Enmatemáticas, unisomorfismo (dogregoiso-morfos: Igual forma) é unhomomorfismo (ou máis xeralmente unmorfismo) que admite un inverso.[1] O concepto matemático deisomorfismo pretende captar a idea de ter a mesmaestrutura. Dúas estruturas matemáticas entre as que existe unha relación de isomorfismo chámanseisomorfas.
En varias áreas das matemáticas, os isomorfismos recibiron nomes especializados, dependendo do tipo de estrutura que se considere. Por exemplo:
Ateoría das categorías, que pode verse como unha formalización do concepto de mapeo entre estruturas, proporciona unha linguaxe que pode ser usada para unificar o enfoque destes diferentes aspectos da idea básica.
Noséculo XX precisouse enmatemáticas a noción intuitiva de estrutura, seguindo a concepción deAristóteles da materia e a forma, segundo a que cada estrutura é unconxunto X dotado de certas operacións (como a suma ou o produto) ou de certas relacións (como unhaordenación) ou certos subconxuntos (como no caso datopoloxía). Neste caso, o conxunto X é a materia e as operacións, relacións, etc. nel definidas son a forma.
A idea dePlatón sobre a importancia da forma recóllese en matemáticas co concepto de isomorfismo. Unhaaplicación f:X→Y entre dous conxuntos dotados do mesmo tipo de estrutura é un isomorfismo cando cada elemento de Y provén dun único elemento de X e f transforma as operacións, relacións etc., que hai en X nas que hai en Y. Cando entre dúas estruturas hai un isomorfismo, ambas son indistinguibles, teñen as mesmas propiedades, e calquera enunciado é simultaneamente certo ou falso. Por iso en matemáticas as estruturas deben clasificarsesalvo isomorfismos.
No século XX, o biólogo e filósofo da ciencia austríacoLudwig von Bertalanffy recuperou este concepto como elemento da súaTeoría xeral de sistemas. Para este autor existían unha serie de coincidencias na evolución dos procesos que se levan a cabo en diferentes campos do coñecemento (a bioloxía, a demografía, a física, a sociedade etc.) ás que denominou isomorfismo.[5] Resultaba importante para a formulación da nova teoría, debido a que «o isomorfismo atopado entre diferentes terreos se funda na existencia de principios xerais de sistemas, dunha teoría xeral dos sistemas máis o menos ben desenvolvidos».[6]
Se X é o conxunto dos números reais positivos co produto e Y é o conxunto dos números reais coa suma, afunción logarítmica ln:X→Y é un isomorfismo, porque e cada número real é o logaritmo dun único número real positivo. Isto significa que cada enunciado sobre o produto denúmeros reais positivos ten (sen máis que substituír cada número polo seu logaritmo) un enunciado equivalente en termos da suma de números reais, que adoita ser máis simple.
Se no espazo escollemos unha unidade de lonxitude e tres eixes mutuamente perpendiculares que concorren nun punto, entón a cada punto do espazo podemos asociarlle as súas tres coordenadas cartesianas, obtendo así unha aplicaciónno conxunto das sucesións de tres números reais. Cando en consideramos a distancia que define a unidade de lonxitude fixada e en consideramos a distancia que define a raíz cadrada da suma dos cadrados das diferenzas, é un isomorfismo. Este descubrimento fundamental deDescartes permite enunciar calquera problema da xeometría do espazo en termos de sucesións de tres números reais.
Considere o grupo os números enteiros de 0 a 5 con adiciónmódulo 6. Considere tamén o grupo os pares ordenados onde as coordenadasx poden ser 0 ou 1, e as coordenadas y poden ser 0 , 1 ou 2, onde a suma na coordenadax é módulo 2 e a suma na coordenaday é módulo 3.
Estas estruturas son isomorfas baixo a adición, baixo o seguinte esquema:
ou en xeral
Por exemplo, que se traduce no outro sistema como
Aínda que estes dous grupos "parecen" diferentes en canto que os conxuntos conteñen elementos diferentes, son de feito "isomórficos": as súas estruturas son exactamente as mesmas. Máis xeralmente, oproduto directo de dousgrupos cíclicos e é isomorfo a se e só sem en soncoprimos, segundo oteorema chinés do resto.
O descubrimento dun isomorfismo entre dúas estruturas significa esencialmente que o estudo de cada unha pode reducirse ao da outra, o que nos dá dous puntos de vista diferentes sobre cada cuestión e adoita ser esencial para a súa adecuada comprensión. Tamén significa unhaanaloxía como unha forma deinferencia lóxica baseada na asunción de que dúas cousas son a mesma nalgúns aspectos, aqueles sobre os que está feita a comparación. Nasciencias sociais, un isomorfismo consiste na aplicación dunha lei análoga por non existir unha específica ou tamén a comparación dun sistema biolóxico cun sistema social, cando se trata de definir a palabra "sistema". Tamén o é a imitación ou copia dunha estrutura tribal nun hábitat con estrutura urbana.
Os isomorfismos dunha estrutura con ela mesma de xeito bixectivo denomínanseautomorfismos.[7]
En xeral, nunha categoría arbitraria, os isomorfismos defínense por ser os morfismos f:X→Y que admiten un morfismo inverso h:Y→X, inverso tanto pola dereita como pola esquerda. Poden non ser os morfismos bixectivos, como xa ocorre no caso dos espazos topolóxicos.
