Au début duXVIIe siècle, le mathématicien écossaisJohn Napier construit les premièrestables de logarithmes, qui permettent de simplifier des calculs deproduits etquotients mais aussiracines carrées,cubiques et autres. Elles consistent à associer à chaque nombre d'une liste un autre nombre (appelélogarithme), de façon qu'une relation deproportionnalité entre quatre termes de la première liste se traduise par des différences égales entre les termes correspondants de la seconde liste[2] : sia,b,c etd ont pour logarithmes respectifsA,B,C etD, alors la relationa⁄b =c⁄d est équivalente à la relationA−B =C−D.
Plus précisément, Napier fixe unrayon initial de dix millions[c] et construit une liste dans laquelle chaque nombre permet de calculer le suivant en lui soustrayant un dix-millionième de sa valeur. Ces opérations successives sont donc des multiplications itérées par1 – 10–7 et la liste constitue unesuite géométrique de premier terme 107. Le logarithme de chaque nombre de la liste étant son rang d'apparition, la formule du logarithme ainsi obtenu par Napier s'écrit alors :
.
Napier interprète cette construction à l'aide d'un problèmecinématique dans lequel un mobile se déplace à vitesse constante et un autre se déplace sur une longueur finie avec une vitesse proportionnelle à la distance qui lui reste à parcourir. En termes modernes, le problème se traduit donc par deuxéquations différentielles dont les solutions sont linéaire pour le premier mobile et exponentielle pour le second. En égalant les vitesses initiales des deux mobiles et en fixant à 107 la longueur à parcourir pour le second mobile, la positionL du premier mobile s'obtient à partir de la distance restantex du premier mobile par la formule :
Or l'approximation affine du logarithme naturel en 1 permet d'approcherln(1 − 10−7) par−10−7 avec une précision de l'ordre de10−14, soit 7chiffres significatifs. Les tables de valeurs obtenues par Napier offrent donc à la lecture les mêmes premières décimales que celles du logarithme naturel et en particulier, son logarithme vaut 107 entre les sinus de 21°35' et de 21°36, où l'on retrouve[3] les premières décimales de1⁄e (à savoir 3678…). Mais ce nombre n'est pas mis en évidence par Napier.
En 1624,Henry Briggs, correspondant avec Napier, modifie les paramètres de construction des tables de logarithmes. D'abord il fixe à 0 le logarithme de 1, ce qui revient à choisir un rayon unitaire. Ses tables transforment alors les produits en sommes, ce qui s'écrit en formulation moderne :log(ab) = log(a) + log(b). Ensuite, il fixe à 1 le logarithme de 10, ce qui fait qu'une multiplication par 10 d'un nombre se traduit par un ajout d'une unité à son logarithme.
Briggs obtient ainsi une table de valeurs dulogarithme décimal[4], fondé sur lesystème de numération en base 10, mais la notion defonction n'a pas encore émergé à l'époque. En particulier, il n'y a pas de trace d'une évaluation d'untaux d'accroissement en 1, qui aurait pu faire apparaître une approximation delog10(e).
En 1647,Grégoire de Saint-Vincent met en évidence une relation analogue à celle du logarithme entre les aires de domaines délimités par une branche d'hyperbole et sonasymptote. En 1661,Christian Huygens fait le lien entre les logarithmes et laquadrature de l'hyperbole, et en particulier celle d'équationxy = 1. Lelogarithme naturel est donc mis en évidence, mais sa base (e) n'est pas identifiée.
C’est dans une lettre deLeibniz à Huygens que ce nombre est enfin identifié comme la base du logarithme naturel[5], vers 1690, mais Leibniz le noteb.
Euler, dans un article écrit en 1727 ou 1728[6], est le premier à notere« le nombre dont le logarithme est l'unité ». Il utilise cette notation, avec la même définition, dans une lettre àGoldbach en 1731[7].
Le choix de la lettree comme un hommage au nom d'Euler lui-même[8] étant par conséquent peu probable, d'autres suppositions ont été avancées : première voyelle ou première lettre non utilisée dans uncalcul littéral, initiale de « exponentielle », etc.[9].
Euler voyait dans les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes desfonctions réciproques l'une de l'autre. Ecrivant l'équivalence, il appelait le logarithmel en question le logarithme de basea et remarquait quel(a) = 1. Selon cette correspondance, il existe un nombre appelé par Eulere vérifiant l'équivalence, ce nombre vérifieln(e) = 1[10]. La fonction exponentielle admettant une décomposition ensérie entière, Euler obtient le développement dee comme série des inverses desfactorielles desentiers naturels.
Selon Hervé Lehning[11], il aurait eu« l'intuition absolument géniale d'écrire l'exponentielle de basea quelconque comme un polynôme de l'exposant » :
Il va exprimer tous les coefficients en fonction deB. Voici comment. D'abord, en posantx=0, il obtientA=1. Puis, il calcule[12] :
mais puisquea2x= (ax)2, il pose également
donc,
Il développe le membre de droite de façon à pouvoir identifier les coefficients de gauche à ceux de droite :2B=2B,4C=B2+ 2C (d'oùC=B2⁄2),8D=2D+ 2BC (d'oùD=B3⁄6), etc.
La basee étant la seule permettant l'égalité entre l'exponentielle et sa dérivée, il reste à trouverB tel que ce polynôme et sa dérivée sont égaux. La solution est triviale :B=1. Enfin, on observe que 1, 2, 6, 24 sont les valeurs successives de lafactorielle, ce qui mène Euler à conclure[12] :
Différentes courbes exponentielles. Seule celle de basee (en bleu) a une tangente de pente 1 à l'origine.
Les différentes caractérisations de la fonction exponentielle parmi les autresfonctions exponentielles de base quelconque permettent aussi de redéfinire comme l'unique réel tel que la fonction qui àx associeex coïncide avec sa dérivée en tout point, ou simplement au point0 (ce qui est équivalent)[14].
Il s'agit de prouver que pour tout entiern > 0, le nombrene n'est pas entier. Pour cela, il montre quen!e lui-même n'est pas entier, en le décomposant sous la forme,où les nombresx ety sont définis par :.
Le nombrex est entier, comme somme des entiersn(n – 1)(n – 2)…(k + 1) (pourk de0 àn) ;
Le nombrey n'est pas entier. En effet, il est compris strictement entre 0 et 1[d].
Ainsi,n!e est somme d'un entier et d'un non-entier ; il n'est donc pas entier ;a fortiori,ne n'est pas entier. Cette conclusion étant valable quel que soit l'entiern > 0,e est irrationnel.
Une autre démonstration de l'irrationalité dee consiste à utiliser lesfractions continues. Si la preuve est plus complexe, elle offre aussi plus de possibilités de généralisation.
En 1737, Euler a obtenu le développement en fraction continue dee[e] :.Ce développement étant infini, ce nombre est irrationnel.
En 1761,Lambert étend la preuve donnée par Euler et montre, à l'aide de développements enfractions continues généralisées, que pour tout rationnelrnon nul (en particulier pour tout entier non nul),er est irrationnel[f].
Pour aller plus loin, c’est-à-dire que pour montrer quee n’est solution d’aucuneéquation du troisième degré à coefficients rationnels puis, qu’il esttranscendant, ce qui signifie qu’il n’est solution d’aucuneéquation polynomiale à coefficients rationnels, de nouvelles idées sont nécessaires.
Puisquee est transcendant,er l'est aussi, pour tout rationnelr non nul (et plus généralement :f(e), pour toutefonction algébriquef non constante).
Lethéorème de Gelfond-Schneider permet de démontrer également que, par exemple,eπ est transcendant, mais on ne sait pas encore, en 2020, siee etπe sont transcendants ou non (il est cependant conjecturé que tous les nombres de cette forme le sont).
En 1685,Jacques Bernoulli étudie le problème desintérêts composés en progression continue : si un montanta rapporte un montantb d'intérêts au bout d'un temps fini, on peut considérer que ces intérêts s'acquièrent linéairement en fonction du temps. Mais sur l'intervalle de temps considéré, ces intérêts devraient eux-mêmes produire des intérêts, et ainsi de suite. Bernoulli obtient ainsi une expression qui évoque le développement en série exponentielle[17].
Parmi les rationnels denumérateur et dénominateur inférieurs à 1 000, le plus proche dee est[18]878/323 ≈2,71827.
La valeur numérique dee tronquée à 15décimales est[19]2,718281828459045.
Le nombre de décimales connues de la constantee a beaucoup augmenté au cours des dernières décennies. Cette précision est due à l’augmentation des performances des ordinateurs ainsi qu’au perfectionnement des algorithmes[20],[21].
Le nombree fait l'objet de nombreux hommages dans le milieu informatique.
Pour sonintroduction en bourse en 2004,Google a annoncé vouloir lever non pas un chiffre rond comme c'est généralement le cas, mais 2 718 281 828 $, soite milliards de dollars (au dollar près)[33]. Google est aussi à l'origine d'une campagne de recrutement originale en juillet 2004 : des panneaux mentionnant « {first 10-digit prime found in the consecutive digits of e}.com » ({premiernombre premier à 10 chiffres trouvé dans les décimales successives de e}.com) affichés dans un premier temps dans laSilicon Valley, puis àCambridge,Seattle etAustin incitaient les curieux à se rendre sur le site aujourd'hui disparu 7427466391.com. Là, le visiteur devait résoudre un problème encore plus difficile, qui lui-même le renvoyait sur le siteGoogle Labs où il était invité à soumettre un CV[34],[35]. Le premier nombre premier à dix chiffres dans les décimales dee est 7 427 466 391, qui commence à la99e décimale[19].
L'informaticienDonald Knuth a numéroté les différentes versions de son programmeMetafont d'après les décimales dee : 2, 2,7, 2,71, 2,718, et ainsi de suite. De la même façon, les numéros de versions de son programmeTeX approchentπ[36].
↑Ce rayon correspond au rayon d'un cercle dans lequel sont calculées les valeurs trigonométriques, variant donc entre 0 et 107 et non entre 0 et 1 comme actuellement.
Carl D. Olds, « The simple continued fraction expansion of the number e »,The American Mathematical Monthly,vol. 77,no 9,,p. 968–974(URL, consulté le).
