Zéro est unchiffre et unnombre. Son nom a été emprunté en 1485 à l’italienzero, contraction dezefiro, issu du latin médiévalzephirum, qui représente une transcription de l’arabeṣĭfr (صفر), le vide[2] (qui en français a également donnéchiffre). Le zéro est noté sous forme d’une figure fermée simple :0.
En tant quechiffre, il est utilisé pour« garder le rang »[3] et marquer une position vide dans l’écriture des nombres ennotation positionnelle.
En tant quenombre, zéro est un objetmathématique permettant d’exprimer une absence comme une quantité nulle : c'est le nombre d'éléments de l’ensemble vide. Il est le plus petit desentiers positifs ou nuls. Ses propriétés arithmétiques particulières, notamment l’impossibilité de ladivision par zéro, impliquent parfois de traiter son cas à part. Il sépare lesnombres réels en positifs et négatifs et tient lieu d’origine pourrepérer des points sur ladroite réelle[4].
Lessystèmes de numération positionnels sont de bons candidats pour l'apparition du zéro en tant que chiffre. Il est ainsi apparu plusieurs fois dans ceux élaborés par différents peuples et civilisations. Le chiffre zéro n'y est cependant pas nécessaire : des civilisations comme la Chine ou la Mésopotamie s'en sont passé durant des siècles.
Dans la civilisation mésopotamienne, un système sexagésimal de position apparaît dès leXXIe siècle av. J.-C.[8]. Ce système n'utilisait pas de zéro, ni pour indiquer l'ordre de grandeur, puisqu'ils travaillaient sur un système apparenté à la virgule flottante[9] ni pour indiquer une absence au sein de la numération où d'autres moyens étaient utilisés comme l'espacement[10]. La première apparition du zéro enMésopotamie semble remonter auIIIe siècle av. J.-C., à l’époque desSéleucides. Il n’était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d’une position vide dans le système denumération mésopotamienne)[11]. Ignoré par lesRomains, il fut repris et mieux utilisé encorepar les astronomes grecs.
Les chiffres indiens sont importés d’Espagne en Europe chrétienne aux environs de l’an mil. Cette introduction a souvent été attribuée à Gerbert d’Aurillac, devenu pape sous le nom deSylvestreII. Il est cependant douteux qu'il en ait véritablement été le responsable. Dans tous les cas, le zéro n'est pas encore couramment utilisé en Europe chrétienne, les chiffres indiens servant surtout à marquer les jetons d’abaque de 1 à 9[17].
Leonardo Fibonacci a une influence déterminante. Il reste plusieurs années àBéjaïa, auMaghreb central (actuelleAlgérie), et étudie auprès d’un professeur local. Il voyage également enGrèce, enÉgypte, dans leProche-Orient et confirme l’avis deSylvestreII sur les avantages de lanumération de position. En 1202, il publie leLiber abaci, recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l’époque et qui, malgré son nom, enseigne à calculer sansabaque.
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Le zéro est utilisé par lesMayas durant leIer millénaire, comme chiffre dans leur système denumération de position, comme nombre et comme ordinal dans le calendrier, où il correspond à l’introduction des mois.Sylvanus Morley a confondu ces deux utilisations dans une transcription unique, négligeant le fait qu’il s’agit de deux concepts et de deux zéros différents[6] : l’un correspond à un zéro ordinal des dates, l’autre est un zéro cardinal des durées[18], jamais confondus dans leurs usages par les scribes[19].
Des tests appropriés permettent d'évaluer la capacité des animaux à compter, à évaluer si un nombre est plus grand qu'un autre, et même à considérer le zéro (l'absence d'items) comme un nombre inférieur aux autres. Cette capacité a été démontrée chez lesgris du Gabon[20], chez lessinges rhésus[21] et chez lesabeilles domestiques[22].
On a montré chez l'Homme que certainsneurones réagissent spécifiquement à la pensée du chiffre zéro, et d'autres à la notion de vide ou de « rien »[23].
La graphie « 0 » n’est pas la seule utilisée dans le monde ; un certain nombre d’écritures — particulièrement celles des langues du sous-continent indien, du sud-est asiatique et d'extrême orient — utilisent des graphies différentes.
Dans labase dix que l’on utilise, lechiffre le plus à droite indique lesunités, le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines, le quatrième les milliers, etc.
L’usage de la base dix, en provenance de l’Inde, s’est imposé en France par rapport à d’autresbases, par exemple 12 et 60 qui étaient utilisées dans certainescivilisations, lesystème vicésimal ayant laissé des traces dans la langue française, et lesystème duodécimal des modes de calcul chez les Britanniques.
Lorsqu’il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) permet de comprendre que l’autre chiffre (3) indique lesdizaines.
Si l’on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n’y a pas d’unité résiduelle. Il faut donc un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c’est ainsi que l’on comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ».
On aurait pu utiliser n’importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ».
Le fait d’exprimer l’absence de quantité par un nombre n’est pas une évidence en soi. L’absence d’un objet s’exprime par la phrase « il n’y en a pas » (ou « plus »).
Les nombres sont déjà uneabstraction : on ne s’intéresse pas à la qualité d’un objet, mais uniquement à sa quantité, sa dénombrabilité (le fait que des objets soient similaires mais distincts). Le zéro décrit le concept abstrait du déni ou de l'absence de quantité.
Lorsque l’on additionne ou multiplie deux nombres, on peut rationaliser l'opération comme un regroupement de deux tas d’objets semblables, deux troupeaux, etc. Cette image ne tient plus lorsque l’on manipule le zéro.
Zéro est l’élément neutre dans ungroupe abélien muni de la loi+ ou l’élément neutre pour l’addition dans unanneau.
Un zéro d’une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l’image par la fonction est zéro ; aussi appeléracine, surtout dans le cas d’unefonction polynomiale. Voirzéro (analyse complexe).
Le concept de « presque impossible » enprobabilité.
Unefonction nulle est unefonction qui ne prend que la valeur 0. Unmorphisme nul est une fonction nulle particulière. Une fonction nulle est l’élément neutre dans un groupe additif de fonctions.
Zéro est l’une des trois valeurs prises par lafonction de Möbius. Appliquée à un entierx2 oux2y, la fonction de Möbius retournera zéro.
↑Le Robert historique de la langue française, 1992, 1998.
↑Selon l'expression de Muhammad Ibn Ahmad dans son ouvrageLes Clés des Sciences rédigé en 976 et cité par JC Risler dans « La civilisation arabe », Payot, Paris, 1955.
Georges Ifrah,Histoire universelle des chiffres, l’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, collection Bouquins.(ISBN978-2-221-90100-7).Tome 1, 1 042 pages,tome 2, 1 010 pages. Janvier 1994. (illustrations en couleur)
Charles Seife,Zéro : la biographie d’une idée dangereuse, Paris, Hachette,(ISBN978-2-01-279192-3).
