Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Saltar ao contido
Wikipediaa Wikipedia en galego
Procura

Divisor

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
(Redirección desde «Factor»)

Enmatemáticas, undivisor dun número enteiron,{\displaystyle n,} tamén chamadofactor den,{\displaystyle n,} é unnúmero enteirom{\displaystyle m} que se pode multiplicar por algún número enteiro para producirn.{\displaystyle n.}[1] Neste caso, tamén se di quen{\displaystyle n} émúltiplo dem.{\displaystyle m.} Un número enteiron{\displaystyle n} édivisible por outro número enteirom{\displaystyle m} sem{\displaystyle m} é un divisor den{\displaystyle n}; isto implica que ao dividirn{\displaystyle n} porm{\displaystyle m} non temos un resto.

Definición

[editar |editar a fonte]

Unnúmero enteiron{\displaystyle n} é divisible por un número enteiro distinto de cerom{\displaystyle m} se existe un número enteirok{\displaystyle k} tal quen=km.{\displaystyle n=km.} A nomenclatura habitual é

m∣n.{\displaystyle m\mid n.}

En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler asím{\displaystyle m} divide an,{\displaystyle n,}m{\displaystyle m} é un divisor den,{\displaystyle n,}m{\displaystyle m} é un factor den,{\displaystyle n,} oun{\displaystyle n} é múltiplo dem.{\displaystyle m.} Sem{\displaystyle m} non divide an,{\displaystyle n,} daquela a notación ém∤n.{\displaystyle m\not \mid n.}[2][3]

Que en latex sería "m \not\mid n".

Xeral

[editar |editar a fonte]

Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1,n{\displaystyle n} e−n{\displaystyle -n} coñécense comodivisores triviais den.{\displaystyle n.} Un divisor den{\displaystyle n} que non é un divisor trivial coñécese como undivisor non trivial (ou divisor estrito[4]). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese comonúmero composto, mentres que as unidades −1 e 1 eos números primos non teñen divisores non triviais.

Osdivisores propios son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.

Existenregras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

Exemplos

[editar |editar a fonte]

Outras nocións e feitos

[editar |editar a fonte]

Algunhas regras elementais:

Sea∣bc,{\displaystyle a\mid bc,} egcd(a,b)=1,{\displaystyle \gcd(a,b)=1,} entóna∣c.{\displaystyle a\mid c.}[a] Isto denómínaselema de Euclides.

Sep{\displaystyle p} é un número primo ep∣ab{\displaystyle p\mid ab} entónp∣a{\displaystyle p\mid a} oup∣b.{\displaystyle p\mid b.}

Un número enteiron>1{\displaystyle n>1} cuxo único divisor propio é 1 chámasenúmero primo.

Calquera divisor positivo den{\displaystyle n} é un produto dedivisores primos den{\displaystyle n} elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia doteorema fundamental da aritmética .

Un númeron{\displaystyle n} dise que éperfecto se é igual á suma dos seus divisores propios,deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor quen,{\displaystyle n,} eabundante se esta suma superan.{\displaystyle n.}

O número total de divisores positivos den{\displaystyle n} é unhafunción multiplicativad(n),{\displaystyle d(n),} no caso dem{\displaystyle m} en{\displaystyle n} serenrelativamente primos, entónd(mn)=d(m)×d(n).{\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).} Por exemplo,d(42)=8=2×2×2=d(2)×d(3)×d(7){\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)} ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigmaσ0(n){\displaystyle \sigma _{0}(n)}

A suma dos divisores positivos den{\displaystyle n} é outra función multiplicativaσ1(n){\displaystyle \sigma _{1}(n)} (p. exσ1(42)=96=3×4×8=σ1(2)×σ1(3)×σ1(7)=1+2+3+6+7+14+21+42{\displaystyle \sigma _{1}(42)=96=3\times 4\times 8=\sigma _{1}(2)\times \sigma _{1}(3)\times \sigma _{1}(7)=1+2+3+6+7+14+21+42} ). Esta última coñécese comofunción divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por isod(n)=σ0(n){\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)}, pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización den{\displaystyle n} está dada polos primos

n=p1ν1p2ν2⋯pkνk{\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}

daquela o número de divisores positivos den{\displaystyle n} é

d(n)=(ν1+1)(ν2+1)⋯(νk+1),{\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}

e cada un dos divisores ten a forma

p1μ1p2μ2⋯pkμk{\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}

onde0≤μi≤νi{\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}} para cada1≤i≤k.{\displaystyle 1\leq i\leq k.}

Para cada número naturaln,{\displaystyle n,} temosd(n)<2n.{\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}

En álxebra abstracta

[editar |editar a fonte]

Teoría de aneis

[editar |editar a fonte]
Artigo principal:Divisibilidade (anel).

Retícula de división

[editar |editar a fonte]
Artigo principal:Retícula de división.

Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxuntoN{\displaystyle \mathbb {N} } de enteiros non negativos nunconxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro∧ ven dada polomáximo común divisor e a operación de unión∨ polomínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual daretícula de subgrupos dogrupo cíclico infinito Z.


Notas

[editar |editar a fonte]
  1. ↑gcd{\displaystyle \gcd } refírese aomáximo común divisor, siglas en inglés.
  1. ↑Tanton 2005, p. 185.
  2. ↑Hardy & Wright 1960, p. 1.
  3. ↑Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, p. 4.
  4. ↑"FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois"(PDF). 

Véxase tamén

[editar |editar a fonte]

Bibliografía

[editar |editar a fonte]

Outros artigos

[editar |editar a fonte]
Control de autoridades
Traído desde «https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Divisor&oldid=6709545»
Categoría:
Categoría agochada:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp