Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Saltar ao contido
Wikipediaa Wikipedia en galego
Procura

Gradiente

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Nocálculo vectorial, ogradiente∇f{\displaystyle \nabla f} duncampo escalarf{\displaystyle f} é uncampo vectorial. O vector gradiente def{\displaystyle f} dun punto xenéricox{\displaystyle x} do dominio def{\displaystyle f},∇f{\displaystyle \nabla f}(x{\displaystyle x}), indica a dirección na cal o campof{\displaystyle f} varía máis rapidamente e o seu módulo representa o ritmo de variación def{\displaystyle f} na dirección de dito vector gradiente. O gradiente represéntase co operador diferencialnabla∇{\displaystyle \nabla } seguido da función (non confundir o gradiente coadiverxencia, pois esta última denótase cun punto de produto escalar entre o operador nabla e o campo). Tamén pode representarse mediante∇→f{\displaystyle {\vec {\nabla }}f}, ou usando a notacióngrad⁡(f){\displaystyle \operatorname {grad} (f)}. A xeneralización do concepto de gradiente a camposf{\displaystyle f} vectoriais é o concepto dematriz xacobiana.

Se se toma como campo escalar un ao que se lle asigna a cada punto do espazo unhapresión P (campo escalar de 3 variables), entón o vector gradiente nun punto xenérico do espazo indica a dirección na cal a presión muda máis rapidamente. Outro exemplo é o de considerar un mapa conliñas de nivel como campo escalar ao que lle asigna a cada parella de coordenadas latitude/lonxitude un escalaraltitude (campo escalar de 2 variables). Neste caso o vector gradiente nun punto xenérico indica a dirección de máxima inclinación da superficie. Nótese que o vector gradiente será perpendicular ás liñas de contorno (liñas "equiescalares") do mapa.

Definición

[editar |editar a fonte]

O gradiente defínese como o campo vectorial cunhas funcións coordenadas que son as derivadas parciais do campo escalar, isto é:


∇f(r)=(∂f(r)∂x1,…,∂f(r)∂xn){\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {r} )=\left({\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x_{n}}}\right)}

Esta definición baséase en que o gradiente permite calcular facilmente as derivadas direccionais. Definindo en primeiro lugar a derivada direccional segundo un vector:


∂ϕ∂n≡limϵ→0ϕ(r−ϵn^)−ϕ(r)ϵ{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}\equiv \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\phi (\mathbf {r} -\epsilon {\hat {\mathbf {n} }})-\phi (\mathbf {r} )}{\epsilon }}}

Unha forma equivalente de definir o gradiente é como o único vector que, multiplicado polo vector unitario, dá a derivada direccional do campo escalar:


∂ϕ∂n=n⋅∇ϕ{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\phi }

Coa definición anterior, o gradiente está caracterizado de forma unívoca. O gradiente exprésase alternativamente mediante o uso do operadornabla, é dicir:


grad ϕ=∇ϕ{\displaystyle {\rm {grad}}\ \phi =\nabla \phi }

Interpretación do gradiente

[editar |editar a fonte]

De forma xeométrica o gradiente é un vector normal a unha superficie ou curva do espazo que se está a estudar, nun punto calquera, chámese (x,y), (x,y,z), (tempo, temperatura) etcétera. Algúns exemplos son:

  • Consideramos unha habitación na cal a temperatura defínese a través dun campo escalar, de tal maneira que en calquera punto(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)\,\!}, a temperatura éϕ(x,y,z){\displaystyle \phi (x,y,z)\,\!}. Asumiremos que a temperatura non varía con respecto ao tempo. Sendo isto así, para cada punto da habitación, o gradiente nese punto daranos a dirección na cal a temperatura aumenta máis. A magnitude do gradiente diranos a rapidez coa que se eleva a temperatura nesa dirección.
  • Consideramos unha montaña na cal a altura nun punto (x,y) se define como H(x, y). O gradiente deH nese punto atópase orientado na dirección cara á que hai un maior grao de inclinación. A magnitude do gradiente diranos o empinada que se encontra apendente.

Propiedades

[editar |editar a fonte]

∇×(∇ϕ)≡0→{\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )\equiv {\vec {0}}}

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

[editar |editar a fonte]

A partir da súa definición pode calcularse a súa expresión en diferentessistemas de coordenadas. Encoordenadas cartesianas, a súa expresión é simplemente


∇ϕ=∂ϕ∂xx^+∂ϕ∂yy^+∂ϕ∂zz^{\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}

Nun sistema decoordenadas ortogonais, o gradiente require osfactores de escala, mediante a expresión


∇ϕ=1h1∂ϕ∂q1q^1+1h2∂ϕ∂q2q^2+1h3∂ϕ∂q3q^3{\displaystyle \nabla \phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{1}}}{\hat {q}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{2}}}{\hat {q}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{3}}}{\hat {q}}_{3}}

Paracoordenadas cilíndricas (hρ=hz=1{\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1},hφ=ρ{\displaystyle h_{\varphi }=\rho }) resulta


∇ϕ=∂ϕ∂ρρ^+1ρ∂ϕ∂φφ^+∂ϕ∂zz^{\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}

e paracoordenadas esféricas (hr=1{\displaystyle h_{r}=1},hθ=r{\displaystyle h_{\theta }=r},hφ=rsenθ{\displaystyle h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta })


∇ϕ=∂ϕ∂rr^+1r∂ϕ∂θθ^+1rsenθ∂ϕ∂φφ^{\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}}

Nunsistema de coordenadas curvilíneo xeral o gradiente ten a forma:


∇ϕ=gij∂ϕ∂xie^j{\displaystyle \nabla \phi =g^{ij}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}{\hat {e}}_{j}}

onde na expresión anterior se usou oconvenio de sumación de Einstein.

Gradiente dun campo vectorial

[editar |editar a fonte]

Nun espazo euclídeo tridimensional, o concepto de gradiente tamén pode estenderse ao caso dun campo vectorial, sendo o gradiente deF{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} } untensor que dá o diferencial do campo ao realizar un desprazamento:


dFdr(v):=limv→0F(r+v)−F(r)‖v‖=(∇F)⋅v{\displaystyle {\frac {d\mathbf {F} }{d\mathbf {r} }}(\mathbf {v} ):=\lim _{\mathbf {v} \to 0}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} +\mathbf {v} )-\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{\|\mathbf {v} \|}}=(\nabla \mathbf {F} )\cdot \mathbf {v} }

Fixada unha base vectorial, este tensor poderá ser representado por unha matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada polas tres derivadas parciais das tres compoñentes do campo vectorial. O gradiente de deformación estará ben definido só se o límite anterior existe para todov{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} } e é unha función continua de dito vector.

Tecnicamente o gradiente de deformación non é outra cousa que a aplicación linear da que amatriz xacobiana é a súa expresión explícita en coordenadas.

Exemplo

[editar |editar a fonte]

Dada a funciónf(x,y,z)=2x+3y2−sin⁡(z){\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}, o seu vector gradiente é:


∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=(2,6y,−cos⁡(z)).{\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.}

Aplicacións

[editar |editar a fonte]

Aproximación linear dunha función

[editar |editar a fonte]

O gradiente dunhafunciónf{\displaystyle f} definida deRn →R caracteriza a melloraproximación linear da función nun punto particularx0{\displaystyle x_{0}} enRn.Exprésase así:


g(x)=f(x0)+(∇xf(x0))T(x−x0){\displaystyle g(x)=f(x_{0})+(\nabla _{x}f(x_{0}))^{T}(x-x_{0})}onde∇xf(x0){\displaystyle \nabla _{x}f(x_{0})} é o gradiente fixado enx0{\displaystyle x_{0}}

Aplicacións en física

[editar |editar a fonte]

A interpretación física do gradiente é a comentada: mide a rapidez de variación dunhamagnitude física ao desprazarse unha certa distancia. Un gradiente alto significa que dun punto a outro próximo, a magnitude pode presentar variacións importantes (aquí enténdese por gradiente alto un cun módulo elevado). Un gradiente dunha magnitude pequeno ou nulo implica que dita magnitude apenas varía dun punto a outro.

O gradiente dunha magnitude física posúe innumerables aplicacións en física, especialmente enelectromagnetismo emecánica de fluídos. En particular, existen moitos campos vectoriais que poden escribirse como o gradiente dunpotencial escalar.


E=−∇ϕ{\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi }

  • Todo campo que poida escribirse como o gradiente dun campo escalar, denomínase potencial, conservativo ou irrotacional. Así, unha forza conservativa deriva da enerxía potencial como:


F=−∇V{\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V}

  • Os gradientes tamén aparecen nos procesos de difusión que verifican alei de Fick ou alei de Fourier para a temperatura. Así, por exemplo, o fluxo de calor nun material é directamente proporcional ao gradiente de temperaturas


q=−k∇T{\displaystyle \mathbf {q} =-k{\boldsymbol {\nabla }}T}

sendok{\displaystyle \scriptstyle k} acondutividade térmica.
Obtido de «https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Gradiente&oldid=7000852»
Categoría:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp