’S esmuanairt a tha dearbhte a th’ ann anteòirim. Ann ammatamataig, ’s e ràdh matamatagach a tha air a chur an cèill ann an riochd a ghabhas dearbhadh no breugnachadh a th’ ann ansmuanairt, agus ma tha e air a dhearbhadh fo riaghailteanmatamataige ’s eteòirim a th’ ann. Mur eil dearbhadh aig ansmuanairt ach thathar a’ creidsinn gu bheil e fìor agus thathar a’ sùileachadh gun tig dearbhadh air a’ cheann thall, chan e teòirim achbaralachas a th’ ann.
Cha ghabh teòirim (no rudeigin eile) a dhearbhadh mar thà. Tha gach teòirim air a stèidheachadh air grunnan ro-fhìrinnean agus cha ghabh a dhearbhadh mur eil na ro-fhìrinnean seo fìor. ’S e sin ri ràdh gu bheil dearbhadh daonnan den riochd: ma thaA fìor, ’s ann a thaB fior. Ri linn sin tha ro-fhìrinnean an teòirim nam pàirt cudromach dheth. Tha gach teòirim an eisimeil air fìrinneachd a chuid ro-fhìrinnean. Mar as cumanta ’s ebeachd-bharailean an teòirim a chanar ris na ro-fhìrinnean.
Is math a dh’fhaodte gum bibeachd-bharail(ean) an teòirim na theòirim fhèin is gum bi an dara teòirim air a stèidheachadh air teòirim eile (no air grunnan teòirimean eile). ’S ann mar seo a tha eòlas air a thogail. Ach aig bun an eòlais seo bidh grunnanbeachd-bharailean nach gabh an dearbhadh, agus tha an t-eòlas air fad an eisimeil orra. Bhiodh an t-eòlas seo meallta mur biodh gach aon de nabeachd-bharailean bunaiteach fìor. Canarteòiridh ris an eòlas (.i. seata theòirimean agus na co-dhùnaidhean a tha air an tarraing bhuapa) a tha an eisimeil air grunnanbeachd-bharailean gun dhearbhadh.
Tro na linntean b’ e iomairt nammatamataicheanteòiridheanmatamataige stèidheachadh air grunnanaicseaman. Is iad seobeachd-bharailean a tha fèin-fhollaiseach (aig a’ char as lugha ann an suidheachadh air leth). Uaireannan, tha na h-aicseaman fhèin a’ dèanamh mìneachadh air an t-suidheachadh anns a bheil anteòiridh fìor. Mar eisimpleir, thaTeòiridh Ghrùpa an eisimeil air fìrinneachd an fhearta:
a +b =b +a
Nise, is cinnteach gu bheil seo fìor aig na h-àireamhan nàdarra, ach mur biodh e fìor aig dà uimhira agusb de sheòrsa eile, cha bhiodhTeòiridh Ghrùpa fìor airson an t-seòrsa de dh’ uimhir a tha ann ana agusb. Ach aig an aon àm, cha bhiodhgrùpa a th’ ann an t-seòrsa seo idir oir ’s e feartgrùpa a tha fìrinneachd a’ cho-aontair seo. ThaTeòiridh Ghrùpa a’ buntainn rigrùpaichean a-mhàin. Chan eilear a’ tagradh gu bheil i fìor anns a h-uile suidheachadh. Anns ammatamataig, canarSiostam Aicseamach riteòiridh a tha stèidhichte airaicseaman agusFoirmeileas ris a’ bheachd-smuainealas a chleachdas mhodailean aicseamach a-mhàin. ’S eTeòiridh Dhearbhaidh an sgoilearachdshiostaman foirmeilaicseamach agus na dearbhaidhean a thigeadh bhuapa.
Chan e pàirt de theòirim a th’ anns an dearbhadh, mar a thà anns nabeachd-bharailean. Faodaidh grunnan dearbhaidhean eadar-dhealaichte a bhith aig an aon theòirim. Mar as cumanta, tòisichidh dearbhadh bho bheachd-bharailean an teòirim. Leanaidh an dearbhadh ceum air cheum, agus gach ceum air a thuigsinn bhon cheum a th’ ann roimhe, gus an ruigear an co-dhùnadh a bheir dearbhadh air ansmuanairt. Ach uaireannan tha feum aig an dearbhadh air ro-stèidhean eile. ’S esmuanairtean eile a th’ anntasan agus feumar an dearbhadh air a’ chiad dol-a-mach airson a’ phrìomhsmuanairt a ghabhail dearbhaidh mar theòirim. Canarlèama rismuanairt den t-seòrsa. Thoir an aire gu bheil diofar eadarlèama agusbeachd-bharail. Thalèama co-cheangailte ri dearbhadh an teòirim agus is math a dh’fhaodte gum bi dearbhadh eile ann gun fheum air anlèama seo, no aig a bheil feum airlèama(nnan) tur eadar-dhealaichte.
An uair ’s gu bheil teòirim air a dhearbhadh, uaireannan gabhaidhsmuanairt eile a dhearbhadh cuideachd gu sìmplidh. Canarco-chnuasachd ri seo. ’S e ath-thoradh teòirim a th’ anns a’ cho-chnuasachd.
Mar a tha teòirim nasmuanairt a tha na chuis-dhearbhte, ’s ann nach eil fìor dhiofar eadar teòirim,lèama agusco-chnuasachd, ach a-mhàin an suidheachadh às an èirich iad. Thathar a’ beachdachadh gu bheil teòirim nas cudromaich nalèama, ach tha grunnanlèama ann (me.Lèama Ghauss isLèama Zorn) a tha air leth cudromach cuideachd.Corra uair tha teòirimean cudromachmatamataig air an ainmeachadh leis na faclan “riaghailt”, “lagh” no “prionnsabal” (me.Riaghailt Chramer,Lagh nan Àireamhan Mòra,Prionnsabal Chot a’ Chalmain) ach sa chumantas tha na faclan “teòirim” no “lèama” nas fheàrr. Uaireannan tha am facal “frith-bharail” air a chleachdadh nuair a tha ansmuanairt dearbhte ged tha tuar meallta aige (me.Frith-bharail Bhanach-Tarski), ach thathar a’ cleachdadh an fhacail seo cuideachd far a bheilsmuanairt air a bhreugnachadh agus tuar aige gu robh e fìor.
