Aexpansión de Engel dunnúmero real positivox é a únicasecuencianon decrecente denúmeros enteiros positivos${\displaystyle (a_1,a_2,a_3,\dots )}$ tal que

${\displaystyle x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2{a}_3}+\cdots =\frac{1}{a_1}\left(1+\frac{1}{a_2}\left(1+\frac{1}{a_3}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Por exemplo,o númeroe ten unha expansión de Engel

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

correspondente áserie infinita

${\displaystyle e=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots }$

Os números racionais teñen unha expansión de Engel finita, mentres queos números irracionais teñen unha expansión de Engel infinita. Sex é racional, a súa expansión de Engel proporciona unha representación dex como unhafracción exipcia. As expansións de Engel reciben o nome deFriedrich Engel, quen as estudou en 1913.

Unha expansión análoga a unhaexpansión de Engel, na que os termos alternos son negativos, chámase expansión de Pierce.

Kraaikamp & Wu (2004) observe que unha expansión de Engel tamén se pode escribir coma unha variante ascendetnte dunhafracción continua:

${\displaystyle x=\frac{1+\frac{1+\frac{1+\cdots }{a_3}}{a_2}}{a_1}.}$

Afirman que as fraccións continuas ascendentes como esta foron estudadas xa noLiber Abaci deFibonacci (1202). Esta afirmación parece referirse á notación de fracción composta de Fibonacci na que unha secuencia de numeradores e denominadores que comparten a mesma barra de fracción representa unha fracción continua ascendente:

${\displaystyle \frac{abcd}{efgh}={\displaystyle \frac{d+\frac{c+\frac{b+\frac{a}{e}}{f}}{g}}{h}}.}$

Para atopar a expansión de Engel dex, sexa

${\displaystyle u_1=x,}$

${\displaystyle a_k=\lceil \frac{1}{u_k}\rceil ,}$

e

${\displaystyle u_{k+1}=u_k{a}_k-1}$

onde${\displaystyle \lceil r\rceil }$ é afunción teito (o número enteiro máis pequeno non inferior ar).

Se${\displaystyle u_i=0}$ para calquerai, remata o algoritmo.

Para atopar a expansión de Engel de 1.175, realizamos os seguintes pasos.

${\displaystyle u_1=1.175,a_1=\lceil \frac{1}{1.175}\rceil =1;}$

${\displaystyle u_2=u_1{a}_1-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_2=\lceil \frac{1}{0.175}\rceil =6}$

${\displaystyle u_3=u_2{a}_2-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_3=\lceil \frac{1}{0.05}\rceil =20}$

${\displaystyle u_4=u_3{a}_3-1=0.05\cdot 20-1=0}$

A serie remata aquí. Así,

${\displaystyle 1.175=\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{1\cdot 6\cdot 20}}$

e a expansión de Engel de 1.175 é (1, 6, 20).

Considere esta suma:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}=\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\alpha (\alpha +\beta )}+\frac{1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}+\cdots ,}$

onde${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb{N}}$ e . Así, en xeral

${\displaystyle {\left(\frac{1}{\beta }\right)}^{1-\frac{\alpha }{\beta }}{e}^{\frac{1}{\beta }}\gamma \left(\frac{\alpha }{\beta },\frac{1}{\beta }\right)=\{\alpha ,\alpha (\alpha +\beta ),\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ),\dots \}}$ ,

onde${\displaystyle \gamma }$ representa afunción gamma incompleta minúscula.

En concreto, se${\displaystyle \alpha =\beta }$ ,

${\displaystyle e^{1/\beta }-1=\{1\beta ,2\beta ,3\beta ,4\beta ,5\beta ,6\beta ,\dots \}}$ .

A identidade de Gauss doq-análogo pódese escribir como:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-\frac{1}{q^{2n}}}{1-\frac{1}{q^{2n-1}}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{q^{\frac{n(n+1)}{2}}},q\in \mathbb{N}.}$

Usando esta identidade, podemos expresar a expansión de Engel para potencias de${\displaystyle q}$ do seguinte xeito:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(1-\frac{1}{q^n}\right)}^{(-1{)}^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\prod _{i=1}^n{q}^i}.}$

A maiores, esta expresión pódese escribir en forma pechada como:

${\displaystyle \frac{q^{1/8}{\vartheta }_2\left(\frac{1}{\sqrt{q}}\right)}{2}=\{1,q,q^3,q^6,q^{10},\dots \}}$

onde${\displaystyle {\vartheta }_2}$ é a segundafunción theta.

${\displaystyle \pi }$ = (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...) (secuenciaA006784 naOEIS)

${\displaystyle \sqrt{2}}$ = (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...) (secuenciaA028254 naOEIS)

${\displaystyle e}$ = (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...) (secuenciaA028310 naOEIS)

• Engel, F. (1913). "Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen".Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. pp. 190–191. .
• Pierce, T. A. (1929).On an algorithm and its use in approximating roots of algebraic equations.American Mathematical Monthly36. pp. 523–525.JSTOR 2299963.doi:10.2307/2299963. 
• Erdős, Paul;Rényi, Alfréd; Szüsz, Peter (1958).On Engel's and Sylvester's series(PDF).Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.1. pp. 7–32. .
• Erdős, Paul;Shallit, Jeffrey (1991).New bounds on the length of finite Pierce and Engel series.Journal de théorie des nombres de Bordeaux3. pp. 43–53.MR 1116100.doi:10.5802/jtnb.41. .
• Paradis, J.; Viader, P.; Bibiloni, L. (1998).Approximation to quadratic irrationals and their Pierce expansions.Fibonacci Quarterly36. pp. 146–153. 
• Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004).On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients.Monatshefte für Mathematik143. pp. 285–298.doi:10.1007/s00605-004-0246-3. .
• Wu, Jun (2000).A problem of Galambos on Engel expansions.Acta Arithmetica92. pp. 383–386.MR 1760244.doi:10.4064/aa-92-4-383-386. .
• Wu, Jun (2003).How many points have the same Engel and Sylvester expansions?.Journal of Number Theory103. pp. 16–26.MR 2008063.doi:10.1016/S0022-314X(03)00017-9. .
• Llorente, A. G. (2023).Arithmetic Progression-Representing Constants (preprint). .

• Fracción continua de Euler.

• Weisstein, Eric W."Engel Expansion". MathWorld–A Wolfram Web Resource. 

• Análise matemática
• Teoría de números