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Volume

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Pour les articles homonymes, voirVolume (homonymie).

Volume

Description de l'image 4MeasuringSpoons.jpg.

Données clés
Unités SI	Mètre cube
Dimension	L³
Nature	Grandeurscalaire extensive
Symbole usuel	V
Conjuguée	Pression

Levolume, ensciences physiques oumathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.

Enphysique, le volume d'un objet ou d'une figure géométrique tridimensionnelle et fermée mesure l'extension dans l'espace physique qu'il ou elle possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans leplan mesure l'extension qu'elle possède dans les deux directions en même temps ; par extension, on étend la notion de volume à des espaces abstraits, dont les coordonnées peuvent avoir une ou desdimensions autres que celle d'unelongueur^[a].

Enmathématiques, le volume d'une partie de l'espace géométrique est sa mesure au sens de la théorie de lamesure de Lebesgue.

Mesure

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Le volume physique se mesure enmètre cube dans leSystème international d'unités. On utilise fréquemment lelitre, notamment pour desliquides et pour desmatières sèches. Ainsi, on considère le volume comme unegrandeur extensive et lagrandeur intensive thermodynamique associée est lapression.

En mathématiques, et plus précisément engéométrie euclidienne, le volume duparallélépipède engendré par 3vecteurs non coplanaires $({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})$ se calcule grâce auproduit mixte des trois vecteurs : $V=|\det({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})|$ .

Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès ducalcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à laméthode d'exhaustion, puis en utilisant leprincipe de Cavalieri et pour finir en calculant desintégrales triples.

Pour lessolides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques.

Grandeur physique

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Article détaillé :grandeur d'orientation.

Le volume est une grandeur additive : le volume d'unsystème physique est la somme des volumes de ses parties. Ce n'est en revanche pas une grandeur algébrique : physiquement, il n'existe pas de « volume négatif » (dont serait fait le sac de voyage deMary Poppins) dont la superposition avec un système physique de volume positif donnerait un système composé de volume globalement nul, ou du moins réduit : tous les volumes sont de même signe, et par convention, sont comptés positivement. C'est pour cette raison que dans la formule duproduit mixte, le résultat est pris envaleur absolue.

L'interprétation physique duproduit mixte est qu'un volume physique est leproduit scalaire d'unesurface par undéplacement : $V=\det({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})={\vec {v}}_{1}\cdot ({\vec {v}}_{2}\wedge {\vec {v}}_{3})={\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {S}}_{23}$ .

Le déplacement est unvecteur, mais la surface orientée est unpseudovecteur, si bien que le volume ainsi défini est théoriquement une grandeur qui change de signe lorsqu'on fait subir au système une isométrie indirecte (symétrie miroir par exemple). De fait, si par exemple le volume d'une sphère est⁴⁄₃πR³, une inversion polaire changera effectivementR en–R et conduira logiquement à un volume négatif. Sur le plan de l'équation aux dimensions, et en tenant compte de lagrandeur d'orientation, le déplacement est un vecteur de dimensionL·1_x et la surface un pseudovecteur de dimensionL²·1_y, le produit des deux est unpseudoscalaire de dimensionL³·1_z, c'est-à-dire qu'il a le même caractère qu'un flux.

La physique reste effectivement inchangée si tous les volumes sont comptés négativement, mais en pratique les volumes physiques sont comptés positivement, ce qui revient à multiplier le volume au sens précédent par lesymbole de Levi-Civita (lui-même en1_z). Le volume d'un corps physique est alors un scalaire vrai, à cause de la convention d'orientation. De même, alors qu'unélément de surface est normalement un pseudovecteur en1_y, la convention d'orientation qui veut que son orientation sur une surface fermée soit dirigée vers l'extérieur revient à le multiplier par la convention d'orientation en1_z, ce qui en fait alors un vecteur vrai en1_x. L'utilisation de cette convention d'orientation peut être problématique dans l'analyse dimensionnelle, parce qu'elle correspond à une grandeur par ailleurs généralement invisible dans les données du problème.

Volume élémentaire

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Un domaine de dimension 3 peut généralement être décrit par trois paramètres indépendantsu,v etw. Pour tout pointM(u,v,w) appartenant à ce domaine, levecteur position ${\overrightarrow {\mathrm {OM} }}$ (oùO désigne une origine fixe quelconque) a pourdifférentielle :

\mathrm {d\,{\overrightarrow {OM}}} =\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial u}}\right)\mathrm {d} u+\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial v}}\right)\mathrm {d} v+\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial w}}\right)\mathrm {d} w

.

Une variation élémentairedu, dv, dw) des trois paramètres forme l'élément de volume (ouvolume élémentaire)d³V (ou simplementdV si l'on n'a pas besoin de rappeler que trois variables varient indépendamment), défini par :

\mathrm {d} ^{3}V=\det \!\left[\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial u}}\right),\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial v}}\right),\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial w}}\right)\right]\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v\,\mathrm {d} w

.

Le module d'un vecteur position s'exprimant enmètres (m), un élément de volume s'exprime enmètres cubes (m³). Le signe ded³V est positif si les vecteurs $(\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial u)$ , $(\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial v)$ et $(\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}/\partial w)$ , pris dans cet ordre, forment untrièdre direct, et négatif s'ils forment un trièdre inverse.

Coordonnées cartésiennes

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Encoordonnées cartésiennes orthonormées, le point courantM est repéré parx,y etz, de telle sorte que :

{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}=x\,{\hat {x}}+y\,{\hat {y}}+z\,{\hat {z}}

où ${\hat {x}}$ , ${\hat {y}}$ et ${\hat {z}}$ sont lesvecteurs unitaires, fixes, de trois axes orthogonaux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On a alors :

\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial x}}\right)={\hat {x}},\ \left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial y}}\right)={\hat {y}}\ {\textrm {et}}\ \left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial z}}\right)={\hat {z}}

.

On en déduit aisément que :

\mathrm {d} ^{3}V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z

.

Coordonnées cylindriques

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Encoordonnées cylindriques, le point courantM est repéré parr,φ etz, de telle sorte que :

{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}=r\,{\hat {r}}(\varphi )+z\,{\hat {z}}

où ${\hat {z}}$ est le vecteur unitaire de l'axeOz d'un repère orthonormé, tandis que ${\hat {r}}(\varphi )$ , vecteur unitaire, a pour coordonnées cartésiennescos(φ),sin(φ) et0. On a alors :

\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial r}}\right)={\hat {r}}(\varphi )

,

\ \left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial \varphi }}\right)=r\,{\hat {\varphi }}(\varphi )\

et

\ \left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial z}}\right)={\hat {z}}

où ${\hat {\varphi }}(\varphi )$ est le vecteur unitaire de coordonnées cartésiennes–sin(φ),cos(φ) et0. Les vecteurs ${\hat {r}}(\varphi )$ , ${\hat {\varphi }}(\varphi )$ et ${\hat {z}}$ sont unitaires et orthogonaux deux à deux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On en déduit aisément que :

\mathrm {d} ^{3}V=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z

.

Coordonnées sphériques

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Encoordonnées sphériques, le point courantM est repéré parρ,θ etφ, de telle sorte que :

{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}=\rho \,{\hat {\rho }}(\theta ,\varphi )

où ${\hat {\rho }}(\theta ,\varphi )$ , vecteur unitaire, a pour coordonnées cartésiennessin(θ)cos(φ),sin(θ)sin(φ) etcos(θ). On a alors :

\left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial \rho }}\right)={\hat {\rho }}(\theta ,\varphi ),\ \left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial \theta }}\right)=\rho \,{\hat {\theta }}(\theta ,\varphi )\ {\textrm {et}}\ \left({\frac {\partial \,{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}{\partial \varphi }}\right)=\rho \sin(\theta )\,{\hat {\varphi }}(\varphi )

où ${\hat {\theta }}(\theta ,\varphi )$ est le vecteur unitaire de coordonnées cartésiennescos(θ)cos(φ),cos(θ)sin(φ) et–sin(θ), et ${\hat {\varphi }}(\varphi )$ celui de coordonnées–sin(φ),cos(φ) et0. Les vecteurs ${\hat {\rho }}(\theta ,\varphi )$ , ${\hat {\theta }}(\theta ,\varphi )$ et ${\hat {\varphi }}(\varphi )$ sont unitaires et orthogonaux deux à deux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On en déduit aisément que :

\mathrm {d} ^{3}V=\rho ^{2}\sin(\theta )\,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi

.

Unités de volume

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Article détaillé :Unité de volume.

L'unité de volume du Système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voirConversion des unités).

Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre,pinte,baril). La mise en place dusystème métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voirUnités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz où l'on veut connaître laquantité de matière (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression et la température,deux définitions de correction existent :

le mètre cube dit normal exprimé en m³(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de0 °C ;
le mètre cube dit standard exprimé en m³(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de15 °C.

Les volumes décrits ci-dessus correspondent à des volumes dits corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits et dupouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués enquantité estimée. Ils sont marqués comme tel, duglyphe spécifique d'un« ℮ » minuscule.

En mathématiques, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume ducube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, lecube unité a pour arête 2 cm, un volume deXcubes unité correspond à 8X cm³.

Quelques formules

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Article détaillé :Formulaire de géométrie classique.

Dans la suite on notera :

V le volume d'une figure ;
a l'arête ;
B etb les aires de la grande base et de la petite base ;
H la hauteur (ou distance séparant les deux faces) ;
D oud le diamètre ;
R our le rayon ;
L oul la longueur et la largeur d'un rectangle.

Solides de Platon

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Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers convexes. Leurs volumes respectifs sont donnés par les formules suivantes :

Polyèdre	Volume	Figure
Tétraèdre régulier	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,a^{3}$	Animation d'un tétraèdre
Cube	$a^{3}$	Animation d'un cube
Octaèdre régulier	${\frac {\sqrt {2}}{3}}\,a^{3}$	Animation d'un octaèdre
Dodécaèdre régulier	${\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}\,a^{3}$	Animation d'un dodécaèdre
Icosaèdre régulier	${\frac {5\varphi ^{2}}{6}}\,a^{3}$ où $\varphi$ est lenombre d'or	Animation d'un icosaèdre

Prismes et cylindres

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La formule générale est toujours :V =B ×H (volume = aire de la base × hauteur), que leprisme ou lecylindre soit droit ou pas.

En particulier,

pour leparallélépipède rectangle ou pavé : $V=L\times \ell \times H$ ,
pour lecylindre de révolution :V = πR² ×H.

Pyramides et cônes

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La formule générale est toujours :V =1/3B ×H.

Lecône de révolution :V =π/3R² ×H.
La pyramide tronquée par un plan parallèle à la base : $V={\frac {H}{3}}\left(B+b+{\sqrt {Bb}}\right)$ .

Boule

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Laboule a pour volumeV =4/3πR³ ouV = πD³/6.
Pour unecalotte sphérique, $V={\frac {\pi }{3}}H^{2}(3R-H)$ ou $V={\frac {\pi }{2}}H\left({\frac {H^{2}}{3}}+r^{2}\right)$ oùR est le rayon de la boule,r est le rayon de la calotte etH la hauteur de la calotte.
Le volume de la boule percée d'un cylindre (rond de serviette) ne dépend pas du rayon de la boule mais seulement de la hauteurH du cylindre : $V={\frac {\pi }{6}}H^{3}$ .
Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : $V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}H$ oùH est la hauteur de la calotte etR le rayon de la boule.

Solides de révolution

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Article détaillé :Théorèmes de Guldin.

Lethéorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'unsolide de révolution engendré par la révolution d'unélément de surfaceS plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse lecentre de gravitéG de l'élément de surfaceS.

V=2\pi RS

oùR est la distance séparant le pointG de l'axe de rotation.

Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :

letore : $V=2\pi ^{2}Rr^{2}$ oùr est le rayon du cercle de centreG tournant autour de l'axe(Δ) et oùR est la distance deG à(Δ).
le tonneau :Kepler donne une formule approchée pour levolume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide, unhyperboloïde à une nappe, unparaboloïde elliptique, unellipsoïde de révolution. SiB₁ etB₂ sont les surfaces des bases etB₃ la surface de la section à mi-hauteur alors

V={\frac {h}{6}}(B_{1}+B_{2}+4B_{3})

.

Autres

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Leconoïde circulaire droit (exemple l'incisive) : $V={\frac {1}{2}}\pi R^{2}H$ oùR est le rayon du cercle de base etH la hauteur du conoïde.
Lelingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales). On retrouve la formule de Kepler : $V={\frac {h}{6}}(B_{1}+B_{2}+4B_{3})$ oùB₁ etB₂ sont les surfaces des deux bases rectangulaires etB₃ la surface de la section à mi-hauteur. Cette formule est très employée engénie civil dans les calculs de volume de terrassement et plus particulièrement pour les mouvements de terres dans le domaine destravaux publics.

Calcul intégral

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Article détaillé :Intégrale multiple.

Si ${\mathcal {D}}$ est une partie bornée de $\mathbb {R} ^{2}$ , le volume ducylindre ayant pour génératrice la frontière de ${\mathcal {D}}$ , délimité par le planz = 0 et la surface d'équationz = 'f(x,y) – avecf positive et continue sur ${\mathcal {D}}$ – est :

V=\iint _{\mathcal {D}}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y

.

Dans le cas où le domaine ${\mathcal {D}}$ est défini par des conditions simplesx₁ <x <x₂,y₁(x) <y(x) <y₂(x), ce calcul se ramène à :

V=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\!\int _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x

.

Si ${\mathcal {A}}$ est une partie bornée de $\mathbb {R} ^{3}$ et si lafonction constante 1 est intégrable sur ${\mathcal {A}}$ , le volume de ${\mathcal {A}}$ est alors :

V=\iiint _{\mathcal {A}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z

Dans le cas où le domaine ${\mathcal {A}}$ est défini par des conditions simplesx₁(z,y) <x (z,y)<x₂(z,y),y₁(z) <y(z) <y₂(z) etz₁ <z <z₂, ce calcul se ramène à :

V=\int _{z_{1}}^{z_{2}}\!\int _{y_{1}(z)}^{y_{2}(z)}\!\int _{x_{1}(z,y)}^{x_{2}(z,y)}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z

.

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine ${\mathcal {A}}$ s'exprime mieux encoordonnées cylindriques par des conditions simples ${\mathcal {A}}'$ , le calcul peut s'exprimer par :

V=\iiint _{{\mathcal {A}}'}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,dz

où

{\mathcal {A}}'

est une partie bornée de

\mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi ]\times \mathbb {R}

Si le domaine ${\mathcal {A}}$ s'exprime mieux encoordonnées sphériques par des conditions simples ${\mathcal {A}}''$ , le calcul peut s'exprimer par :

V=\iiint _{{\mathcal {A}}''}r^{2}\sin(\phi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi

où

{\mathcal {A}}''

est une partie bornée de

\mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi ]\times [0,\pi ]

.

Dans le cas où le domaine ${\mathcal {A}}$ est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équationy = 'f(x) autour de l'axe(Ox), le calcul du volume se réduit à une intégrale simple :

V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f^{2}(x)\,\mathrm {d} x

.

Enfin, lethéorème de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à uneintégrale de surface :

V=\iiint _{A}\mathrm {d} V={\frac {1}{3}}\iint _{\partial {\mathcal {A}}}(x,y,z){\vec {n}}\,\mathrm {d} S

où $\partial {\mathcal {A}}$ est la frontière de ${\mathcal {A}}$ , et ${\vec {n}}$ levecteur unitaire normal àdS dirigé vers l'extérieur de ${\mathcal {A}}$ .

Notes et références

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↑Par exemple, un volume de l'espace des phases d'uneparticule $\{x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}\}$ s'exprime enkg³ m⁶ s⁻³ (ou J³ s³).

Annexes

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Articles connexes

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Liens externes

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