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Union (mathématiques)

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Pour les articles homonymes, voirUnion etRéunion.

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Dans lathéorie des ensembles, l'union ouréunion[1] est uneopération ensembliste de base. Enalgèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique « ou inclusif » et est notée∪.

L'union des ensemblesA etB est représentée dans cediagramme de Venn par l'ensemble de la zone colorée en violet.

Union de deux ensembles

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L'union de deuxensemblesA etB est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent àAou appartiennent àB. On la noteA∪B et on la dit « A union B »

Formellement :

x∈A∪B⇔(x∈A∨x∈B){\displaystyle x\in A\cup B\Leftrightarrow \left(x\in A\lor x\in B\right)}.

Par exemple l'union des ensemblesA= {1, 2, 3} etB= {2, 3, 4} est l'ensemble {1, 2, 3, 4}.

Propriétés algébriques

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  • L'union estassociative, c'est-à-dire que, pour des ensemblesA,B etC quelconques, on a :
    (A ∪B) ∪C =A ∪ (B ∪C).
  • L'union estcommutative, c'est-à-dire que, pour des ensemblesA etB quelconques, on a :
    A ∪B =B ∪A.
  • L'intersection estdistributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensemblesA,B etC quelconques, on a :
    A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩C).
  • L'union est distributive sur l'intersection, c'est-à-dire que, pour des ensemblesA,B etC quelconques, on a :
    A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C).

Union d'une famille d'ensembles

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On généralise ce concept à un ensemble quelconqueX{\displaystyle X} d'ensembles (non nécessairement réduit à unepaire, ni mêmefini) : sa réunion, notée⋃X{\displaystyle \bigcup X}, a pour éléments tous lesx{\displaystyle x} pour lesquels il existe unE∈X{\displaystyle E\in X} tel quex∈E{\displaystyle x\in E} (siX est l'ensemble vide, cette réunion estdonc vide[2]). L'axiome de la réunion est l'affirmation que⋃X{\displaystyle \bigcup X} est un ensemble[3].

On peut alors définir la réunion d'unefamille quelconque d'ensembles(Ei)i∈I{\displaystyle (E_{i})_{i\in I}} : c'est la réunion de l'ensembleX={Ei|i∈I}{\displaystyle X=\{E_{i}|i\in I\}}. Cette réunion notée⋃i∈IEi{\displaystyle \bigcup _{i\in I}E_{i}} est donc l'ensemble des élémentsx{\displaystyle x} pour lesquels il existe uni∈I{\displaystyle i\in I} tel quex∈Ei{\displaystyle x\in E_{i}}. Formellement :

x∈⋃i∈IEi⇔(∃i∈I, x∈Ei){\displaystyle x\in \bigcup _{i\in I}E_{i}\Leftrightarrow (\exists i\in I,\ x\in E_{i})}.

La distributivité de l'intersectionci-dessus s'étend aux familles :

A∩(⋃i∈IEi)=⋃i∈I(A∩Ei){\displaystyle A\cap \left(\bigcup _{i\in I}E_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}(A\cap E_{i})}.

Notes et références

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  1. ↑Dans ce contexte, ces deux mots sontsynonymes (cf. entréesunion etréunion sur le portail lexical duCNRTL). Ils sont utilisés indifféremment, parfois dans un même ouvrage, commeS. Balac etL. Chupin,Analyse et algèbre : cours de mathématiques de deuxième année avec exercices corrigés et illustrations avec Maple, Lausanne,PPUR,, 1035 p.(ISBN 978-2-88074-782-4,lire en ligne).
  2. ↑Jean-Pierre Ramis,André Warusfelet al.,Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 1,Dunod,,3e éd.(lire en ligne),p. 22.
  3. ↑RenéCori et DanielLascar,LogiquemathématiqueII. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles[détail des éditions],p. 124 de l'édition de 1993.

Articles connexes

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v ·m
NumériquesEn ensemble ordonnéStructurellesAutres
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