

Ambas as fórmulas son válidas paran ≥ 0 seB₁ se vale1/2. SeB₁ vale −1/2 só son válidas paran ≥ 1 en ≥ 2 respectivamente.

Representación integral e continuación analítica

[editar |editar a fonte]

Aintegral

b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}

ten como valores especiaisb(2n) =B_2n paran > 0 .

Por exemplo,b(3) =3/2ζ(3)π⁻³i eb(5) = −15/2ζ(5)π⁻⁵i. Onde,ζ denota aFunción zeta de Riemann, ei denota aunidade imaxinaria.

Leonhard Euler (Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 10, p. 351) considerou estes números e calculou

{\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}

Outra representaciónintegral similar é

b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.

A relación cos números de Euler eπ

[editar |editar a fonte]

Osnúmeros de Euler son unha sucesión de números enteiros intimamente relacionados cos números de Bernoulli. Comparando as expansións asintóticas dos números de Bernoulli e de Euler mostran que os números de EulerE_2n teñen unha magnitude aproximadamente2/π(4²ⁿ − 2²ⁿ) veces maior que os números de BernoulliB_2n.

En consecuencia:

\pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.

Esta ecuación asintótica revela queπ reside na raíz común tanto dos números de Bernoulli como dos de Euler. De feitoπ podería calcularse a partir destas aproximacións racionais.

Os números de Bernoulli pódense expresar a través dos números de Euler e viceversa. Xa que, paran impar,B_n =E_n = 0 (coa excepción deB₁), abonda con considerar o caso candon é par.

{\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}

Unha visión algorítmica: o triángulo de Seidel

[editar |editar a fonte]

A secuenciaS_n ten outra propiedade inesperada pero importante: os denominadores deS_n+1 dividen o factorial den. Noutras palabras: os númerosT_n=S_{n + 1}n! son números enteiros. Ás veces chamadosnúmeros en zigzag de Euler ou permutacións alternadas.

T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots

((secuenciaA000111 naOEIS)). Consulte ((secuenciaA253671 naOEIS)).

A súafunción xeradora exponencial é a suma das funciónssecante etanxente.

\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x

Así, as representacións anteriores dos números de Bernoulli e Euler poden reescribirse en termos desta secuencia como

{\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ par}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ par}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}

Estas identidades facilitan o cálculo dos números de Bernoulli e Euler: os números de EulerE_2n veñen dados inmediatamente por T_2n e os números de BernoulliB_2n son fraccións obtidas deT_{2n - 1} mediante un troco sinxelo, evitando a aritmética racional.

O que fica é atopar un xeito cómodo de calcular os númerosT_n. Porén, xa en 1877Philipp Ludwig von Seidel publicou un enxeñoso algoritmo, que facilita o cálculo deT_n.^[16]

{\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}

Algoritmo de Seidel paraT_n

Comece poñendo 1 na fila 0 e sexak o número da fila que se está a cubrir actualmente.
Sek é impar, poña o número no extremo esquerdo da filak - 1 na primeira posición da filak, e encha a fila de esquerda a dereita, sendo cada entrada a suma do número á esquerda e o número na parte superior.
Ao final da fila duplique o último número.
Sek é par, proceda de xeito similar na outra dirección.

O algoritmo de Seidel é de feito moito máis xeral (ver a exposición de Dominique Dumont^[17]) e foi redescuberto varias veces despois.

Similar ao enfoque de Seidel, D. E. Knuth e T. J. Buckholtz deron unha ecuación de recorrencia para os númerosT_2n e recomendaron este método para calcularB_2n eE_2n "en computadoras electrónicas usando só operacións simples en números enteiros".^[18]

V. I. Arnold^[19] redescubriu o algoritmo de Seidel e máis tarde Millar, Sloane e Young popularizaron o algoritmo de Seidel baixo o nome detransformada do bustrófedon (ondeBustrófedon fai referencia a un sistema de escritura que muda alternativamente de sentido de liña en liña).

Propiedades aritméticas dos números de Bernoulli

[editar |editar a fonte]

Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann comoB_n = −nζ(1 −n) para números enteirosn ≥ 0 (paran = 0 a expresión−nζ(1 −n) enténdese como o valor límite).

Isto relaciónaos intimamente cos valores da función zeta en números enteiros negativos. Como tal, podería esperarse que teñan propiedades aritméticas profundas. Por exemplo, aconxectura de Agoh-Giuga postula quep é un número primo se e só sepB_{p − 1} é congruente con −1 módulop.

Por un teorema de Kummer as propiedades de divisibilidade dos números de Bernoulli están relacionadas cosgrupo de clases de ideais doscorpos ciclotómicos. Nunha versión máis forte temos oteorema de Herbrand-Ribet. E unha relación a maiores cos números de clase de corpos cadráticos reais polacongruencia de Ankeny-Artin-Chowla.

Os teoremas de Kummer

[editar |editar a fonte]

Artigo principal:Congruencia de Kummer.

Os números de Bernoulli están relacionados coÚltimo Teorema de Fermat (FLT) polo teorema deKummer,^[20] que di:

Se o primo imparp non divide ningún dos numeradores dos números de BernoulliB₂,B₄, ...,B_{p − 3} daquelax^p +y^p +z^p = 0 non ten solucións en números enteiros distintos de cero.

Os números primos con esta propiedade chámanseprimos regulares.

Outro resultado clásico de Kummer son as seguintescongruencias.^[21]

Sexap un número primo impar eb un número par tal quep − 1 non divida b. Entón, para calquera número enteiro non negativok

{\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.

Unha xeneralización destas congruencias leva o nome de continuidadep-ádica.

Continuidadep-ádica

[editar |editar a fonte]

(Para unha introdución aos números p-ádicos vernúmero p-ádico).

Seb,m en son números enteiros positivos tal quem en non son divisíbeis porp − 1 em ≡n (modp^{b − 1} (p − 1)), entón

(1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.

Dado queB_n = −nζ(1 −n), isto tamén se pode escribir como

\left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},

ondeu = 1 −m ev = 1 −n, polo que queu ev non son positivos e non son congruentes con 1 módulop − 1.

Isto indícanos que a función zeta de Riemann, con1 −p^−s eliminado da fórmula do produto de Euler, é continua nosnúmerosp-ádicos en enteiros negativos impares congruentes módulop − 1 a un determinado ${\textstyle a\not \equiv 1{\pmod {p-1}}}$ , polo que se pode estender a unha función continuaζ_p(s) para todos osp-ádicos enteiros $\mathbb {Z} _{p},$ afunción zetap-ádica.

Congruencias de Ramanujan

[editar |editar a fonte]

As seguintes relacións, debidas aRamanujan, proporcionan un método para calcular números de Bernoulli que é máis eficiente que o dado pola súa definición recursiva orixinal:

{\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{se }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{se }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{se }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}

Notas

[editar |editar a fonte]

↑^1,0^1,1^1,2Weisstein, Eric W.,"Bernoulli Number",MathWorld
↑Arfken (1970), p. 278.
↑Selin, Helaine, ed. (1997).Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer. p. 819 (p. 891).ISBN 0-7923-4066-3.
↑Knuth (1993).
↑Jacobi, C.G.J. (1834)."De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae".Journal für die reine und angewandte Mathematik12: 263–272.
↑
- Smith, David Eugene (1929)."A Source Book in Mathematics 8capítulo: Jacques (I) Bernoulli: On the 'Bernoulli Numbers')". New York: McGraw-Hill Book Co. pp. 85–90.
- Bernoulli, Jacob (1713)."Ars Conjectandi". Basel: Impensis Thurnisiorum, Fratrum. pp. 97–98.doi:10.5479/sil.262971.39088000323931. }}
↑VerIreland & Rosen (1990) ouConway & Guy (1996).
↑Saalschütz, Louis (1893).Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen. Berlin: Julius Springer.ISBN 978-3-662-40711-0. .
↑Arfken (1970), p. 279.
↑^10,0^10,1Graham, Knuth & Patashnik (1989).
↑Arfken (1970), p. 463.
↑^12,0^12,1Rademacher, H. (1973).Analytic Number Theory. New York City: Springer-Verlag. .
↑Boole, G. (1880).A treatise of the calculus of finite differences (3rd ed.). London: Macmillan. .
↑Gould, Henry W. (1972).Explicit formulas for Bernoulli numbers.Amer. Math. Monthly79. pp. 44–51.JSTOR 2978125.doi:10.2307/2978125.
↑Apostol, Tom M. (2010).Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. p. 197.
↑Seidel, L. (1877).Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen.Sitzungsber. Münch. Akad.4. pp. 157–187.
↑Dumont, D. (1981)."Matrices d'Euler-Seidel".Séminaire Lotharingien de Combinatoire.
↑Knuth, D. E.; Buckholtz, T. J. (1967). "Computation of Tangent, Euler, and Bernoulli Numbers".Mathematics of Computation (American Mathematical Society)21 (100): 663–688.JSTOR 2005010.doi:10.2307/2005010.
↑Arnold, V. I. (1991). "Bernoulli-Euler updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics".Duke Math. J.63 (2): 537–555.doi:10.1215/s0012-7094-91-06323-4.
↑Kummer, E. E. (1850).Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x^λ + y^λ = z^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen.J. Reine Angew. Math.40. pp. 131–138.
↑Kummer, E. E. (1851)."Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen".J. Reine Angew. Math. pp. 368–372.

↑esta fórmula foi descuberta (ou quizais redescuberta) por Giorgio Pietrocola. A súa demostración está dispoñíbel en lingua italiana(Pietrocola 2008).

Véxase tamén

[editar |editar a fonte]

Bibliografía

[editar |editar a fonte]

Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1972). "§23.1: Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula".Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9th printing ed.). New York: Dover Publications. pp. 804–806. .
Arfken, George (1970).Mathematical methods for physicists (2nd ed.). Academic Press.ISBN 978-0120598519.
Arlettaz, D. (1998). "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie".Math. Semesterber45: 61–75.doi:10.1007/s005910050037. .
Ayoub, A. (1981).Euler and the Zeta Function.Amer. Math. Monthly74. pp. 1067–1086.JSTOR 2319041.doi:10.2307/2319041. .
Conway, John;Guy, Richard (1996).The Book of Numbers. Springer-Verlag. .
Dilcher, K.; Skula, L.; Slavutskii, I. Sh. (1991).Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990).Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics (Kingston, Ontario). .
Dumont, D.; Viennot, G. (1980).A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers.Ann. Discrete Math. Annals of Discrete Mathematics6. pp. 77–87.ISBN 978-0-444-86048-4.doi:10.1016/S0167-5060(08)70696-4. .
Entringer, R. C. (1966).A combinatorial interpretation of the Euler and Bernoulli numbers.Nieuw. Arch. V. Wiskunde14. pp. 241–6. .
Fee, G.; Plouffe, S. (2007), "An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers",arXiv:math/0702300

Graham, R.;Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989).Concrete Mathematics (2nd ed.). Addison-Wesley.ISBN 0-201-55802-5.
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990).A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer-Verlag.ISBN 0-387-97329-X.
Jordan, Charles (1950).Calculus of Finite Differences. New York: Chelsea Publ. Co. .
Kaneko, M. (2000).The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers.Journal of Integer Sequences12. p. 29.Bibcode:2000JIntS...3...29K. .
Knuth, D. E. (1993).Johann Faulhaber and the Sums of Powers.Mathematics of Computation61 (American Mathematical Society). pp. 277–294.JSTOR 2152953.arXiv:math/9207222.doi:10.2307/2152953.
Luschny, Peter (2007)."An inclusion of the Bernoulli numbers". .
Luschny, Peter (8 October 2011).TheLostBernoulliNumbers.OeisWiki. Consultado o11 May 2019. .
"The Mathematics Genealogy Project". Fargo: Department of Mathematics, North Dakota State University. n.d. Arquivado dendeo orixinal o 10 May 2019. Consultado o11 May 2019. .
Miller, Jeff (23 June 2017)."Earliest Uses of Symbols of Calculus".Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Consultado o11 May 2019. .
Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). "Appendix B: Bernoulli Numbers".Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies76. Princeton University Press and University of Tokyo Press. pp. 281–287. .
Pietrocola, Giorgio (outubro 31, 2008)."Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di potenze di interi successivi (Corollario 2b)".Maecla. Consultado o 8 de abril de 2017. .
Slavutskii, Ilya Sh. (1995).Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers.Historia Scientiarum2. pp. 69–74. .
von Staudt, K. G. Ch. (1845). "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram".Erlangen. .
Sun, Zhi-Wei (2005–2006)."Some curious results on Bernoulli and Euler polynomials". Arquivado dendeo orixinal o 2001-10-31. .
Woon, S. C. (1998). "Generalization of a relation between the Riemann zeta function and Bernoulli numbers".arXiv:math.NT/9812143.