Movatterモバイル変換

Dominio de integridade

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Enmatemáticas, undominio de integridade é unanel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero.^[1]^[2] Os dominios de integridade son xeneralizacións doanel deenteiros e proporcionan un escenario natural para estudara divisibilidade. Nun dominio de integridade, todo elemento distinto de ceroa ten a propiedade de cancelación, é dicir, sea ≠ 0, unha igualdadeab =ac implicab =c.

Algúns tipos específicos de dominios de integridade danse coa seguinte cadea de inclusión de clases:

rngs ⊃aneis ⊃aneis conmutativos ⊃dominios de integridade ⊃dominios de integridade pechados ⊃dominios GCD ⊃dominios de factorización única ⊃dominios de ideais principais ⊃dominios euclidianos ⊃corpos ⊃corpos alxebricamente pechados

Definición

[editar |editar a fonte]

Undominio de integridade é unanel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos calquera é distinto de cero. De forma equivalente:

Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero sendivisores de cero distintos de cero.
Un dominio de integridade é un anel conmutativo no que oideal cero {0} é unideal primo.
Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero para o cal cada elemento distinto de cero é cancelable baixo a multiplicación.
Un dominio de integridade é un anel para o cal o conxunto de elementos distintos de cero é unmonoide conmutativo baixo a multiplicación (porque un monoide debe estarpechado baixo a multiplicación).
Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que para cada elemento distinto de ceror, a función que mapea cada elementox do anel co produtoxr éinxectiva. Os elementosr con esta propiedade chámanseregulares, polo que é equivalente a esixir que todos os elementos do anel non nulos sexan regulares.
Un dominio de integridade é un anelisomorfo a un subanel duncorpo. (Dado un dominio de integridade, pódese mergullar no seucorpo de fraccións.)

Exemplos

[editar |editar a fonte]

O exemplo arquetípico é o anel $\mathbb {Z}$ de tódolosenteiros.
Todocorpo é un dominio de integridade. Por exemplo, o corpo $\mathbb {R}$ de todos osnúmeros reais é un dominio de integridade. Por outra banda, cada dominio de integridade de Artin é un corpo. En particular, todos os dominios de integridade finitos soncorpos finitos (en xeral, poloteorema de Wedderburn, dominios finitos son corpos finitos). O anel de números enteiros $\mathbb {Z}$ proporciona un exemplo dun dominio de integridade infinito non artiniano que non é un corpo, posuíndo secuencias infinitas descendentes de ideais como:
$\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots$
Os aneis depolinomios son dominios de integridade se os coeficientes veñen dun dominio de integridade. Por exemplo, o anel $\mathbb {Z} [x]$ de todos os polinomios nunha variábel con coeficientes enteiros é un dominio de integridade; así é o anel $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ de todos os polinomios enn-variables con coeficientescomplexos.
O anel $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ é un dominio de integridade para calquera número enteiro non cadrado $n {\displaystyle n}$ . Se $n>0$ , entón este anel é sempre un subanel de $\mathbb {R}$ , se non, é un subanel de $\mathbb {C} .$
O anel deenteirosp-ádicos $\mathbb {Z} _{p}$ é un dominio de integridade.
O anel deserie de potencias formais dun dominio de integridade é un dominio de integridade.
Se $U {\displaystyle U}$ é unsubconxunto aberto conexo doplano complexo $\mathbb {C}$ , entón o anel ${\mathcal {H}}(U)$ consistente en tódalasfuncións holomorfas é un dominio de integridade. O mesmo é certo para os aneis defuncións analíticas sobre subconxuntos abertos devariedades analíticas conexas.
Aanel local regular é un dominio de integridade. De feito, un anel local regular é undominio de factorización única (UFD).^[3]^[4]

Non exemplos

[editar |editar a fonte]

Os seguintes aneisnon son dominios de integridade.

O anel cero (nese anel $0=1$ ).
O anel cociente $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ candom é unnúmero composto. De feito, se escollemos unha factorización adecuada $m=xy$ (onde $x {\displaystyle x}$ e $y {\displaystyle y}$ non son iguais a $1 {\displaystyle 1}$ ou $m {\displaystyle m}$ ). Temos $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ e $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$ pero $xy\equiv 0{\bmod {m}}$ .
O produto de dous aneis conmutativos diferentes de cero. Nun produto como este $R\times S$ , temos $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ .
O anel cociente $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})$ para calquera $n\in \mathbb {Z}$ . As imaxes de $x+n$ e $x-n$ son diferentes de cero, mentres que o seu produto é 0 neste anel.
O anel dematricesn ×n sobre calquera anel non cero candon ≥ 2. Se $M {\displaystyle M}$ e $N {\displaystyle N}$ son matrices tal que a imaxe de $N {\displaystyle N}$ está contida no kernel de $M {\displaystyle M}$ , entón $MN=0$ . Por exemplo, isto ocorre para $M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})$ .
O anel cociente $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)$ para calquera corpo $k {\displaystyle k}$ e calquera polinomio non constante $f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ . As imaxes def eg neste anel cociente son elementos diferentes de cero cuxo produto é 0. Este argumento mostra, de forma equivalente, que $(fg)$ non é unideal primo. A interpretación xeométrica deste resultado é que osceros defg forman un conxunto alxébrico afín que non é irredutíbel (é dicir, non é unvariedade alxébrica) en xeral. O único caso no que este conxunto alxébrico pode ser irredutíbel é candofg é a potencia dunpolinomio irredutíbel, que define o mesmo conxunto alxébrico.
O anel defuncións continuas sobre o intervalo unitario. Considere as funcións
$f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}$

Nigunha de

f {\displaystyle f}

g {\displaystyle g}

é cero en todas as partes, pero

f g {\displaystyle fg}

si que o é.

Divisibilidade, elementos primos e elementos irredutíbeis

[editar |editar a fonte]

Nesta sección,R é un dominio de integridade.

Dados os elementosa eb deR, dise queadividea b, ou quea é undivisor deb, ou queb é unmúltiplo dea, se existe un elementox enR tal queax =b .

Asunidades deR son os elementos que dividen a 1; que son precisamente os elementos invertíbeis enR. As unidades dividen todos os demais elementos.

Sea dividea b eb dividea a, entóna eb sonelementos asociados.^[5] De forma equivalente,a eb sonasociados sea =ub para algunhaunidadeu.

Unelemento irredutíbel é unha non unidade distinta de cero que non se pode escribir como produto de dúas non unidades.

Unp non unitario distinto de cero é unelemento primo se, sempre quep divide un produtoab, entónp dividea oup divideb. De forma equivalente, un elementop é primo se e só se oideal principal (p) é unideal primo distinto de cero.

Tanto as nocións de elementos irredutíbeis como de elementos primos xeneralizan a definición ordinaria denúmeros primos no anel $\mathbb {Z} ,$ se se consideran primos os primos negativos.

Todo elemento primo é irredutíbel. En xeral a inversa non é verdade: por exemplo, no anel deenteiros cadráticos $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ o elemento 3 é irredutíbel (se factorizase de forma non trivial, cada un dos factores debería ter a norma 3, mais non hai elementos de norma 3 xa que $a^{2}+5b^{2}=3$ non ten solucións enteiras), mais non é primo (xa que 3 divide $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$ sen dividir ningún dos factores). Nun dominio de factorización única (UFD) un elemento irredutíbel é un elemento primo.

Aínda que a factorización única non se cumpre en $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ , si que hai unha factorización única dosideais. Vexa oteorema de Lasker–Noether.

Propiedades

[editar |editar a fonte]

Un anel conmutativoR é un dominio de integridade se e só se o ideal (0) deR é un ideal primo.
SeR é un anel conmutativo eP é unideal enR, entón oanel cocienteR/P é un dominio de integridade se e só seP é unideal primo.
SexaR un dominio de integridade. Entón osaneis polinómicos sobreR (en calquera número de indeterminados) son dominios de integridade. Este é o caso en particular seR é uncorpo.
A propiedade de cancelación cúmprese en calquera dominio de integridade: para calqueraa,b ec nun dominio de integridade, sea ≠0 eab =ac entónb =c. Outra forma de afirmalo é que a funciónx ↦ax é inxectiva para calqueraa distinto de cero no dominio.
A propiedade de cancelación cúmprese para os ideais en calquera dominio de integridade: sexI =xJ, entónx é cero ouI =J.
Un dominio de integridade é igual á intersección das súaslocalizacións nos ideais máximos.
Un límite indutivo de dominios de integridade é un dominio de integridade.
SeA,B son dominios de integridade sobre un corpo alxebraicamente pechadok, entónA ⊗_kB é un dominio de integridade. Esta é unha consecuencia donullstellensatz de Hilbert (teorema dos ceros de Hilbert), e en xeometría alxébrica, implica a afirmación de que o anel de coordenadas do produto de dúas variedades alxébricas afines sobre un corpo alxebricamente pechado é tamén un dominio de integridade.

Corpo de fraccións

[editar |editar a fonte]

Ocorpo das fracciónsK dun dominio de integridadeR é o conxunto de fracciónsa/b cona eb enR eb ≠ 0 módulo unha relación de equivalencia adecuada, equipada coas operacións habituais de suma e multiplicación.

Xeometría alxébrica

[editar |editar a fonte]

Enxeometría alxébrica, unanel de coordenadas dun conxunto alxébrico afín é un dominio de integridade se e só se o conxunto alxébrico é unhavariedade alxébrica.

De forma máis xeral, un anel conmutativo é un dominio de integradade se e só se o seuespectro é un esquema afínde integridade.

Característica e homomorfismos

[editar |editar a fonte]

Acaracterística dun dominio de integridade é 0 ou unnúmero primo.

SeR é un dominio integridade da característica primap, entón oendomorfismo de Frobeniusx ↦x^p éinxectivo.

Notas

[editar |editar a fonte]

Véxase tamén

[editar |editar a fonte]

Bibliografía

[editar |editar a fonte]

Adamson, Iain T. (1972).Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd.ISBN 0-05-002192-3.
Bourbaki, Nicolas (1998).Algebra, Chapters 1–3. Berlin, New York:Springer-Verlag.ISBN 978-3-540-64243-5.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004).Abstract Algebra (3rd ed.). New York:Wiley.ISBN 978-0-471-43334-7.
Durbin, John R. (1993).Modern Algebra: An Introduction (3rd ed.). John Wiley and Sons.ISBN 0-471-51001-7.
Herstein, I.N. (1964).Topics in Algebra. Londres: Blaisdell Publishing Company.
Hungerford, Thomas W. (2013).Abstract Algebra: An Introduction (3rd ed.). Cengage Learning.ISBN 978-1-111-56962-4.

Lang, Serge (2002).Algebra. Graduate Texts in Mathematics211. Berlin, New York:Springer-Verlag.ISBN 978-0-387-95385-4.MR 1878556.
Mac Lane, Saunders;Birkhoff, Garrett (1967).Algebra. New York: The Macmillan Co.ISBN 1-56881-068-7.MR 0214415.
McConnell, J.C.; Robson, J.C.Noncommutative Noetherian Rings.Graduate Studies in Mathematics30. AMS.
Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002).An introduction to group rings. Springer.ISBN 1-4020-0238-6.
Lanski, Charles (2005).Concepts in abstract algebra. AMS Bookstore.ISBN 0-534-42323-X.
Rowen, Louis Halle (1994).Algebra: groups, rings, and fields.A K Peters.ISBN 1-56881-028-8.
Sharpe, David (1987).Rings and factorization.Cambridge University Press.ISBN 0-521-33718-6.
van der Waerden, Bartel Leendert (1966).Algebra1. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag.