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Vitesse du son

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UnF/A-18 Hornet se déplaçant à une vitesse proche de celle du son lors d'un passage dans une zone de condensation d'air humide.

Lavitesse du son, oucélérité du son, est lavitesse de propagation des vibrations dans tous les milieux gazeux, liquides ou solides. Elle peut être déterminée pour des matériaux autres que l'air, dans lesquels le son ne peut être perçu par l'oreille humaine.

Dans unfluide quelconque, quelles que soient les conditions de pression et température, la vitesse du son dépend de lacompressibilité isentropique et de lamasse volumique du milieu de propagation de l'onde. Dans la plupart des fluides, et notamment dans l'air, elle dépend très peu de lafréquence et de l'amplitude de la vibration.

Pour les gaz sous des pressions proches de la pression atmosphérique, le modèle desgaz parfaits est applicable. La vitesse du son ne dépend alors que de la température. La formulec=20,05T{\displaystyle c=20{,}05\,{\sqrt {T}}} en donne une approximation dans l'air sec en m/s, avecT{\displaystyle T} la température enkelvins. La vitesse du son dans l'air à15 °C auniveau de la mer est d'environ340 m/s (soit1 224 km/h). Dans l'eau, le son se propage plus de quatre fois plus vite, à environ1 500 m/s (soit5 400 km/h). Dans lefer doux, la vitesse du son est d'environ5 960 m/s (soit21 456 km/h).

Historique

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Depuis l'Antiquité, on conçoit que le son se déplace rapidement, mais pas instantanément. Le phénomène de l'écho a nourri les premiers raisonnements : si la propagation du son était instantanée, on ne pourrait distinguer le son initial du son réfléchi sur une paroi ; et si le retard était dû à la paroi, il ne dépendrait pas, comme on le constate, de la distance. On vérifie aussi que cette vitesse ne dépend pas des qualités du son : fort ou faible, grave ou aigu, le retard est toujours le même. Enfin, le phénomène de l'écho fait également penser à la réflexion de la lumière sur un miroir, ou aux ondes à la surface de l'eau frappée par une pierre[1],[2].

Mersenne évalue en 1635 la vitesse du son dans l'air à 230 toises par seconde (soit448 m/s), valeur que citeGassendi, qui montre que les sons graves et aigus se propagent à la même vitesse[3],[4], mais estime que le son réfléchi ne se propage pas à la même vitesse, trouvant pour celui-ci 162 toises par seconde (315 m/s). Il n'indique pas sonmode opératoire[5],[6]. Durant lesXVIIe et XVIIIe siècles, les expériences deHalley, deBoyle, deCassini, deHuygens et autres, basées sur la différence de temps de propagation entre la lumière et le son, produisent des valeurs proches.

Galilée explique le son par des « plissements » de l'air, qui se communiquent de proche en proche sans déplacement d'ensemble, où ses contemporains ne concevaient que la transmission par une particule matérielle se déplaçant à grande vitesse sur toute la trajectoire du son[7].Newton précise cette notion ; il applique au son, considéré comme mouvement d'une perturbation consistant en une succession de compressions et de détentes de l'air, les principes ducalcul infinitésimal pour déterminer, le premier, la vitesse du son à partir des caractéristiques de l'air[8].

À la fin duXVIIe siècle, l'Acoustique deSauveur explique la vibration de l'air dans les tuyaux desinstruments de musique à vent. Comme cette vibration dépend de la vitesse de propagation du son, elle constitue un autre moyen de l'établir. L'accord des tuyaux est bien connu des facteurs d'instruments, les lois de la vibration des cordes et des diapasons, qui peut s'observer à des cadences bien inférieures, fournissent des bases de comparaison, et la méthode desbattements un moyen de mesure précis, et le calcul donne les mêmes résultats[9].

On procède à plusieurs expériences au cours du siècle suivant, en tirant des coups de canon la nuit et en mesurant à distance la durée entre la perception de la lumière émise par la flamme à la bouche du canon et la perception du son. Le prestige de Newton est considérable, et l'on ne dispose alors d'aucune autre théorie que la sienne ; néanmoins, les vitesses déduites de ces expériences, qu'on refait à plusieurs reprises, sont toujours supérieures de 16 % environ à celle que l'on obtient avec sa formule[10],[11],[8].

En 1738, l'Académie des sciences française chargeMM.de Thury,Maraldi et l'abbé de la Caille d'organiser des nouvelles expériences[3],[12]. Ils font leurs opérations sur une ligne de 14 636 toises (soit 28,5 km) qui a pour termes la tour deMontlhéry et lapyramide de Montmartre. Ils concluent que :

  1. Le son parcourt 173 toises (337,2 m) en une seconde de temps, de jour et de nuit, par un temps serein ou par un temps pluvieux ;
  2. S'il fait un vent dont la direction est perpendiculaire à celle du son, celui-ci a la même vitesse qu'il aurait par temps calme ;
  3. Mais si le vent souffle dans la même ligne que parcourt le son, il le retarde ou l'accélère selon sa propre vitesse ;
  4. La vitesse du son est uniforme, c'est-à-dire que dans des temps égaux et pris de suite, il parcourt des espaces semblables ;
  5. L'intensité ou la force du son ne changent rien à sa vitesse.

Cette expérience est rapportée par l'abbé Nollet[13] qui, dans le même ouvrage, démontre que « le son décroît comme le carré de la distance qui augmente »[14].

En 1816,Laplace[15],[16] montre que l'hypothèse de Newton selon laquelle le son est unprocessus isotherme est erronée, et qu'il s'agit d'unprocessus adiabatique ; il conclut :

« La vitesse du son est égale au produit de la vitesse que donne la formule newtonienne, par la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un volume constant. »

En1822,Arago etProny réalisent de nouvelles expériences, sur ordre duBureau des longitudes. Ils utilisent des coups de canons croisés entreVillejuif etMontlhéry tirés en même temps. De cette manière, les expérimentateurs espèrent limiter les perturbations dues à l'hygrométrie, à la vitesse du vent, à lapression et à latempérature. De plus, des chronomètres plus précis sont utilisés. Les expériences ont lieu dans les nuits du 21 et. Ils obtiennent la valeur de341 m/s à une température de15,9 °C. Après correction, la vitesse à0 °C est de331 m/s. Cette valeur est compatible avec la formule de Laplace.

Au tournant duXIXe siècle,Young,Laplace etPoisson relient la vitesse du son à l'élasticité du milieu. Pour vérifier ces calculs théoriques,Biot mesure en1808 la vitesse du son dans les solides ; en1826,Colladon confirme la valeur prévue pour l'eau à 0,5 % près par des expériences dans le lacLéman[17],[18].

Les publications s'intéressent aussi à des sujets moins techniques. Dès leXVIIe siècle, Mersenne pose la question « un boulet pourrait-il atteindre une personne avant qu'il ait entendu le son du canon qui l'a lancé ? »[5]. Les projectiles atteindront unevitesse initialesupersonique à la fin duXIXe siècle. Au milieu du siècle suivant, la question se posera pour l'aviation, avec le franchissement de ce qu'on appelle lemur du son.

Le problème de la détermination de la vitesse du son a été fondamental dans l'établissement des bases de l'acoustique.

AuXXe siècle, la mesure de la vitesse du son dans un matériau sert à calculer sonmodule d'élasticité, tandis qu'en milieu naturel, elle sert à évaluer la température moyenne de lieux inaccessibles, comme les profondeurs océaniques.[réf. nécessaire]

Définition

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La vitesse duson peut se définir rigoureusement de deux manières[19] :

Vitesse de groupe
Lavitesse de groupe du son est le quotient de la distance que parcourt un ébranlement sonore par le temps nécessaire à son arrivée. Les premières évaluations de la vitesse du son dans l'atmosphère et dans l'eau ont été réalisées à partir du calcultopographique des distances et duchronométrage du délai entre la transmission de la lumière, supposée instantanée, et celle du son.
Vitesse de phase
Lavitesse de phase est le quotient de lalongueur d'onde par lapériode de la vibration. Cette définition implique que le son ne comporte qu'une seule fréquence. Ce quotient équivaut au produit de la longueur d'onde par la fréquence, qui est l'inverse de la période, ou encore au quotient de la pulsation (en radians par seconde) par lanorme duvecteur d'onde (en radians par mètre), dont l'usage est plus commode dans certains calculs de laphysique. Elle se mesure en déterminant lafréquence d'uneonde stationnaire dans un tuyau. Dans cet espace, dont lalongueur domine les autres dimensions, la vitesse de phase et la longueur déterminent l'onde stationnaire qui constitue larésonance. Cette méthode de mesure, implicite dans le calcul d'untuyau d'orgue, est la seule praticable quand le milieu ne se trouve pas en grande quantité dans la nature.

Ces deux vitesses ne diffèrent que dans un milieudispersif, c'est-à-dire dans lequel la vitesse de propagation dépend de lafréquence. Dans l'air, comme dans tout fluide homogène, elles sont pratiquement égales, quels que soient les caractères du son, qu'il soit puissant ou faible, grave ou aigu.

Méthodes de mesure

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Mesure d'un temps de propagation

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En envoyant depuis un émetteur des impulsions sonores et en les détectant à une certaine distance, on peut mesurer le temps que met l'impulsion à parcourir la distance séparant les deux équipements. Cela revient à mesurer la vitesse de transmission de l'énergie sonore, c'est-à-dire lavitesse de groupe.

Ce procédé simple montre ses limites dès qu'on désire effectuer une mesure précise. L'incertitude de mesure sur chacun des deux termes du quotient se répercute sur le résultat.

Les expériences historiques ont été effectuées en milieu naturel. Dans l'atmosphère, les différences de température et de vitesse du vent entre les couches de l'atmosphère provoquent uneréfraction de l'onde sonore[20]. Le son parcourt donc une distance légèrement supérieure à celle entre le point de départ et le point de mesure. Si cette distance est faible, le milieu est à peu près homogène et la déviation est négligeable ; mais il faut savoir mesurer avec précision de courtes durées.

Si on effectue la mesure au moyen d'unguide d'ondes[21], il faut être sûr que la paroi dutuyau acoustique ne participe pas à la propagation, soit en conduisant la vibration plus vite que l'air, soit en réagissant avec lui pour la ralentir.

La mesure dans un milieu solide, sous pression ou à haute température est difficile avec ce procédé.

Mesure de la fréquence et de la longueur d'onde

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En mesurant lalongueur d'onde du son et en la multipliant par sa fréquence on obtient sa vitesse. Cela correspond à lavitesse de phase. Plusieurs méthodes le permettent.

Vitesse de phase et tuyau d'orgue :

Dans uninstrument à vent comme unsifflet, la note produite dépend de la longueur du tuyau. La note exprime lahauteur de lafréquence fondamentale du son. Cettefréquence est celle d'uneonde stationnaire dans un tuyau, elle dépend du temps que la perturbation prend pour aller jusqu'à l'extrémité du tuyau et revenir à la source. Elle dépend donc de la vitesse de propagation dans le fluide qui remplit le conduit. La vitesse esthomogène au rapport entre une longueur et un temps. Elle s'obtient ici par la multiplication de la longueur du tuyau par la fréquence fondamentale.

Joseph Sauveur, qui a inventé le terme « acoustique », tenait ce raisonnement dans les premières années duXVIIe siècle, mais les mathématiciens n'ont pas utilisé ses explications pour le calcul de la vitesse du son, les concepts de longueur d'onde et de phase étant mal établis ; ils ne le seront qu'auXIXe siècle avec les travaux deJoseph Fourier[22].

Dans un dispositif similaire à untube de Kundt, un conduit est bouché à l'une de ses extrémités et couplé à unhaut-parleur à l'autre. Lapression acoustique issue de ce haut-parleur estréfléchie par le côté bouché du tube. Uneonde stationnaire s'installe dans le tube si cette réflexion arrive au haut-parleur enphase avec la vibration du haut parleur. On en déduit que l'onde sonore a parcouru un aller-retour en une durée correspondant à un multiple de la période de la vibration. La longueur du tube est donc un multiple de la demi longueur d'onde. On peut s'assurer du nombre de longueurs d'onde dans le tube en déplaçant un microphone dans sa longueur pour détecter les ventres correspondant au maximum d'amplitude et les nœuds correspondant au minimum. En multipliant la longueur d'onde par la fréquence, on obtient la vitesse.

Si le tube est ouvert à l'autre extrémité, la pression acoustique issue du haut-parleur, ne trouvant plus de résistance, se transforme en vitesse acoustique sur l'ouverture. Une onde réfléchie repart en direction de la source. La résonance se produit si la longueur du tube est un multiple du quart de la longueur d'onde.

Cette mesure implique qu'on sache mesurer la fréquence, et que la paroi du tube n'interagisse pas notablement avec l'air.

On peut aussi réaliser des ondes stationnaires dans les liquides. Les ondes agissent sur la lumière de la même façon qu'unréseau optique. Il est donc possible, grâce à un montage optique, d'y mesurer la vitesse du son.

Dans les solides, il est impossible d'utiliser un microphone ; mais des capteurs en surface permettent la détection, et lorsque l'onde revient en phase sur le dispositif excitateur, elle change l'impédance mécanique à l'excitation, ce qui permet d'établir la fréquence de résonance pour un dispositif de la longueur considérée.

Comparaison des méthodes

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La différence principale entre ces deux méthodes est le résultat obtenu : d'une part la vitesse de phase et d'autre part la vitesse de groupe. La différence entre ces deux grandeurs n'est cependant visible que lorsque ladispersion du milieu est importante, ce qui est rarement le cas.

Calcul de la vitesse du son dans différents milieux

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Principaux paramètres

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Une onde sonore est uneonde mécanique se propageant dans un milieu matériel qui se comprime et se relâche. En l'absence de tout milieu matériel, il n'y a donc pas de son dans levide. Lors de la propagation d'un son dans un milieu, lesparticules de ce milieu ne se déplacent généralement pas à la vitesse de propagation de l'onde mais vibrent autour d'un point de repos. Dans les solides, les ondes transverses étant possibles, il peut même n'y avoir aucun déplacement des particules dans la direction de propagation de l'onde. Il ne faut pas confondre la vitesse du son avec lavitesse acoustique, qui est celle desparticules matérielles constituant le milieu de propagation, dans leur très petit déplacement alternatif.

Les principaux facteurs influant sur la valeur de la vitesse du son sont latempérature, lamasse volumique et laconstante d'élasticité (ou compressibilité) du milieu de propagation :

La propagation du son est d'autant plus rapide que la masse volumique du milieu et sa compressibilité sont petites.

D'un milieu à l'autre, les deux paramètres changent. Dans l'hélium, dont la compressibilité est à peu près égale à celle de l'air, mais dont la masse volumique est, dans les mêmes conditions de température et de pression, bien plus faible, la vitesse du son est presque trois fois plus grande que dans l'air. Dans ungaz àpression atmosphérique, la vitesse du son est bien plus faible que dans unliquide : bien que la masse volumique du gaz soit bien plus faible, celui-ci est presque infiniment plus compressible que le liquide (qui est souvent considéré incompressible). Par exemple, le son se propageexactement à1 482,343 m/s (5 336,435 km/h) dans l'eau pure à20 °C[23], approximativement à340 m/s (1 224 km/h) dans l'air à15 °C et à environ1 500 m/s (5 400 km/h) dans l'eau de mer.

Cette propriété est notamment utilisée pour déterminer la qualité d'unbéton, car une propagation plus rapide signifie que le béton contient peu de bulles d'air (la vitesse du son dans le béton est beaucoup plus élevée que dans l'air). La célérité dans l'eau de mer intervient notamment dans les systèmes de repérage desbancs de poissons et dessous-marins[23].

L'hygrométrie influe peu sur la vitesse du son dans l'air.

Vitesse théorique maximale

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En2020 une équipe internationale de physiciens établit que la vitesse théorique maximum du son serait d'environ36 km/s. Cette limite est calculée à partir deconstantes physiques[24],[25].

Dans un fluide

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Dans un fluide quelconque

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Sans onde decisaillement, la vitesse du son se propage seulement par compression. Si le son n'est pas trop fort (ΔPsonore≪Pambiant{\displaystyle \Delta P_{\text{sonore}}\ll P_{\text{ambiant}}}), la compression et la détente du fluide peuvent être considérées comme étantisentropiques et la vitesse du son est :

cfluide=(∂P∂ρ)S{\displaystyle c_{\text{fluide}}={\sqrt {\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}}}}

Laracine carrée de ladérivée partielle de lapressionP{\displaystyle P} par lamasse volumiqueρ{\displaystyle \rho } àentropieS{\displaystyle S} constante.

Lacélérité du son dans un fluide peut être aussi exprimée en une fonction du coefficient decompressibilité isentropiqueχS=−1V(∂V∂P)S{\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}} selon[3] :

cfluide=1χSρ{\displaystyle c_{\text{fluide}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{S}\,\rho }}}}
Démonstration

Soit un fluide nonvisqueux, initialement au repos. Les propriétés du milieu en un pointM{\displaystyle \mathrm {M} } situé à une distancer{\displaystyle r} de la source de perturbation peuvent s'écrire comme la somme d'une valeur moyenne temporelle (uniforme) et d'une composante instationnaire (de faible amplitude). Ainsi :

Leséquations de Navier-Stokes relient les variations deρ{\displaystyle \rho },P{\displaystyle P} etu{\displaystyle u}, tandis qu'uneéquation d'état est nécessaire pour relierρ{\displaystyle \rho } à la pressionP{\displaystyle P}.

Bilan de masse (équation de continuité)
∂ρ∂t+div(ρ⋅v→)=0{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\text{div}}\left(\rho \cdot {\vec {v}}\right)=0}
Soit :∂ρ∂t+ρ⋅div(v→)+v→⋅grad→ρ=0{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \cdot {\text{div}}\left({\vec {v}}\right)+{\vec {v}}\cdot {\vec {\text{grad}}}\rho =0}
En négligeant le terme convectifv→⋅grad→ρ{\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {\text{grad}}}\rho } puisquev→≈0→{\displaystyle {\vec {v}}\approx {\vec {0}}}, en assimilantρ{\displaystyle \rho } à sa moyenne temporelleρ0{\displaystyle \rho _{0}}, et en développant le tout en coordonnées sphériques, il vient :
(E1)∂ρ′∂t=−ρ0r2∂(r2u)∂r{\displaystyle {\frac {\partial \rho '}{\partial t}}=-{\frac {\rho _{0}}{r^{2}}}{\frac {\partial \left(r^{2}u\right)}{\partial r}}}
Bilan de quantité de mouvement (équation d'Euler en l'absence de prise en compte de la viscosité)
ρDv→Dt=−grad→P{\displaystyle \rho {\frac {{\text{D}}{\vec {v}}}{{\text{D}}t}}=-{\vec {\text{grad}}}P}
Projetée sur l'axe radial, cette équation s'écrit :ρ(∂u∂t+u⋅∂u∂r)=−∂P∂r{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot {\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}}
En négligeant le termeu⋅∂u∂r{\displaystyle u\cdot {\frac {\partial u}{\partial r}}} puisqueu≈0{\displaystyle u\approx 0} et en assimilantρ{\displaystyle \rho } à sa moyenne temporelleρ0{\displaystyle \rho _{0}}, il vient :
(E2)∂P′∂r≈−ρ0∂u∂t{\displaystyle {\frac {\partial P'}{\partial r}}\approx -\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}}
Équation d'état
La masse volumique est reliée à la pression par l'équation d'état du fluideP=f(ρ){\displaystyle P=f\!\left(\rho \right)}, dont la dérivée au premier ordre est exprimée par le coefficient de compressibilité isentropiqueχS=1ρ(∂ρ∂P)S{\displaystyle \chi _{S}={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial P}}\right)_{S}}. On peut donc écrire :
(E3)ρ′≈ρ0χSP′{\displaystyle \rho '\approx \rho _{0}\chi _{S}P'}
Expression du champ de pression
En éliminantρ′{\displaystyle \rho '} de l'équation (E1) grâce à l'équation (E3), on obtient :
∂P′∂t=−1χS(∂u∂r+2ur){\displaystyle {\frac {\partial P'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\chi _{S}}}\left({\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {2u}{r}}\right)}
∂P′∂r=−ρ0∂u∂t{\displaystyle {\frac {\partial P'}{\partial r}}=-\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}}
La dérivation de la première équation par rapport au temps et de la seconde par rapport àr{\displaystyle r} donne :
∂2P′∂t2=−1χS(∂2u∂t∂r+2r∂u∂t){\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\chi _{S}}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial r}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial u}{\partial t}}\right)}
∂2P′∂r2=−ρ0∂2u∂r∂t{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P'}{\partial r^{2}}}=-\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r\partial t}}}
En éliminant∂2u∂t∂r{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial r}}} et∂u∂t{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}}, on aboutit à :
∂2P′∂r2+2r∂P′∂r=ρ0χS∂2P′∂t2{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P'}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial P'}{\partial r}}=\rho _{0}\chi _{S}{\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}}
Soit :
ΔP′=ρ0χS∂2P′∂t2{\displaystyle \Delta P'=\rho _{0}\chi _{S}{\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}}
où le symboleΔ{\displaystyle \Delta } désigne l'opérateur laplacien. Il s'agit de l'équation de propagation d'uneonde sphérique de célérité :
Célérité :c=1ρ0χS{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\rho _{0}\chi _{S}}}}}
La solution générale du champ de pression est de la forme :
Champ de pression :P=P0+1r[f1(t−rc)+f2(t+rc)]{\displaystyle P=P_{0}+{\frac {1}{r}}\left[f_{1}\!\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+f_{2}\!\left(t+{\frac {r}{c}}\right)\right]}
Formule de Newton


Dans sonTraité de mécanique céleste, Laplace rappelle sa formule publiée en 1816 dans lesAnnales de Physique et de Chimie[15] :

« La vitesse du son est égale au produit de la vitesse que donne la formule newtonienne, par la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un volume constant. »

La vitesse du son fait intervenir la masse volumiqueρ{\displaystyle \rho } et la compressibilité isentropiqueχS{\displaystyle \chi _{S}} du milieu selon l'hypothèseisentropique de Laplace :

cLaplace=1χSρ{\displaystyle c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{S}\,\rho }}}}

Newton avait basé son modèle sur une hypothèseisotherme du son, ce qui le conduisit à une formule équivalente à :

cNewton=1χTρ{\displaystyle c_{\text{Newton}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{T}\,\rho }}}}

Les compressibilités isentropiqueχS=−1V(∂V∂P)S{\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}} et isothermeχT=−1V(∂V∂P)T{\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}} sont liées par larelation de Reech aucoefficient de Laplaceγ{\displaystyle \gamma } :

γ=cPcV=χTχS{\displaystyle \gamma ={c_{P} \over c_{V}}={\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}}

avec :

Ainsi, les expressions des vitesses du son selon Laplace et Newton sont liées par :

cLaplace=1χSρ=χTχS1χTρ=γcNewton{\displaystyle c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{S}\,\rho }}}={\sqrt {\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}}{\sqrt {\frac {1}{\chi _{T}\,\rho }}}={\sqrt {\gamma }}\,c_{\text{Newton}}}
cLaplace=cPcVcNewton{\displaystyle c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {c_{P}}{c_{V}}}}\,c_{\text{Newton}}}

Pour l'air, gaz diatomique,γ≈1,4{\displaystyle \gamma \approx 1{,}4}, d'où :

cLaplace≈1,183⋅cNewton{\displaystyle c_{\text{Laplace}}\approx 1{,}183\cdot c_{\text{Newton}}}
cNewton≈0,845⋅cLaplace{\displaystyle c_{\text{Newton}}\approx 0{,}845\cdot c_{\text{Laplace}}}

La formule de Laplace donnant la vitesse du son correcte dans l'air, la formule de Newton donne une valeur d'environ 16 % inférieure à la réalité.

Dans un gaz parfait

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Formules générales
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La vitesse du son dans ungaz parfait est fonction du coefficient de Laplaceγ{\displaystyle \gamma } (gamma), de lamasse volumiqueρ{\displaystyle \rho } ainsi que de la pressionP{\displaystyle P} du gaz et se calcule théoriquement ainsi :

(I)cgaz parfait=γPρ{\displaystyle c_{\text{gaz parfait}}={\sqrt {\frac {\gamma \,P}{\rho }}}}

avec :

La vitesse du son peut être aussi calculée à l'aide de laconstante spécifique du gaz parfaitRs=RM{\displaystyle R_{s}={R \over M}} (avecM{\displaystyle M} lamasse molaire etR{\displaystyle R} laconstante universelle des gaz parfaits) et deT{\displaystyle T}, latempérature thermodynamique enkelvins (K)[3],[26] :

(II)cgaz parfait=γRsT{\displaystyle c_{\text{gaz parfait}}={\sqrt {\gamma \,R_{s}\,T}}}
Démonstration

La vitesse du son dans un fluide a pour expression :

c=1χSρ{\displaystyle c={\sqrt {1 \over \chi _{S}\,\rho }}}

Le coefficient decompressibilité isentropique est défini par :

χS=−1V(∂V∂P)S{\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}.

Il est relié au coefficient de Laplaceγ{\displaystyle \gamma } par larelation de Reech :

γ=χTχS{\displaystyle \gamma ={\chi _{T} \over \chi _{S}}}

avecχT=−1V(∂V∂P)T{\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}} lecoefficient de compressibilité isotherme qui vaut, pour un gaz parfait,χT=1P{\displaystyle \chi _{T}={1 \over P}}, puisque selon laloi des gaz parfaitsV=nRTP{\displaystyle V={nRT \over P}}.

La célérité du son dans un gaz parfait vaut donc :

c=1ρχS=γρχT=γPρ{\displaystyle c={\sqrt {1 \over \rho \,\chi _{S}}}={\sqrt {\gamma \over \rho \,\chi _{T}}}={\sqrt {\gamma \,P \over \rho }}}

n{\displaystyle n}moles de gaz parfait demasse molaireM{\displaystyle M} ont une massem=nM{\displaystyle m=nM} et occupent un volumeV=nRTP{\displaystyle V={nRT \over P}} sous la pressionP{\displaystyle P} et à la températureT{\displaystyle T}. La masse volumique vaut alorsρ=mV=MnV=MPRT{\displaystyle \rho ={m \over V}=M{n \over V}=M{P \over RT}}. AvecR{\displaystyle R}, laconstante universelle des gaz parfaits, on définit la constante spécifique du gaz parfait étudié :Rs=RM{\displaystyle R_{s}={R \over M}}. On réécrit en conséquence :

c=γRsT{\displaystyle c={\sqrt {\gamma \,R_{\mathrm {s} }\,T}}}

La formule (I) montre que la célérité du sonc{\displaystyle c} dans un gaz parfait est inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse volumique ; la formule (II) montre également qu'elle est indépendante de la pression du gaz et de la fréquence, mais qu'elle est proportionnelle à la racine carrée de la température[23]. L'indépendance de la vitesse du son par rapport à la pression du gaz n'est toutefois vérifiée que pour des pressions voisines de la pression atmosphérique normale (condition d'application de laloi des gaz parfaits).

La constanteRs{\displaystyle R_{\mathrm {s} }} est une grandeur indépendante de la température. Le coefficient adiabatiqueγ{\displaystyle \gamma } dépend peu de la températureT{\displaystyle T}. Les valeurs du ratioγ{\displaystyle \gamma } sont approximativement égales à :

Formules approchées pour l'air
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Pour l'air, composé principalement dedioxygène et dediazote, gaz diatomiques :

Avec l'équation (II), on obtient la vitesse théorique du son dans l'air sec assimilé à un gaz parfait en m/s en fonction de la température en kelvins :

Pour l'air sec : selon les auteurs
cair=20,05T{\displaystyle c_{\mathrm {air} }=20{,}05\,{\sqrt {T}}}[27],[28]
cair=20,06T{\displaystyle c_{\mathrm {air} }=20{,}06\,{\sqrt {T}}}[29]
cair=20T{\displaystyle c_{\mathrm {air} }=20\,{\sqrt {T}}}[30],[31]

La vitessecair{\displaystyle c_{\mathrm {air} }} est exprimée enm/s, la températureT{\displaystyle T} enkelvin (K).

Les différences entre auteurs proviennent principalement de la prise en compte de constituants mineurs de l'air, principalement l'argon et legaz carbonique, et des incertitudes qui affectent les calculs des constantes. L'air n'étant pas un gaz parfait, ces formules ne donnent qu'un résultat approximatif. Des calculs plus raffinés tiennent compte des interactions entre molécules (viriel) et apportent des correctifs. De ce fait, la pression et la fréquence affectent les dernières décimales[32].

Au voisinage de la température ambiante, la célérité du son dans l'air peut être approchée par la linéarisation suivante[33] :

cair=331,5+0,607⋅θ{\displaystyle c_{\mathrm {air} }=331{,}5+0{,}607\cdot \theta } (enm/s)

oùθ{\displaystyle \theta } (thêta) est la température endegrés Celsius (°C) :θ=T−273,15{\displaystyle \theta =T-273{,}15}. On peut simplifier cette formule en[34] :cair=331+0,6⋅θ{\displaystyle c_{\mathrm {air} }=331+0{,}6\cdot \theta }.

La vitesse du son dans l'air augmente faiblement avec l'humidité, la différence pouvant atteindre un peu plus d'un mètre par seconde[35]. L'air est un milieu faiblementdispersif, surtout s'il est humide. La vitesse augmente peu avec lafréquence, l'écart ne dépassant guère0,1 m/s dans le spectre audible[36], mais peut être sensible pour les ultrasons àhaute fréquence.

Relation entre vitesse du son et vitesse des molécules de gaz
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La masse volumiqueρ{\displaystyle \rho } d'un gaz parfait vaut :

ρ=PMRT{\displaystyle \rho ={PM \over RT}}

avec :

En remplaçantρ{\displaystyle \rho } dans l'équation (I), on a par conséquent :

c=γRTM{\displaystyle c={\sqrt {\gamma {RT \over M}}}}

Lavitesse quadratique moyennev^{\displaystyle {\hat {v}}} des molécules d'un gaz parfait est corrélée à la température selon[37],[38] :

v^=3RTM{\displaystyle {\hat {v}}={\sqrt {3{RT \over M}}}}

On a donc la relation :

c=γ3v^{\displaystyle c={\sqrt {\gamma \over 3}}\,{\hat {v}}}

Dans le cas d'un gaz parfait diatomique comme l'airγ=7/5{\displaystyle \gamma =7/5}, on a par conséquent :

c≈0,683v^{\displaystyle c\approx 0,683\,{\hat {v}}}

Cette relation montre que dans l'air la vitesse du son est inférieure à la vitesse quadratique moyenne des molécules du gaz au repos. En application, à20 °C, avecM{\displaystyle M} = 28,965 g mol−1, on obtient :

Dans un gaz de van der Waals

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La vitesse du son dans ungaz de van der Waals est fonction de deux variables thermodynamiques indépendantes, classiquement la températureT{\displaystyle T} et levolume molaireV¯{\displaystyle {\bar {V}}} :

c=γM(RTV¯2(V¯−b)2−2aV¯){\displaystyle c={\sqrt {{\gamma \over M}\left({\frac {RT{\bar {V}}^{2}}{\left({\bar {V}}-b\right)^{2}}}-{2a \over {\bar {V}}}\right)}}}

avec :

Démonstration

La vitesse du son dans un fluide a pour expression :

c=1χSρ{\displaystyle c={\sqrt {1 \over \chi _{S}\,\rho }}}

Le coefficient decompressibilité isentropique est défini par :χS=−1V(∂V∂P)S{\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}. Il est relié au coefficient de Laplaceγ{\displaystyle \gamma } par larelation de Reech :γ=χTχS{\displaystyle \gamma ={\chi _{T} \over \chi _{S}}}, avecχT=−1V(∂V∂P)T{\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}} lecoefficient de compressibilité isotherme. On réécrit donc :

c=γχTρ{\displaystyle c={\sqrt {\gamma \over \chi _{T}\,\rho }}}

L'équation d'état de van der Waals s'écrit :

P=nRTV−nb−an2V2{\displaystyle P={nRT \over V-nb}-{an^{2} \over V^{2}}}

avec :

n{\displaystyle n} moles de gaz demasse molaireM{\displaystyle M} ont unemassem=nM{\displaystyle m=nM} et occupent un volumeV{\displaystyle V} sous la pressionP{\displaystyle P} et à la températureT{\displaystyle T}. Lamasse volumique vaut alorsρ=mV=MnV{\displaystyle \rho ={m \over V}=M{n \over V}} et levolume molaireV¯=Vn{\displaystyle {\bar {V}}={V \over n}}. Le coefficient de compressibilité isotherme vaut alors, pour un gaz de van der Waals :

χT(T,V¯)=(V¯−b)2RTV¯(1−2a(V¯−b)2RTV¯3){\displaystyle \chi _{T}\!\left(T,{\bar {V}}\right)={\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}\left(1-{2a\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}^{3}}\right)}}

On réécrit en conséquence :

c=γMV¯χT=γM(RTV¯2(1−2a(V¯−b)2RTV¯3)(V¯−b)2){\displaystyle c={\sqrt {{\gamma \over M}{{\bar {V}} \over \chi _{T}}}}={\sqrt {{\gamma \over M}\left({RT{\bar {V}}^{2}\left(1-{2a\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}^{3}}\right) \over \left({\bar {V}}-b\right)^{2}}\right)}}}

en réarrangeant, on trouve :

c=γM(RTV¯2(V¯−b)2−2aV¯){\displaystyle c={\sqrt {{\gamma \over M}\left({\frac {RT{\bar {V}}^{2}}{\left({\bar {V}}-b\right)^{2}}}-{2a \over {\bar {V}}}\right)}}}

Si l'on définit :

si l'on considère d'autre part quecP−cV≈Rs{\displaystyle c_{P}-c_{V}\approx R_{s}}, larelation de Mayer pour les gaz parfaits (ce qui n'est pas rigoureux pour un gaz de van der Waals), avec :

alors on a approximativement :

c≈(RscV+1)(RsT(1−ρb′)2−2a′ρ){\displaystyle c\approx {\sqrt {\left({R_{s} \over c_{V}}+1\right)\left({R_{s}T \over \left(1-\rho b'\right)^{2}}-2a'\rho \right)}}}

Fluides diphasiques

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Dans le cas d'un fluide diphasique (bulles d'air dans l'eau liquide par exemple), la vitesse du son se trouve fortement modifiée. Le calcul de la vitesse du son est alors assez complexe et dépend notamment des relations qui unissent les deux fluides (par exemple, dans le cas d'un liquide avec des bulles de vapeur, il faudra prendre en compte les changements de phase).

Néanmoins, un résultat général peut être donné. La vitesse du son dans ce mélange est bien inférieure à la plus petite des deux vitesses dans les milieux séparés. Par exemple, pour un mélange eau/vapeur la vitesse du son est autour de30 m/s pour un taux de présence de 0,5. Cela s'explique en considérant la masse volumique moyenne du mélange, qui est comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur, et la compressibilité (ou la constante d'élasticité moyenne) qui est elle aussi comprise entre celle de l'eau et celle de la vapeur. En introduisant les bulles de vapeur dans l'eau, on a tout à la fois diminué la masse volumique moyenne du milieu (cette modification, seule, tend à augmenter la vitesse du son) et augmenté sa compressibilité (cette modification, seule, diminue la vitesse du son). Mais on a beaucoup plus augmenté la constante élastique que diminué la masse volumique. C'est pourquoi on a obtenu une vitesse du son plus faible dans ce mélange que dans l'eau pure.

Dans un solide

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Dans un solide, la vitesse desondes mécaniques est dépendante de lamasse volumiqueρ{\displaystyle \rho } et des constantes d'élasticité. Des ondes tantlongitudinales quetransverses peuvent se propager (ondes P et S ensismologie) dont les vitesses sont données par :

cl=E(1−ν)ρ(1+ν)(1−2ν){\displaystyle c_{\mathrm {l} }={\sqrt {\frac {E\left(1-\nu \right)}{\rho \left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)}}}}
ct=E2ρ(1+ν){\displaystyle c_{\mathrm {t} }={\sqrt {\frac {E}{2\rho \left(1+\nu \right)}}}}

où :

Exemples

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Dans l'air

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En fonction de la température

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La table suivante[39] présente l'évolution de quelques propriétés de l'air sec sous une pression d'uneatmosphère en fonction de la température, avec :

Enitalique sont reportées les vitesses calculées au moyen de la formule :

c=331,5+0,607⋅θ{\displaystyle c=331,5+0,607\cdot \theta }
Influence de la température sur l'air
θ{\displaystyle \theta } en °Cc{\displaystyle c} enm/sρ{\displaystyle \rho } enkg/m3Z{\displaystyle Z} enN s/m3
−10325,4
325,4		1,341436,5
−5328,4
328,5		1,316432,4
0331,5
331,5		1,293428,3
+5334,5
334,5		1,269424,5
+10337,5
337,6		1,247420,7
+15340,5
340,6		1,225417,0
+20343,4
343,6		1,204413,5
+25346,3
346,7		1,184410,0
+30349,2
349,7		1,164406,6

En fonction de l'altitude

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La table suivante[40] présente l'évolution de quelques propriétés de l'air en fonction de l'altitude enatmosphère ISA, avec :

Influence de l'altitude sur l'air
Altitude en mθ{\displaystyle \theta } en °CP{\displaystyle P} en kPac{\displaystyle c} enm/sρ{\displaystyle \rho } enkg/m3
015,00101,33340,31,225
20013,7098,95339,51,202
40012,4096,61338,81,179
60011,1094,32338,01,156
8009,8092,08337,21,134
1 0008,5089,88336,41,112
2 0002,0079,50332,51,007
3 000−4,4970,12328,60,909
4 000−10,9861,66324,60,819
6 000−24,047,22316,50,660
8 000−36,935,65308,10,526
10 000−49,926,50299,50,414
12 000−62,919,40295,10,312

Calcul de la distance d'un orage

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Lors d'un orage, la distance de celui-ci à un observateur peut être estimée de deux façons. Au préalable, l'observateur doit mesurer le temps séparant la vision des éclairs de la perception du tonnerre. Il peut ensuite[41] :

Dans les deux cas, il est supposé que les éclairs sont perçus immédiatement par l'observateur, sans délai, contrairement au tonnerre, car la vitesse de la lumière (299 792 458 m/s), très grande, est bien supérieure à celle du son. Dans la première méthode, la vitesse du son est approchée à300 m/s, dans la deuxième à333 ¹⁄₃ m/s. Au niveau de la mer, dans des conditions atmosphériques autour de1 atm et25 °C, la vitesse du son est proche de340 m/s (voir détails dans les tableaux ci-dessus).

Pour différents matériaux

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La table suivante donne la vitesse du son dans quelques milieux différents dans lesconditions normales de température et de pression.

Exemples
Matériauc{\displaystyle c} enm/s
Air340
Toluène926[42]
Acétone1 120[42]
Xylol1 165[42]
Alcool1 195[42]
Benzine1 202[42]
Pétrole1 275[42]
Eau1 480[43]
Acide sulfurique1 677[42]
Béton3 100[43]
Acier5 600[44]
Diamant18 000[25]

Notes et références

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Notes

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  1. ↑Liénard 2001,p. 85.
  2. ↑FrançoisBernier,Abrégé de la philosophie de Gassendi, Paris,(lire en ligne),p. 368sq, 379.
  3. ↑abc etdRichardTaillet, LoïcVillain et PascalFebvre,Dictionnaire de physique, Bruxelles,De Boeck,,p. 724-726 : « Vitesse de groupe » (p. 724), « Vitesse de phase » (p. 725-726), « Vitesse du son » (p. 726).
  4. ↑Bernier 1678,p. 379.
  5. ↑a etbLéonAuger, « Le R. P. Mersenne et la physique »,Revue d'histoire des sciences et de leurs applications,vol. 2,no 1,‎,p. 33-52(DOI 10.3406/rhs.1948.2729,lire en ligne).
  6. ↑(la)MarinMersenne,Harmonicorum libri, in quibus agitur de sonorum natura, causis et effectibus, Paris,(lire en ligne).
  7. ↑FrançoisBaskevitch, « L’élaboration de la notion de vibration sonore : Galilée dans lesDiscorsi »,Revue d'histoire des sciences,vol. 60,no 2,‎,p. 387-418(DOI 10.3917/rhs.602.0387,lire en ligne, consulté le).
  8. ↑a etbFrançoisBaskevitch, « L’air et le son dans l’Encyclopédie, un curieux silence »,Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie,no 44,‎(lire en ligne).
  9. ↑LéonAuger, « Les apports de J. Sauveur (1653-1716) à la création de l'Acoustique »,Revue d'histoire des sciences et de leurs applications,vol. 1,no 4,‎,p. 323-336(DOI 10.3406/rhs.1948.2670,lire en ligne).
  10. ↑Claude Gabriel, « Chapitre 1 : brève histoire de l’acoustique »[PDF], surarchive.wikiwix.com,p. 38.
  11. ↑Dans l'articleVitesse du son de l'Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers,vol. 54, il est déjà relevé que« Depuis Newton, qui le premier eut le talent de développer cette théorie, on a été généralement d'accord qu'elle donne la vitesse du son considérablement trop petite ».
  12. ↑Dictionnaire technologique ou nouveau dictionnaire universel des arts et métiers et de l'économie industrielle et commerciale,vol. 19, Thomine et Fortic,(lire en ligne).
  13. ↑Jean AntoineNollet,Leçons de Physique Expérimentale,t. 3,(lire en ligne),p. 421.
  14. ↑Jean AntoineNollet,Leçons de Physique Expérimentale,t. 3,(lire en ligne),p. 429.
  15. ↑a etbPierre Simon de Laplace,Traité de mécanique céleste,t. 5,p. 96, 1825.
  16. ↑PascalFebvre, RichardTaillet et LoïcVillain,Dictionnaire de physique, De Boeck Superieur,, 12, 387 et 726(ISBN 978-2-8041-7554-2,lire en ligne).
  17. ↑Jean-DanielColladon etCharlesSturm, « Mémoire sur la compression des liquides »,Annales de chime et de physique,t. 36,‎,p. 236sq(lire en ligne).
  18. ↑Stéphane Fischer, « Jean-Daniel Colladon, savant et industriel genevois »[PDF], surgeneve.ch,p. 5–6.
  19. ↑Taillet, Villain et Febvre 2013.
  20. ↑Fischetti 2001,p. 14.
  21. ↑« Démonstration au Palais de la Découverte à Paris »(Archive.org •Wikiwix •Archive.is •Google •Que faire ?).
  22. ↑Liénard 2001,p. 96.
  23. ↑ab etcTechniques de l'Ingénieur,Célérité des ondes sonores et vibratoires,chap. 5 -Mesure de la célérité des ondes sonores et vibratoires, R 3 111 - 2.
  24. ↑(en) Kostya Trachenkoet al., « Speed of sound from fundamental physical constants »,Science Advances,vol. 6,no 41, eabc8662,‎(DOI 10.1126/sciadv.abc8662).
  25. ↑a etbCélineDeluzarche, « Voici la vitesse théorique maximum du son »,Futura-Sciences,‎(lire en ligne, consulté le).
  26. ↑(en) Robert N. Compton et Michael A. Duncan,Laser Experiments for Chemistry and Physics,Oxford University Press,, 403 p.(ISBN 978-0-19-874297-5,lire en ligne),p. 124.
  27. ↑Claude Lesueur,Acoustique,chap. 1 -Éléments de base en acoustique physiologique et physique, 1997,p. 15.
  28. ↑(en) Lloyd Dingle et Mike Tooley,Aircraft Engineering Principles,Routledge,, 656 p.(ISBN 978-1-136-43020-6,lire en ligne),p. 545.
  29. ↑(en) Eugene T.Patronis,« 8. Stadiums and outdoor venues », dans Glen Ballou (direction),Handbook for Sound Engineers, New York, Focal Press,,4e éd.,p. 204.
  30. ↑Fischetti 2001,p. 11.
  31. ↑PatriceBourcet et PierreLiénard,« Acoustique fondamentale », dans Denis Mercier (direction),Le livre des techniques du son,tome 1 - Notions fondamentales, Paris, Eyrolles, (1re éd. 1987),p. 29.
  32. ↑Zuckerwar 2002.
  33. ↑Comptonet al. 2016,p. 124.
  34. ↑La vitesse du son dans différents milieux, CyberPhon, site de phonétique acoustique de l'université Lumière Lyon 2 : la vitesse du son dans l'air sec se calcule selonc=331+0,6t{\displaystyle c=331+0,6\,t}, en m/s, avect{\displaystyle t} la température en °C.
  35. ↑Marie-Christine deLa Souchère,Les sons en 150 questions,Ellipses,(lire en ligne),p. 10.
  36. ↑(en) William M. Haynes,CRC Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press/Taylor & Francis,,97e éd., 2652 p.(ISBN 978-1-4987-5428-6 et1-4987-5428-7,lire en ligne), « Attenuation and Speed of Sound in Air as a Function of Humidity and Frequency »,p. 2432 (14-47).
  37. ↑Peter William Atkins, Loretta Jones et Leroy Laverman (trad. de l'anglais par André Pousse),Principes de chimie [« Chemical Principles »], De Boeck Supérieur,,4e éd., 1088 p.(ISBN 9782807306387,lire en ligne),p. 175.
  38. ↑Inge L. Ryhming,Dynamique des fluides : un cours de base du deuxième cycle universitaire,EPFL Press,, 462 p.(ISBN 9782880744090,lire en ligne),p. 304.
  39. ↑(en) William M. Haynes,CRC Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press/Taylor & Francis,,97e éd., 2652 p.(ISBN 978-1-4987-5428-6 et1-4987-5428-7,lire en ligne), « Speed of Sound in Dry Air »,p. 2433 (14-48).
  40. ↑Çengel Y. et Boles M.,Thermodynamics - An Engineering Approach,6e éd., McGraw-Hill, 2008(ISBN 978-0-07-352921-9).
  41. ↑Ève Christian, « Comment évaluer la distance de l'orage? », surmeteo.org(consulté le).
  42. ↑abcdef etg« Sur la vitesse du son dans les liquides et sur ses relations avec les chaleurs de vaporisation ».
  43. ↑a etbNathalieMayer, « Vitesse du son », surFutura(consulté le).
  44. ↑« StackPath », surwww.quebecscience.qc.ca(consulté le).

Bibliographie

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Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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