Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Saltar ao contido
Wikipediaa Wikipedia en galego
Procura

Integral impropia

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Unha integral de Riemann impropia do primeiro tipo, onde a rexión do plano implicada pola integral ten unha extensión infinita horizontalmente. A área desta rexión, que representa a integral, pode ser finita (como aquí) ou infinita.
Unha integral de Riemann impropia do segundo tipo, onde a rexión implícita é infinita verticalmente. A rexión pode ter área finita (como aquí) ou infinita.

Naanálise matemática, unhaintegral impropia é unha extensión da noción deintegral definida aos casos que violan os supostos habituais para ese tipo de integral.[1] No contexto dasintegrais de Riemann (ou, equivalentemente, das integrais de Darboux), isto normalmente implica que non existe límite, ben do conxunto sobre o que se toma a integral ou do integrando (a función que se está integrando), ou de ambos os dous. Tamén pode implicar conxuntos limitados mais non pechados oufuncións limitadas mais non continuas. Aínda que unha integral impropia adoita escribirse simbolicamente igual que unha integral definida estándar, en realidade representa unlímite dunha integral definida ou unha suma deses límites; así dise que as integrais impropias converxen ou diverxen.[2][1] Se unha integral definida regular (queretronímicamente se pode chamarintegral propia) se elabora como se fose impropia, darase a mesma resposta.

No caso máis sinxelo dunha función con valores reais dunha única variábel integrada no sentido de Riemann (ou Darboux) nun único intervalo, as integrais impropias poden ter calquera das seguintes formas:

  1. ∫a∞f(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}
  2. ∫−∞bf(x)dx{\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}
  3. ∫−∞∞f(x)dx{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}
  4. ∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}, ondef(x){\displaystyle f(x)} non está definida ou é descontinua nalgún lugar de[a,b]{\displaystyle [a,b]}

As tres primeiras formas son impropias porque as integrais son tomadas nun intervalo ilimitado. (Tamén poden ser impropias por outras razóns, como se explica a continuación.) Tal integral descríbese ás veces como do "primeiro" tipo se o integrando satisfai doutro xeito os supostos de integración. As integrais da cuarta forma que son impropias porquef(x){\displaystyle f(x)} ten unhaasíntota vertical nalgún lugar do intervalo[a,b]{\displaystyle [a,b]} pódese describir como do "segundo" tipo.[2] As integrais que combinan aspectos de ambos os tipos son ás veces descritas como do "terceiro" tipo.[2]

En cada caso anterior, a integral impropia debe reescribirse utilizando un ou máis límites, dependendo do que está a provocar que a integral sexa impropia. Por exemplo, no caso 1, sef(x){\displaystyle f(x)} é continua en todo o intervalo[a,∞){\displaystyle [a,\infty )}, entón

∫a∞f(x)dx=limb→∞∫abf(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

O límite da dereita é a definición da notación integral da esquerda.

Sef(x){\displaystyle f(x)} só é continua en(a,∞){\displaystyle (a,\infty )} e non ena{\displaystyle a}, entón normalmente se reescribe como

∫a∞f(x)dx=limt→a+∫tcf(x)dx+limb→∞∫cbf(x)dx,{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}

para calquera escolla dec>a{\displaystyle c>a}. Aquí ambos os límites deben converxer a un valor finito para que se diga que converxe a integral impropia. Este requisito evita o caso ambiguo de engadir infinitos positivos e negativos (é dicir, aforma indeterminada "∞−∞{\displaystyle \infty -\infty }". Como alternativa, pódese usar unlímite iterado ou un único límite baseado novalor principal de Cauchy.

Sef(x){\displaystyle f(x)} é continua en[a,d){\displaystyle [a,d)} e(d,∞){\displaystyle (d,\infty )}, cunhadescontinuidade de calquera tipo end{\displaystyle d}, daquela

∫a∞f(x)dx=limt→d−∫atf(x)dx+limu→d+∫ucf(x)dx+limb→∞∫cbf(x)dx,{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to d^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx+\lim _{u\to d^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}

para calquera escolla dec>d{\displaystyle c>d}. As observacións anteriores sobre formas indeterminadas, límites iterados e o valor principal de Cauchy tamén se aplican aquí.

A funciónf(x){\displaystyle f(x)} pode ter máis descontinuidades, nese caso aínda serían necesarios máis límites (ou unha expresión de valor principal máis complicada).

Os casos 2-4 trátanse de xeito similar. Vexa os exemplos a continuación.

As integrais impropias tamén se poden avaliar no contexto denúmeros complexos, en dimensións máis altas, e noutros marcos teóricos como aintegración de Lebesgue ou aintegración de Henstock-Kurzweil. As integrais que se consideran impropias nun marco poden non estar noutros.

Exemplos

[editar |editar a fonte]

A definición orixinal daintegral de Riemann non se aplica a unha función como1/x2{\displaystyle 1/{x^{2}}} no intervalo[1,∞){\displaystyle {\textbf {[}}1,\infty )}, porque neste caso o dominio de integración énon limitado. No entanto, a integral de Riemann pódese estender a miúdo mediantecontinuidade, definindo a integral impropia no seu lugar como unlímite

∫1∞dxx2=limb→∞∫1bdxx2=limb→∞(−1b+11)=1.{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}

A definición estreita da integral de Riemann tampouco cobre a función1/x{\textstyle 1/{\sqrt {x}}} no intervalo[0,1]{\displaystyle {\textbf {[}}0,1{\textbf {]}}}. O problema aquí é que o integrando non tenlímite no dominio da integración. Noutras palabras,a definición da integral de Riemann require que tanto o dominio de integración como o integrando estean limitados. No entanto, a integral impropia existe se se entende como o límite

∫01dxx=lima→0+∫a1dxx=lima→0+(2−2a)=2.{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}
A integral impropia
∫0∞dx(x+1)x=π{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }
ten intervalos ilimitados tanto para o dominio como para o intervalo.

Ás veces as integrais poden ter dúas singularidades onde son impropias. Considere, por exemplo, a función1/((x + 1)√x) integrada de 0 a∞ (mostrada á dereita). No límite inferior do dominio de integración, candox tende a 0, a función tende a∞, e o límite superior é en si mesmo∞, aínda que a función tende a 0. Así, esta é unha integral dobremente impropia. Integrada, por exemplo, de 1 a 3, unha suma de Riemann ordinaria abonda para producir un resultado deπ/6. Para integrar de 1 a∞, non é posíbel unha suma de Riemann. No entanto, calquera límite superior finito, digamost (cont > 1), dá un resultado ben definido,2 arctan(√t) − π/2. Este ten un límite finito xa quet vai cara a infinito, é dicir,π/2. Do mesmo xeito, a integral de 1/3 a 1 tamén permite unha suma de Riemann, que casualmente volve producirπ/6. Substituír 1/3 por un valor positivo arbitrarios (cons < 1) é igualmente seguro, dandoπ/2 − 2 arctan(√s). Isto tamén ten un límite finito xa ques vai cara a cero, é dicir,π/2. Combinando os límites dos dous fragmentos, o resultado desta integral impropia é

∫0∞dx(1+x)x=lims→0+∫s1dx(1+x)x+limt→∞∫1tdx(1+x)x=lims→0+(π2−2arctan⁡s)+limt→∞(2arctan⁡t−π2)=π2+(π−π2)=π.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}

Este proceso non garante o éxito; un límite pode non existir, ou pode ser infinito. Por exemplo, sobre o intervalo limitado de 0 a 1 a integral de1/x non converxe; e sobre o intervalo ilimitado de 1 a∞ a integral de1/√x non converxe.

A integral impropia
∫−11dxx23=6{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}=6}
converxe, xa que existen límites pola esquerda e pola dereita, aínda que o integrando non está limitado preto dun punto interior.

Tamén pode ocorrer que un integrando estea ilimitado preto dun punto interior, nese caso a integral debe dividirse nese punto. Para que a integral converxa, as integrais límite de ambos os dous lados deben existir e deben estar limitadas. Por exemplo:

∫−11dxx23=lims→0−∫−1sdxx23+limt→0+∫t1dxx23=lims→0−3(1−s3)+limt→0+3(1−t3)=3+3=6.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}

Mais para a integral semellante

∫−11dxx{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}

non se pode asignar un valor deste xeito, xa que as integrais superiores e inferiores a cero no dominio integral non converxen de forma independente. (Con todo, consulteValor principal de Cauchy.)

Converxencia da integral

[editar |editar a fonte]

Unha integral impropia converxe se existe o límite que a define. Así por exemplo dise que a integral impropia

limt→∞∫atf(x) dx{\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx}

existe e é igual aL se as integrais baixo o límite existen para todas ast suficientemente grandes e o valor do límite é igual aL.

Tamén é posíbel que unha integral impropia diverxa ata o infinito. Nese caso, pódese asignar á integral o valor de∞{\displaystyle \infty } (ou−∞{\displaystyle -\infty }). Por exemplo

limb→∞∫1bdxx=∞.{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .}

No entanto, outras integrais impropias poden simplemente diverxer sen unha dirección en particular, como

limb→∞∫1bxsin⁡(x)dx,{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}

que non existe, mesmo comonúmero real estendido. Isto chámase diverxencia por oscilación.

Unha limitación da técnica de integración impropia é que o límite debe tomarse en relación a un punto final de cada vez. Así, por exemplo, unha integral impropia da forma

∫−∞∞f(x)dx{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}

pódese definir tomando dous límites separados; dando

∫−∞∞f(x)dx=lima→−∞limb→∞∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}

sempre que o dobre límite sexa finito. Tamén se pode definir como un par de integrais impropias distintas do primeiro tipo:

lima→−∞∫acf(x)dx+limb→∞∫cbf(x)dx{\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}

ondec é calquera punto conveniente no que comezar a integración. Esta definición tamén se aplica cando unha destas integrais é infinita, ou ambas as dúas se teñen o mesmo signo.

Un exemplo de integral impropia onde os dous extremos son infinitos é aintegral de Gauss∫−∞∞e−x2dx=π{\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}.

Un exemplo que se avalía ata o infinito é∫−∞∞exdx{\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}.

Mais non sempre se poden definir sen ambigüidades outras integrais deste tipo, como por exemplo∫−∞∞xdx{\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}, posto que o duplo límte é infinito e o método de dúas integrais

lima→−∞∫acxdx+limb→∞∫cbxdx{\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx}

produce unhaforma indeterminada,∞−∞{\displaystyle \infty -\infty }. Neste caso, pódese definir unha integral impropia no sentido dovalor principal de Cauchy:

p.v.⁡∫−∞∞xdx=limb→∞∫−bbxdx=0.{\displaystyle \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.}

As preguntas que se deben abordar para determinar unha integral impropia son:

  • Existe o límite?
  • Pódese calcular o límite?

A primeira pregunta é unha cuestión deanálise matemática. A segunda pódese abordar mediante técnicas de cálculo, mais tamén nalgúns casos medianteintegración de contorno,transformadas de Fourier e outros métodos máis avanzados.

Tipos de integrais

[editar |editar a fonte]

Hai máis dunha teoría daintegración. Desde o punto de vista do cálculo, a teoría daintegral de Riemann adoita asumirse como a teoría predeterminada. Ao usar integrais impropias, pode importar cal é a teoría da integración en xogo.

Integrais de Riemann impropias e integrais de Lebesgue

[editar |editar a fonte]
Imaxe 1
Imaxe 2

Nalgúns casos, a integral

∫acf(x) dx{\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ dx}

pódese definir como unha integral (unhaintegral de Lebesgue, por exemplo) sen referencia ao límite

limb→c−∫abf(x)dx{\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}

pero non se pode calcular convenientemente doutro xeito.

Isto ocorre a miúdo cando a funciónf que se integra dea ac ten unhaasíntota vertical enc, ou sec=∞{\displaystyle c=\infty } (ver Figuras 1 e 2). Nestes casos, a integral de Riemann impropia permite calcular a integral de Lebesgue da función. En concreto, o seguinte teorema ten (Apostol 1974, Teorema 10.33):

  • Se unha funciónf é integrábel de Riemann en [a,b] para todob ≥ a, e as integrais parciais
∫ab|f(x)|dx{\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}
están limitadas candob→∞{\displaystyle b\rightarrow \infty }, entón as integrais de Riemann impropias
∫a∞f(x)dx,e ∫a∞|f(x)|dx{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{e }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx}
as dúas existen. A maiores,f é integrábel de Lebesgue en[a,∞){\displaystyle {\textbf {[}}a,\infty )}, e a súa integral de Lebesgue é igual á súa integral impropia de Riemann.

Por exemplo, a integral

∫0∞dx1+x2{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}

pódese interpretar alternativamente como a integral impropia

limb→∞∫0bdx1+x2=limb→∞arctan⁡b=π2,{\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}

ou pode interpretarse como unhaintegral de Lebesgue sobre o conxunto(0,∞){\displaystyle (0,\infty )}.

Dado que ambos os dous tipos de integral coinciden, é libre de escoller o primeiro método para calcular o valor da integral, aínda que finalmente se queira considerar como unha integral de Lebesgue. Así, as integrais impropias son ferramentas claramente útiles para obter os valores reais das integrais.

Noutros casos, porén, é posíbel que nin sequera se defina unha integral de Lebesgue entre extremos finitos, porque as integrais das partes positiva e negativa def son infinitas, pero a integral de Riemann impropia aínda pode existir. Eses casos son integrais "propiamente impropias", é dicir, os seus valores non se poden definir agás como eses límites. Por exemplo,

∫0∞sin⁡(x)xdx{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}

non se pode interpretar como unha integral de Lebesgue, xa que

∫0∞|sin⁡(x)x|dx=∞.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}

Maisf(x)=sin⁡(x)x{\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}} é, no entanto, integrábel entre dous extremos finitos calquera, e a súa integral entre 0 e∞{\displaystyle \infty } adoita entenderse como o límite da integral:

∫0∞sin⁡(x)xdx=limb→∞∫0bsin⁡(x)xdx=π2.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}

Singularidades

[editar |editar a fonte]

Pódese falar dassingularidades dunha integral impropia, é dicir, aqueles puntos darecta real estendida nos que se usan límites.

Valor principal de Cauchy

[editar |editar a fonte]
Artigo principal:Valor principal de Cauchy.

Considere a diferenza de valores de dous límites:

lima→0+(∫−1−adxx+∫a1dxx)=0,{\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}
lima→0+(∫−1−adxx+∫2a1dxx)=−ln⁡2.{\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}

O primeiro é o valor principal de Cauchy da expresión que doutro xeito estaría mal definida

∫−11dxx (que dá −∞+∞).{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{que}}\ {\mbox{dá}}\ -\infty +\infty \right).}

Do mesmo xeito, temos

lima→∞∫−aa2xdxx2+1=0,{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}

mais

lima→∞∫−2aa2xdxx2+1=−ln⁡4.{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}

O primeiro é o valor principal da expresión doutro xeito mal definida

∫−∞∞2xdxx2+1 (que dá −∞+∞).{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{que}}\ {\mbox{dá}}\ -\infty +\infty \right).}

Todos os límites anteriores son casos daforma indeterminada∞−∞.{\displaystyle \infty -\infty .}

Estaspatoloxías non afectan ás funcións "integrábeis con Lebesgue", é dicir, ás funcións cuxosvalores absolutos son finitos.

Sumabilidade

[editar |editar a fonte]

Unha integral impropia pode diverxer no sentido de que o límite que a define pode non existir. Neste caso, hai definicións máis sofisticadas do límite que poden producir un valor converxente para a integral impropia. Estes chámanse métodos desumabilidade.

Un método de sumabilidade, popular naanálise de Fourier, é o dasuma de Cesàro. A integral

∫0∞f(x)dx{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}

é Cesàro sumábel(C,α){\displaystyle (C,\alpha )} se

limλ→∞∫0λ(1−xλ)αf(x) dx{\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx}

existe e é finito (Titchmarsh 1948, §1.15). O valor deste límite, no caso de existir, é a suma(C,α){\displaystyle (C,\alpha )} da integral.

Unha integral é(C,0){\displaystyle (C,0)} sumábel precisamente cando existe como integral impropia. No entanto, hai integrais que son(C,α){\displaystyle (C,\alpha )} sumábeis paraα>0{\displaystyle \alpha >0} que non conseguen converxer como integrais impropias (no sentido de Riemann ou Lebesgue). Un exemplo é a integral

∫0∞sin⁡xdx{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin x\,dx}

que non pode existir como integral impropia, masi é(C,α){\displaystyle (C,\alpha )} sumábel para todoα>0{\displaystyle \alpha >0}. Esta é unha versión integral daserie de Grandi.

Integrais impropias multivariábeis

[editar |editar a fonte]

A integral impropia tamén se pode definir para funcións de varias variábeis. A definición é lixeiramente diferente, dependendo de se se precisa integrar nun dominio ilimitado, comoR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, ou se está integrando unha función con singularidades, comof(x,y)=log⁡(x2+y2){\displaystyle f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)}.

Integrais impropias sobre dominios arbitrarios

[editar |editar a fonte]

Sef:Rn→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } é unha función non negativa que é integrábel de Riemann sobre cada cubo compacto da forma[−a,a]n{\displaystyle [-a,a]^{n}}, paraa>0{\displaystyle a>0}, entón a integral impropia def sobreRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} defínese como o límite.

lima→∞∫[−a,a]nf,{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}f,}

sempre que exista.

Unha función nun dominio arbitrarioA enRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} esténdese a unha funciónf~{\displaystyle {\tilde {f}}} enRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} con cero fóra deA:

f~(x)={f(x)x∈A0x∉A{\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}}

A integral de Riemann dunha función sobre un dominio limitadoA defínese entón como a integral da función estendidaf~{\displaystyle {\tilde {f}}} sobre un cubo[−a,a]n{\displaystyle [-a,a]^{n}} que conténA:

∫Af=∫[−a,a]nf~.{\displaystyle \int _{A}f=\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}

De forma máis xeral, seA non está limitada, entón a integral de Riemann impropia sobre un dominio arbitrario enRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} defínese como o límite:

∫Af=lima→∞∫A∩[−a,a]nf=lima→∞∫[−a,a]nf~.{\displaystyle \int _{A}f=\lim _{a\to \infty }\int _{A\cap [-a,a]^{n}}f=\lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}

Integrais impropias con singularidades

[editar |editar a fonte]

Sef é unha función non negativa que non está limitada nun dominioA, entón a integral impropia def defínese truncandof nalgún corteM, integrando a función resultante e tomando o límite candoM tende ao infinito. ParaM>0{\displaystyle M>0}, estabelecefM=min{f,M}{\displaystyle f_{M}=\min\{f,M\}}. Despois define

∫Af=limM→∞∫AfM{\displaystyle \int _{A}f=\lim _{M\to \infty }\int _{A}f_{M}}

sempre que exista este límite.

Funcións con valores tanto positivos como negativos

[editar |editar a fonte]

Estas definicións aplícanse a funcións que non son negativas. Unha función máis xeralf pódese descompoñer como unha diferenza entre a súa parte positivaf+=max{f,0}{\displaystyle f_{+}=\max\{f,0\}} e a súa parte negativaf−=max{−f,0}{\displaystyle f_{-}=\max\{-f,0\}}, polo que

f=f+−f−{\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}

conf+{\displaystyle f_{+}} ef−{\displaystyle f_{-}} ambas as funcións non negativas. A funciónf{\displaystyle f} ten unha integral de Riemann impropia se cada unha def+{\displaystyle f_{+}} ef−{\displaystyle f_{-}} ten unha integral impropia, nese caso o valor desa integral impropia defínese por

∫Af=∫Af+−∫Af−.{\displaystyle \int _{A}f=\int _{A}f_{+}-\int _{A}f_{-}.}

Para existir neste sentido, a integral impropia converxe necesariamente absolutamente, xa que

∫A|f|=∫Af++∫Af−.{\displaystyle \int _{A}|f|=\int _{A}f_{+}+\int _{A}f_{-}.}[3][4]

Notas

[editar |editar a fonte]
  1. ↑1,01,1Buck, R. Creighton (1965).Advanced Calculus (2nd ed.). McGraw-Hill. pp. 133–134. 
  2. ↑2,02,12,2Spiegel, Murray R. (1963).Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus. McGraw-Hill. p. 260.ISBN 0-07-060229-8. 
  3. ↑Cooper 2005, p. 538: "Necesitamos facer esta definición máis forte de converxencia en termos de |f(x)| porque a cancelación das integrais pode ocorrer de moitas formas diferentes en dimensións máis altas."
  4. ↑Ghorpade & Limaye 2010, p. 448: "A noción relevante aquí é a de converxencia incondicional". ... "De feito, para integrais impropias desas funcións, a converxencia incondicional resulta ser equivalente á converxencia absoluta".

Véxase tamén

[editar |editar a fonte]

Bibliografía

[editar |editar a fonte]

Outros artigos

[editar |editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar |editar a fonte]
Obtido de «https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_impropia&oldid=7141765»
Categoría:
Categoría agochada:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp