Un númerocadrado perfecto enmatemáticas, ou unnúmero cadrado, é un número enteiro que é o cadrado doutro; ou dito doutro xeito, é un número que ten comoraíz cadrada unnúmero natural.
Un número é un cadrado perfecto se se pode dispor nunha figura cadrada. Por exemplo, 9 é un número cadrado perfecto xa que pode ser escrito como 3 × 3, e pódese dispor do seguinte xeito:
Elevar 5 ao cadrado dá aárea dun cadrado de lado 5.
Enálxebra, ocadrado dun númeron exprésase comon², e equivale an × n. A operación alxébrica de elevar ao cadrado un númeron proporciónanos a área duncadrado xeométrico cun lado que miden. Por tal razón, esta operación coñécese comoelevar ao cadrado.[1]
Un número naturaln elevado ao cadrado pódese linearizar por medio da seguinteexpresión:
A fórmula xeral para on-ésimo número cadrado én2. Esta expresión é igual á suma dosn primeirosnúmeros impares, demostrable porindución matemática, rexistrada na seguinte fórmula:
Un cadrado par pódese expresar como a suma de dous impares consecutivos. Se cumpre a condición cabe pois e exponse a seguinte ecuación:
Un número primo da forma pódese expresar como a suma de dous cadrados:
Os babilonios usaban táboas de cadrados para a multiplicación[2] aplicando a fórmula:
Oteorema dos catro cadrados deLagrange establece que calquera número enteiro positivo pode ser escrito como a suma de catro cadrados perfectos. Tres cadrados non son suficientes para ser representados como números da forma 4k(8m + 7). Un número positivo pode ser representado como unha suma de dous cadrados precisamente se afactorización en números primos non contén potencias impares da forma 4k + 3. Esta é unha xeneralización doproblema de Waring.
Segundo o últimodíxito do númeron do que se quere calcular o seu cadrado pódese comprobar que este cadrado terá as propiedades seguintes:
Se o último díxito é 0, o seu cadrado acaba en 00 e os díxitos precedentes forman un cadrado.
Se o último díxito é 1 ou 9, o seu cadrado termina en 1 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
Se o último díxito é 2 ou 8, o seu cadrado termina en 4 e os díxitos precedentes forman un número par.
Se o último díxito é 3 ou 7, o seu cadrado termina en 9 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
Se o último díxito é 4 ou 6, o seu cadrado termina en 6 e os díxitos precedentes forman un número impar.
Se o último díxito é 5, o seu cadrado termina en 25 e os díxitos precedentes forman un número par.
Polo tanto, ningún cadrado perfecto enteiro acaba en 2, 3, 7 nin 8.
A cantidade de factores (divisores) dun número cadrado perfecto é sempre impar. Ou dito doutro xeito, cúmprese que para todo número natural que non é cadrado perfecto, a cantidade dos seus factores é un número par.
Todo número natural pódese descompor en factores primos e os seus correspondentes expoñentes:,
ondeN é un número natural, son números primos ea,b,c,... os seus correspondentes expoñentes. Dado que todos os posibles divisores deN son unha combinación deste produto desdea=0,1,2,..a,b=0,1,2,...b ec=0,1,2,...c, a cantidade de divisores deN é:
n = (a+1).(b+1).(c+1)... onden é a cantidade de factores ou divisores de calquera número natural.
Posto que nun número cadrado perfecto os expoñentesa,b,c, ... son números pares, todos os factores den serán impares e polo tanto o produto tamén é un número impar. Isto pode comprobarse revisando unhatáboa de divisores.
Pode calcularse un cadrado a partir do anterior ou do anterior cadrado par/impar respecto doutro coñecido.
A distancia entre un cadrado e o seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado do seguinte e restarlle 1: Se para 42 = 16, para 52 = 42 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25.
Outra maneira de calcular a distancia é tendo en conta a seguinte propiedade:
A diferenza entre un número cadrado e o consecutivo (se se comeza co 0) son todos os números impares, en orde ascendente:
0 + 1 = 1
1 + 3 = 4
4 + 5 = 9
9 + 7 = 16
A distancia entre un cadrado e o seguinte do seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 4 veces o lado desexado -1: Se para 42 = 16, para 62 = 42 + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36
Estes casos resultan de interese con números moi grandes, para achar en bucles o seguinte cadrado ou o seguinte cadrado de lado par/impar, especialmente en computación onde as sumas son moito menos custosas que as multiplicacións e as multiplicacións por potencias de 2 poden ser realizadas con instrucións de desprazamento de bits. Á súa vez as multiplicacións ('2 * x' ou por '4 * x' segundo o caso), dentro dun bucle pode manterse como unha suma se se garda o valor previo de suma. Nótese como en ambos os casos á dereita do todo, o seguinte cadrado, para ambos os casos resólvense con sumas.
A operación á inversa é facilmente deducible, é dicir, achar o cadrado anterior a outro dado.
A distancia entre un cadrado e o anterior, resulta de restar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado actual e sumarlle 1: Se para 62 = 36, para 52 = 62 - (2 * 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25
A distancia entre un cadrado e o anterior do anterior, resulta de restar ao cadrado 4 veces o lado actual -1: Se para 62 = 36, para 42 = 62 - (4 * (6-1)) = 36 - 20 = 16
On-ésimo número cadrado pode ser calculado do resultado obtido nas dúas anteriores posicións e ao que se lle engade o (n − 1)-ésimo cadrado de si mesmo, subtraendo o (n − 2)-enésimo cadrado, e engadindo 2 (). Por exemplo,2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 =50 − 16 + 2 = 36 = 62.
É a miúdo útil notar que o cadrado de calquera número pode ser representado como a suma 1 + 1 + 2 + 2 +... +n − 1 +n − 1 +n. Por exemplo, o cadrado de 4 ou 42 é igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este é o resultado de engadir unha columna de grosor un ao grafo cadrado de lado tres (como nun taboleiro detres en raia). Pódese engadir tamén tres lados e catro á parte superior para obter un cadrado. Isto pode ser tamén útil para atopar o cadrado dun número grande de forma inmediata. Por exemplo, o cadrado de 52 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. É máis fácil así:1572=1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. É o primeiro sumando e os demais son máis fáciles de atopar, 303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649
Un número cadrado pode ser considerado tamén como a suma de dousnúmeros triangulares consecutivos. A suma de dous números cadrados consecutivos é un número cadrado centrado. Cada cadrado impar é ademais unnúmero octogonal centrado.
O cadrado dun número par sempre é par (de feito é divisible por 4), xa que (2n)2 = 4n2.
O cadrado dun número impar é sempre impar, xa que (2n + 1)2 = 4(n2 +n) + 1.
Disto séguese que a raíz cadrada dun cadrado perfecto par sempre é par, e a raíz cadrada dun cadrado perfecto impar sempre é impar. Este feito emprégase moito nas demostracións (véxaseraíz cadrada de 2).
