Un vector representado por dúas bases diferentes (frechas moradas e vermellas). Unhacombinación linear dunha base de vectores (morado) obtén novos vectores (vermello). Se sonlinearmente independentes, estes forman unha nova base. As combinacións lineares que relacionan a primeira base coa outra forman unhatransformación linear chamada mudanza de base.

Un mesmo vector representado por dúas bases diferentes (frechas moradas e vermellas).

Enmatemáticas, unhabase ordenada dunespazo vectorial dedimensiónn permite representar de forma única calquera elemento do espazo vectorial mediante unvector de coordenadas, que é unhasecuencia den escalares chamadoscoordenadas. Se se consideran dúas bases diferentes, o vector de coordenadas que representa un vectorv nunha base é, en xeral, diferente do vector de coordenadas que representav na outra base. Unhamudanza de base (oucambio de base) consiste en converter cada expresión en termos de coordenadas relativas a unha base noutra expresión en termos de coordenadas relativas á outra base.^[1][2][3]

Tal conversión resulta dafórmula de mudanza de base que expresa as coordenadas relativas a unha base en termos de coordenadas relativas á outra base. Usandomatrices, pódese escribir esta fórmula

${\displaystyle {\mathbf{X}}_{\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{a}}=A{\mathbf{X}}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{a}},}$

onde "antiga" e "nova" refírense respectivamente á base definida inicialmente e á outra base,${\displaystyle {\mathbf{X}}_{\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{a}}}$ e${\displaystyle {\mathbf{X}}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{a}}}$ son osvectores columna das coordenadas do mesmo vector nas dúas bases.${\displaystyle A}$ é amatriz da mudanza de base (tamén chamadamatriz de paso oumatriz de transformación), que é a matriz cuxas columnas son as coordenadas dos novos vectores base expresados na base antiga.

Unha mudanza de base ás veces chámasecambio de coordenadas, aínda que isto exclúe moitastransformacións de coordenadas.Para aplicacións enfísica e especialmente enmecánica, unha mudanza de base implica a miúdo a transformación dunhabase ortonormal, entendida como unharotación noespazo físico, excluíndo así astranslacións.

Este artigo trata principalmente de espazos vectoriais de dimensión finita. No entanto, moitos dos principios tamén son válidos para espazos vectoriais de dimensión infinita.

Sexa K uncorpo, E un K-espazo vectorial de dimensión finitan, e B, B' dúas bases de E.

A matriz${\displaystyle A}$,matriz de transformación de B a B', denotada como${\displaystyle {\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}^{{\mathrm{B}}^{\prime }}}$, é amatriz representativa daaplicación de identidade Id_E de E equipada coa base B' a E equipada coa base B:

• ${\displaystyle {\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}^{{\mathrm{B}}^{\prime }}={\mathcal{M}}_{{\mathrm{B}}^{\prime },\mathrm{B}}(\mathrm{I}{\mathrm{d}}_{\mathrm{E}})}$^[4].

Noutras palabras:

• se o mesmo vector de E ten como coordenadas asmatrices de columna X en B e X' en B', entón${\displaystyle \mathrm{X}={\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}^{{\mathrm{B}}^{\prime }}{\mathrm{X}}^{\prime }}$^[4]

ou, equivalentemente:

• ${\displaystyle {\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}^{{\mathrm{B}}^{\prime }}}$ é igual a${\displaystyle {\mathcal{M}}_{\mathrm{B}}({\mathrm{B}}^{\prime })}$, é dicir, as súas columnas son as coordenadas dos vectores de B' expresadas na base B.

Por razónsmnemotécnicas, chamamos B' á nova base, B á base antiga. Observarase que nas dúas primeiras descricións dadas as bases aparecen na orde contraria á da terminoloxía. A terceira pódese detallar do seguinte xeito: se${\displaystyle \mathrm{B}=(e_1,\dots ,e_n)}$ e${\displaystyle {\mathrm{B}}^{\prime }=(e_1^{\prime },\dots ,e_n^{\prime })}$ onde${\displaystyle e_j^{\prime }=\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{e}_i}$ para${\displaystyle j=1,\dots ,n}$, entón

${\displaystyle {\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}^{{\mathrm{B}}^{\prime }}=(a_{i,j}{)}_{i,j=1}^n\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})}$.

Como xa se mencionou, se un vector de E ten coordenadas X e X' en dúas bases B e B', entón${\displaystyle \mathrm{X}={\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}^{{\mathrm{B}}^{\prime }}{\mathrm{X}}^{\prime }}$.

Considere oespazo euclidiano ℝ³ equipado coa súa base canónica B(e₁,e₂,e₃), "base antiga" ortonormal directa.

Homotecia

A nova base B'(e'₁,e'₂,e'₃) obtense mediante unhahomotecia de factork. Temos así:

e'₁ =k e₁;

e'₂ =k e₂;

e'₃ =k e₃.

A matriz de paso escríbese como

Sexa un vectorx de compoñentes (X₁, X₂, X₃) en B e (X'₁, X'₂, X'₃) en B'. Temos:

Rotación da base

A nova base B'(e'₁,e'₂,e'₃) obtense medianterotación por un ángulo α en torno ao eixo e₃. Temos así:

e'₁ = cos(α)e₁ + sin(α)e₂;

e'₂ = –sin(α)e₁ + cos(α)e₂;

e'₃ =e₃.

A matriz de paso escríbese como

Sexa un vectorx de compoñentes (X₁, X₂, X₃) en B e (X'₁, X'₂, X'₃) en B'. Temos:

Unhafunción que ten un espazo vectorial comodominio adoita especificarse como unhafunción multivariante cuxas variábeis son as coordenadas nalgunha base do vector sobre o que se aplica a función.

Cando se muda a base, múdase aexpresión da función. Este cambio pódese calcular substituíndo as "vellas" coordenadas polas súas expresións en termos de "novas" coordenadas. Máis precisamente, sef(x) é a expresión da función en termos das coordenadas antigas, e sex =Ay é a fórmula de cambio de base, entónf(Ay) é a expresión da mesma función en termos das novas coordenadas.

Considere unmapa linearT:W →V desde unespazo vectorialW de dimensiónn ata un espazo vectorialV de dimensiónm. Represéntase en bases "vellas" deV eW mediante unha matrizm×nM. Un cambio de bases defínese por unha matriz de cambio de basem×mP paraV, e unha matriz de cambio de basen×nQ paraW.

Nas bases "novas", a matriz deT é

${\displaystyle P^{-1}MQ.}$

Esta é unha consecuencia directa da fórmula de mudanza de base.

Osendomorfismos son mapas lineares desde un espazo vectorialV ata si mesmo. Para un cambio de base, aplícase a fórmula do apartado anterior, coa mesma matriz de cambio de base a ambos os dous lados da fórmula. É dicir, seM é amatriz cadrada dun endomorfismo deV sobre unha base "vella", eP é unha matriz de cambio de base, entón a matriz do endomorfismo na base "nova" é

${\displaystyle P^{-1}MP.}$

Como todamatriz invertíbel pode usarse como unha matriz de cambio de base, isto implica que dúas matrices sonsemellantes se e só se representan o mesmo endomorfismo en dúas bases diferentes.

Unhaforma bilinear nun espazo vectorialV sobre uncorpoF é unha funciónV ×V → F que élinear en ambos os argumentos. É dicir,B :V ×V → F é bilinear se os mapas${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$e${\displaystyle v\mapsto B(w,v)}$son lineares para cada${\displaystyle w\in V}$ fixo.

A matrizB dunha forma bilinearB nunha base${\displaystyle (v_1,\dots ,v_n)}$ (a base "vella" no que segue) é a matriz cuxa entrada da filai e columnaj é${\displaystyle B(v_i,v_j)}$. Dedúcese que sev ew son os vectores columna das coordenadas de dous vectoresv ew, temos

${\displaystyle B(v,w)={\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}\mathbf{B}\mathbf{w},}$

onde${\displaystyle {\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}}$ denota atransposta da matrizv.

SeP é unha matriz de cambio de base, entón un cálculo sinxelo mostra que a matriz da forma bilinear na nova base é

${\displaystyle P^{\mathsf{T}}\mathbf{B}P.}$

Unhaforma bilinear simétrica é unha forma bilinearB tal que${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$ para todov ew enV. Dedúcese que a matriz deB en calquera base ésimétrica. Isto implica que a propiedade de ser unha matriz simétrica debe manterse mediante a fórmula de cambio de base anterior. Tamén se pode comprobar isto observando que a transposta dun produto matricial é o produto das transpostas calculadas na orde inversa. En particular,

${\displaystyle (P^{\mathsf{T}}\mathbf{B}P{)}^{\mathsf{T}}=P^{\mathsf{T}}{\mathbf{B}}^{\mathsf{T}}P,}$

e os dous membros desta ecuación son iguais a${\displaystyle P^{\mathsf{T}}\mathbf{B}P}$ se a matrizB é simétrica.

Se acaracterística do corpo baseF non é dous, entón para cada forma bilinear simétrica hai unha base para a que a matriz édiagonal. A maiores, as entradas diferentes de cero resultantes na diagonal defínenseata a multiplicación por un cadrado. Así, se o corpo base é o corpo${\displaystyle \mathbb{R}}$ dosnúmeros reais, estas entradas distintas de cero pódense escoller para que sexan1 ou–1. ALei da inercia de Sylvester é un teorema que afirma que a cantidade de números1 e–1 dependen só da forma bilinear, e non do cambio de base.

As formas bilineares simétricas sobre os reais atópanse a miúdo enxeometría efísica, normalmente no estudo doscuádricos e dainercia duncorpo ríxido. Nestes casos, asbases ortonormais son ​​especialmente útiles; isto significa que en xeral se prefire restrinxir os cambios de base a aqueles que teñen unha matriz de cambio de baseortogonal, é dicir, unha matriz tal que${\displaystyle P^{\mathsf{T}}=P^{-1}.}$ Esas matrices teñen a propiedade fundamental de que a fórmula de cambio de base é a mesma para unha forma bilinear simétrica e o endomorfismo representado pola mesma matriz simétrica.

OTeorema espectral afirma que, dada unha matriz simétrica dese tipo, hai un cambio de base ortogonal tal que a matriz resultante (tanto da forma bilinear como do endomorfismo) é unha matriz diagonal cosvalores propios da matriz inicial na diagonal. Dedúcese que, sobre os reais, se a matriz dun endomorfismo é simétrica, entón édiagonalizábel.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Mudanza de base

• Anton, Howard (1987).Elementary Linear Algebra (5th ed.). New York:Wiley.ISBN 0-471-84819-0. 
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973).A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields. Boston:Houghton Mifflin Company.ISBN 0-395-14017-X. 
• Nering, Evar D. (1970).Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.). New York:Wiley.LCCN 76091646. 

• Transformación activa e pasiva
• Covarianza e contravarianza de vectores
• Transformada integral, o análogo continuo da mudanza de base.
• Pesos de Chirgwin-Coulson; aplicación en química computacional

• MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis, de MIT OpenCourseWare
• Khan Academy Lecture on Change of Basis, de Khan Academy

• Álxebra lineal
• Física