Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Saltar ao contido
Wikipediaa Wikipedia en galego
Procura

Lei da gravitación universal

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Campo de gravidade preto da superficie da Terra. Móstrase un obxecto acelerando cara á superficie

Alei da gravitación universal afirma que, se dous corpos posúenmasa, ambos están sometidos a unhaforza de atracción mutua proporcional ás súas masas e inversamente proporcional ao cadrado da distancia que separa os seuscentros de gravidade.[1] Esta lei foi formulada polo físico inglésIsaac Newton na súa obraPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada en 1687, que describe a lei dagravitación universal e asleis de Newton, as tres leis dos corpos en movemento que se asentaron como fundamento damecánica clásica.[2]

Agravidade é unhaforza fundamental de atracción que actúa entre todos os obxectos por causa das súas masas, iso é, a cantidade demateria de que están constituídos. A gravidade mantén os obxectos celestes unidos e ligados, como osgases quentes contidos poloSol e osplanetas, confinados ás súasórbitas. A gravidade daLúa causa asmareas oceánicas naTerra. A causa da gravitación, os obxectos sobre a Terra son atraídos cara ao seu centro.

Historia

[editar |editar a fonte]
Isaac Newton, o primeiro que formulou a lei da gravitación universal

Aínda que os efectos da gravidade sexan fáciles de notar, a procura dunha explicación para a forza gravitacional ocupou o ser humano durante séculos. O filósofo gregoAristóteles emprendeu unha das primeiras tentativas de explicar como e por que os obxectos cen en dirección á Terra. Entre as súas conclusións, estaba a idea de que os obxectos pesados caen máis rápido que os leves. A pesar de que algúns se opuxesen a esa concepción, foi comunmente aceptada ata o fin doséculo XVII, cando as descubertas do científico italianoGalileo Galilei gañaron aceptación. De acordo con Galileo, todos os obxectos caían coa mesmaaceleración, a menos que aresistencia do ar ou algunha outra forza os frease.

Os antigos astrónomosgregos estudaran os movementos dosplanetas e daLúa. Entre tanto, o paradigma aceptado hoxe foi determinado porIsaac Newton, físico e matemático inglés, baseado en estudos e descubertas feitas polos físicos que ata entón investigaban o camiño da gravitación. Como o mesmo Newton dixo, chegou ás súas conclusións porque estaba "apoiado en ombreiros de xigantes". No inicio doséculo XVII, Newton baseou a súa explicación en coidadosas observacións dos movementos planetarios feitas porTycho Brahe e porJohannes Kepler. Estudou o mecanismo que facía que a Lúa xirase arredor da Terra e estudando os principios elaborados porGalileo Galilei e por Kepler, conseguiu elaborar unha teoría que dicía que todos os corpos que posuían masa sufrirían atracción entre si. Newton nosPrincipia menciona como referencias varios pioneiros[3] que inclúen aBullialdus,[4] que suxeriu sen demostralo que existían unha forza dende o Sol que era proporcional ao cadrado da distancia, eBorelli,[5] que suxeriu, tamén sen demostración, que había unha tendencia centrífuga no movemento dos planetas que estaba a ser contrarrestada por outra forza dirixida cara ao Sol. D. T. Whiteside escribiu que a inspiración de Newton veu principalmente de Borelli, xa que gardaba unha copia do libro do italiano na súa biblioteca.[6]

A partir dasleis de Kepler, Newton mostrou que tipos de forzas se precisan manter os planetas nas súas órbitas. Calculou como debería a forza ser na superficie da Terra. Esa forza probou ser a mesma que dá á masa a súaaceleración.

Conta unha lenda que cando tiña vinte e tres anos, Newton viu unha mazá caer dunha árbore e comprendeu que a mesma forza que a facía caer mantiña aLúa na súaórbita arredor daTerra.

Corpos de simetria esférica e a gravitación

[editar |editar a fonte]

As partículas dos corpos que posúen unha distribución de masa simetricamenteesférica, como estrelas, lúas e planetas, tenden a se aproximar ao centro de masa. Así, un acumulado de po cósmico ao aglutinarse, as partículas comezan a se aproximar de xeito uniforme, pois canto máis acumuladas, máis forza teñen para comprimilas. Por iso os corpos xeralmente asumen unha forma esférica, visto que, cando a súa masa é pequena ese efecto é bastante baixo e os corpos poden ter alteracións nos seus formatos.[7]

Formulación da lei da gravitación universal

[editar |editar a fonte]
Dous corpos puntiformesm1 em2 atráense exercendo entre si forzas da mesma intensidadeF1 eF2, proporcionais ao produto das dúas massas e inversamente proporcionais ao cadrado da distancia (r) entre elas.G é aconstante da gravitación universal.

A lei da gravitación universal indica que dúas partículas calquera do Universo se atraengravitacionalmente por medio dunha forza que é directamente proporcional ao produto das súasmasas e inversamente proporcional ao cadrado da distancia que as separa.

Se os corpos non son de partículas ou non poden considerarse puntos materiais, a distancia establecida entre elas debe ser medida en relación ao centro da súa masa, ou sexa, puntos onde se pode supoñer que está concentrada toda a masa do corpo ou o sistema de corpos.

F→1=−F→2=||F→||r→‖r→‖=Gm1m2r2r→‖r→‖=Gm1m2r3r→{\displaystyle {\vec {F}}_{1}=-{\vec {F}}_{2}=||{\vec {F}}||{\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{\|{\vec {r}}\|}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{3}}}{\vec {r}}}

onde

F1 (F2) é aforza sentida polo corpo 1 (2) debido ao corpo 2 (1), medida ennewtons;
G=6,67×10−11Nm2/kg2{\displaystyle G=6,67\times 10^{-11}{\text{Nm}}^{2}/{\text{kg}}^{2}} é aconstante da gravitación universal, que determina a intensidade da forza,
m1 em2 son as masas dos corpos que se atraen entre si, medidas enquilogramos; e
r é a distancia entre os dous corpos, medida enmetros;
r^{\displaystyle {\hat {r}}} oversor do vetor que une o corpo 1 ao corpo 2.

A constante gravitacional universal foi medida anos máis tarde porHenry Cavendish.[8] O descubrimento da lei de gravitación universal deuse en 1685 como resultado dunha serie de estudos e traballos iniciados moito antes.

O establecemento dunha lei de gravitación que unifica todos os fenómenos terrestres e celestes de atracción entre os corpos, tivo enorme importancia para a evolución da ciencia moderna.

Problema de Kepler

[editar |editar a fonte]

O problema de Kepler é un caso especial doproblema dos dous corpos, en que os dous corpos interactúan por unhaforza central que varía proporcionalmente ao inverso do cadrado da distancia. Ese problema resúmese en empregar asegunda lei de Newton para escribir as ecuacións de movemento do sistema, descubrindo a súa traxectoria no espazo. Isto é:

F→=−GMmr2r^{\displaystyle {\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}

Sistema polar de coordenadas

[editar |editar a fonte]

Unsistema de coordenadas axeitado para resolver o problema é osistema de coordenadas polares, de coordenadasr{\displaystyle r} eθ{\displaystyle \theta }, que se relacionan coascoordenadas cartesianasx{\displaystyle x} ey{\displaystyle y} do seguinte xeito:[9]

x=rcos⁡θ{\displaystyle x=r\cos \theta }
y=rsin⁡θ{\displaystyle y=r\sin \theta }

Para resolver o problema, é necesario saber como se escribe aaceleracióna→{\displaystyle {\vec {a}}} en coordenadas polares, isto é, comocombinación linear dosvectores unitariosr^{\displaystyle {\hat {r}}} eθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}. Comoa→=d2r→dt2=r→¨{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}}, abonda derivar dúas veces ovector posiciónr→{\displaystyle {\vec {r}}} en relación co tempo para atopar a aceleración. En coordenadas polares:

r→=rr^{\displaystyle {\vec {r}}=r{\hat {r}}}

Derivando a expresión, polaregra do produto:

r→˙=r˙r^+rr^˙{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\hat {r}}}}

Para atoparr^˙{\displaystyle {\dot {\hat {r}}}} precísase recorrer ás seguintes relacións:

r^=(cos⁡θ)x^+(sin⁡θ)y^{\displaystyle {\hat {r}}=(\cos \theta ){\hat {x}}+(\sin \theta ){\hat {y}}}
θ^=(−sin⁡θ)x^+(cos⁡θ)y^{\displaystyle {\hat {\theta }}=(-\sin \theta ){\hat {x}}+(\cos \theta ){\hat {y}}}

De aí concluíuse quer^˙=θ˙θ^{\displaystyle {\dot {\hat {r}}}={\dot {\theta }}{\hat {\theta }}} e, polo tanto:[10]

r→˙=r˙r^+rθ˙θ^{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}}

Derivando outra vez e empregando a relaciónθ^˙=−θ˙r^{\displaystyle {\dot {\hat {\theta }}}=-{\dot {\theta }}{\hat {r}}}:[10]

r→¨=(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^{\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}}

Resolución da segunda lei de Newton

[editar |editar a fonte]

Pola segunda lei de Newton:

F→=ma→=−GMmr2r^{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}

Cancelando a masam{\displaystyle m} de ambos os membros da ecuación e escribindoa→=r→¨{\displaystyle {\vec {a}}={\ddot {\vec {r}}}} en coordenadas polares, obtense a seguinte ecuación vectorial:

(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^=(−GMr2)r^{\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\theta }}=\left(-{\frac {GM}{r^{2}}}\right){\hat {r}}}

Orixinando dúas ecuacións escalares do movemento:[11]

r¨−rθ˙2=−GMr2{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}(1){\displaystyle (1)}
rθ¨+2r˙θ˙=0{\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}(2){\displaystyle (2)}

Multiplicando(2){\displaystyle (2)} pormr{\displaystyle mr}, nótase que existe conservación domomento angularL{\displaystyle L}:[11]

mr2θ¨+2mrr˙θ˙=ddt(mr2θ˙)=dLdt=0{\displaystyle mr^{2}{\ddot {\theta }}+2mr{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})={\frac {dL}{dt}}=0}
L=mr2θ˙{\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}}

Eliminandoθ˙{\displaystyle {\dot {\theta }}} en(1){\displaystyle (1)} mediante(2){\displaystyle (2)} pola relaciónθ˙=dθdt=Lmr2{\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}}, obtense:

r¨−L2m2r3=−GMr2{\displaystyle {\ddot {r}}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}

Devanditaecuación diferencial der{\displaystyle r} en función det{\displaystyle t} pode modificarse de xeito quer{\displaystyle r} sexa unha función deθ{\displaystyle \theta } modificando a segunda derivada temporal mediante aregra da cadea:

r¨=d2rdt2=ddt(drdt)=dθdtddθ(dθdtdrdθ)=Lmr2ddθ(Lmr2drdθ)=Lmr2[drdθddr(Lmr2)drdθ+(Lmr2d2rdθ2)]{\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)={\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {d\theta }{dt}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)={\frac {L}{mr^{2}}}\left[{\frac {dr}{d\theta }}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {L}{mr^{2}}}\right){\frac {dr}{d\theta }}+\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\right)\right]}
r¨=L2m2r4d2rdθ2−2L2m2r5(drdθ)2{\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {{2}L^{2}}{m^{2}r^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}

Resulta, entón a seguinte ecuación para a funciónr(θ){\displaystyle r(\theta )}:

L2m2r4d2rdθ2−2L2m2r5(drdθ)2−L2m2r3=−GMr2{\displaystyle {\frac {L^{2}}{m^{2}r^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-{\frac {{2}L^{2}}{m^{2}r^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{3}}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}}(3){\displaystyle (3)}

Para resolver(3){\displaystyle (3)}, defínese a funciónu(θ)≡1r(θ){\displaystyle u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}} e, consecuentemente, as súas derivadas en relación aθ{\displaystyle \theta }:[11]

dudθ=−1r2drdθ{\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}
d2udθ2=2r3(drdθ)2−1r2d2rdθ2{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}

Substituíndo esas novas relacións en(3){\displaystyle (3)}:

−L2m2r2[2r3(drdθ)2−1r2d2rdθ2+1r]=−GMr2{\displaystyle -{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left[{\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}+{\frac {1}{r}}\right]=-{\frac {GM}{r^{2}}}}
−L2m2r2(d2udθ2+u)=−GMr2{\displaystyle -{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\left({\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u\right)=-{\frac {GM}{r^{2}}}}

Resultando, finalmente, na ecuación dooscilador harmônico:

d2udθ2+u=GMm2L2{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}}

Cunha solución xeral que se pode escribir como:[11]

u(θ)=GMm2L2+Acos⁡(θ−δ){\displaystyle u(\theta )={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}+A\cos \left(\theta -\delta \right)}

En queA{\displaystyle A} eδ{\displaystyle \delta } son constantes arbitrarias. É conveniente escribirA=GMm2L2ϵ{\displaystyle A={\frac {GMm^{2}}{L^{2}}}\epsilon }, en queϵ{\displaystyle \epsilon } é a nova constante, denominadaexcentricidade. Así,r(θ){\displaystyle r(\theta )} resulta ser:[11]

r(θ)=L2GMm211+ϵcos⁡(θ−δ){\displaystyle r(\theta )={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}{\frac {1}{1+\epsilon \cos \left(\theta -\delta \right)}}}

Notas

[editar |editar a fonte]
  1. ↑"Gravitação Universal".Só Física. 
  2. ↑Silva, Lucas Henrique dos Santos."Lei da Gravitação Universal".InfoEscola(enportugués). 
  3. ↑Pages 435-440 in H W Turnbull (ed.), Correspondence of Isaac Newton, Vol 2 (1676-1687), (Cambridge University Press, 1960), document #288, 20 de xuño de 1686.
  4. ↑Bullialdus (Ismael Bouillau) (1645),Astronomia philolaica, París, 1645.
  5. ↑Borelli, G. A.,Theoricae Mediceorum Planetarum ex causis physicis deductae, Florence, 1666.
  6. ↑D T Whiteside, "Before the Principia: the maturing of Newton's thoughts on dynamical astronomy, 1664-1684", Journal for the History of Astronomy, i (1970), páxinas 5-19; especialmente na páxina 13.
  7. ↑Freedman, Roger A; Young, Hugh (2008).Física II: Termodinâmica e Ondas. São Paulo: Pearson. p. 2.ISBN 978-85-88639-33-1. 
  8. ↑Constante de gravitación de Newton(eninglés)
  9. ↑Nascimento, Mauri C."Coordenadas Polares"(PDF). 
  10. ↑10,010,1Martins, Jorge Sá."Os vetores velocidade e aceleração em coordenadas polares bidimensionais".Youtube. 
  11. ↑11,011,111,211,311,4"Deriving Kepler's Laws".Brilliant. 

Véxase tamén

[editar |editar a fonte]

Bibliografía

[editar |editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar |editar a fonte]
Control de autoridades
Obtido de «https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Lei_da_gravitación_universal&oldid=7134142»
Categorías:
Categoría agochada:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp