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Cet article concerne les motivations, applications et interprétations du barycentre enphysique. Pour un point de vue mathématique, consultez l'articleBarycentre.
L'utilisation dubarycentre enphysique, et en particulier enmécanique et enastronomie, permet de simplifier l'étude d'un système.
Le barycentre, dugrec ancien βαρύς /barús (« lourd »), est initialement le centre des poids. C'est donc une notionphysique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours lecentre de gravité) est le mathématicien et physicienArchimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe desmoments, leprincipe des leviers et la notion de barycentre dans un traité intituléDe l'équilibre des figures planes[1]. Cet ouvrage ne définit pas le barycentre[2], mais l'historien des mathématiquesJean Itard[3] en résume l'idée ainsi :
« Pour lui, tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. »
Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentreO de deux points de massesm1 etm2 différentes.
D'après lethéorème du moment dynamique, pour que la balance soit en équilibre, il faut que lesmomentsm1⋅OA⋅g etm2⋅OB⋅g soient égaux dans le champ de pesanteur g. Si par exemple la massem1 est 4 fois plus importante que la massem2, il faudra que la longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par l'égalité vectorielle
Archimède est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surfaces comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par approximations successives, et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par celui dePaul Guldin (1635/1640) dans son traitéCentrobaryca et celui deLeibniz à qui l'on doit la fonction vectorielle de Leibniz.
La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée parChristiaan Huygens (1654), lors de l'établissement de sa théorie des chocs : même s'il sait que P = P0, il n'est pas évident pour lui que G ira à vitesse constante. En particulier au moment de la percussion, où des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement bris de la cible, G n'en continue pas moins imperturbé dans son mouvement : cela paraîtmirifique à Huygens, qui ne connaît pas encore lecalcul différentiel. C'est alors qu'il énonce le principe de mécanique :
« Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. »
On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité) comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).
Les mathématiques généralisent la construction d'Archimède du point d'équilibre de deux points affectés de deux masses positives progressivement à des ensembles plus complexes.Les coefficients peuvent être négatifs :Le barycentre des points A et B affectés des massesa etb (a +b non nul) est l'unique point G tel que
Les coordonnées de G sont alors
Le nombre de points peut passer à trois points, quatre points et se généraliser àn points.Si la somme des massesai est non nulle, le barycentre du système{(Ai,ai )}i ∈ {1 ;n } est le point G tel que :
Les coordonnées sont données par les formules, pour j variant de 1 à la dimension de l'espace :
C'est sous cette forme qu'il devient un outil puissant engéométrie affine.
Le nombre de points peut même devenir infini, permettant de trouver le barycentre d'une courbe ou d'une surface.
Si l'ensemble constitue un domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une densitég(M) oùg est une fonction continue (unchamp scalaire).Le barycentre est alors le point G tel que
Si les points M ont pour coordonnées (x1,x2,x3 ), la fonction de densité s'écritg(x1,x2,x3 ) et les coordonnées de G s'écrivent
Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de lamoyenne pondérée :
En mécanique, le centre d'inertie d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel lamasse est uniformément répartie.
Dans le cas d'un corps continu, on emploie comme fonction de pondération lamasse volumiqueρ du corps. Dans ce cas, la position du centre d'inertie G est définie par la relation suivante (O étant un point quelconque de l'espace) :
Si la masse volumique est uniforme, alors on peut sortir le terme de l'intégrale et il vient :
Le centre d'inertie ne dépend alors pas de la masse volumique mais de la forme du corps. C'est une caractéristique intrinsèque.
Une propriété étonnante du centre d'inertie est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force nouvelle. Ainsi par exemple si un obus éclate en vol, le centre d'inertie de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole comme si de rien n'était (aux effets de résistance de l'air près) avant, pendant et après l'explosion.Attention : ceci ne s'applique évidemment pas à un obus balistique ou un astéroïde, précisément parce que la force sur chaque éclat d'obus varie.
Le centre de gravité d'un corps correspond aubarycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par son poids propre.
La position du centre de gravité Gg est définie par la relation suivante ( étant le champ de gravité au point M) :
Le centre de gravité est fondamentalement lié auchamp de gravité dans lequel le corps est plongé. Dans une situation théorique où le champ de gravité serait absent, on ne pourrait donc pas le définir ; il faudrait pour cela considérer une situation où toute masse est absente de l'Univers… Quoi qu'il en soit, la notion de centre de gravité ne présente d'intérêt que si l'on considère le poids ; dans un cas où le poids serait négligeable devant d'autres forces, la notion de centre de gravité n'est pas pertinente.
Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre, on considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.
On parle debarycentre en ce qui concerne le couple formé par un corps stellaire possédant un satellite. Le barycentre est le point autour duquel l'objet secondaire gravite.Si la plupart des couples connus possèdent leur barycentre à l'intérieur de l'objet principal, il existe des exceptions notables :
