Pour les articles homonymes, voirTrou noir (homonymie).

Ne doit pas être confondu avecTrou noir de Kerr-Newman.

Enastrophysique, untrou noir de Kerr^[1], ainsi désigné en l'honneur du mathématiciennéozélandaisRoy Kerr, est untrou noir enrotation et dépourvu decharge électrique.

Plus précisément :

• demasse${\displaystyle M}$ strictement positive :${\displaystyle M>0}$ ;
• dont lemoment cinétique de rotation propre${\displaystyle J}$ n'est pas nul :${\displaystyle J\ne 0}$, c'est-à-dire qui est en rotation axiale ;
• dont lacharge électrique${\displaystyle Q}$ est nulle${\displaystyle Q=0}$ ;
• dont l'horizon des événements est en rotation rigide^[2],[3].

D'après laconjecture decalvitie, proposée parJohn Wheeler, il est un des quatre types théoriques de trous noirs^[4].

Il est décrit, dans le cadre de larelativité générale, par lamétrique de Kerr, découverte par Roy Kerr en1963^[5],[6]. La métrique est une solution exacte de${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$^[7] à laquelle l'équation d'Einstein se réduit pour levide^[8],[9]${\displaystyle \left(T_{\mu \nu }=0\right)}$ en l'absence deconstante cosmologique^[8]${\displaystyle \left(\mathrm{\Lambda }=0\right)}$ ; elle ne dépend que des deux paramètres${\displaystyle m}$ et${\displaystyle a}$^[9],[10], c'est-à-dire lamasse${\displaystyle M=m}$ et lemoment cinétique${\displaystyle J=Mac}$^[10],[11]. L'espace-temps dont la métrique de Kerr décrit lagéométrie a quatre dimensions^[12] ; il estvide^[12] mais courbe bien qu'asymptotiquementplat^[12] ; il eststationnaire^[12] età symétrie axiale^[13].

La métrique de Kerr ne décrit un trou noir qu'avec${\displaystyle m\ge a}$^[14],[10]. Lamétrique de Schwarzschild correspond au cas particulier${\displaystyle a=0}$ de celle de Kerr^[15],[16]. Letrou noir extrémal que celle-ci décrit correspond au cas limite${\displaystyle m=a}$^[14],[10] ; latempérature de Hawking d'un tel trou noir est nulle^[10]. Avec, la métrique de Kerr prédit l'existence desingularités nues^[14],[10], c'est-à-dire desingularités gravitationnelles qui, contrairement à celles des trous noirs sans rotation, ne seraient pas vraiment occultées par unhorizon des événements, hypothèse à laquelle s'oppose la conjecture decensure cosmique, proposée parRoger Penrose^[17]. Lamétrique de Minkowski correspond au cas particulier${\displaystyle m=0}$ de celle de Kerr^[18].

La métrique de Kerr ne peut décrire qu'un trou noir^[19]. Lethéorème de Birkhoff ne lui est pas applicable^[20],[21] et elle ne décrit pas lechamp gravitationnel à l'extérieur d'uneétoile en rotation^[22], y compris pendant soneffondrement gravitationnel^[23].

L'hypothèse de Kerr^{[24],[25],[26]} est l'hypothèse selon laquelle tous les trous noirs astrophysiques sont, quand ils sont proches de l'équilibre, bien décrits par la métrique de Kerr^[25]. En effet, les trous noirs astrophysiques sont considérés comme neutres, dans une très bonne approximation^[24].

Contrairement au cas du trou noir sans rotation et sans charge électrique (appelétrou noir de Schwarzschild), lasingularité gravitationnelle d'un trou noir de Kerr n'est pas ponctuelle mais annulaire.

D'autre part, un trou noir de Kerr possède quatre régions : deuxhorizons des événements^{[5],[27],[28]} (${\displaystyle r_{\pm }}$) : l'un extérieur (${\displaystyle r_{+}}$), l'autre intérieur (${\displaystyle r_{-}}$) ; et deux surfaces limites de stationnarité : l'une externe, l'autre interne avec sa singularité annulaire. La limite de stationnarité externe est l'ergosphère^[29]. Alors que l'horizon des événements est décrit par une sphère de rayon${\displaystyle r_h}$, l'ergosphère est unellipsoïde de révolution (oblate) dont lepetit axe est aligné avec l'axe de rotation du trou noir et de même taille que${\displaystyle r_h}$, et le plan équatorial est de diamètre${\displaystyle r_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}}}$. De plus,${\displaystyle r_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}}\ge r_h}$. (voir la Fig. 1).

La masse d'un trou noir de Kerr est donnée par^[30],[31] :

${\displaystyle M^2=M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}^2+{\left(\frac{cJ}{2G{M}_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}\right)}^2\ge M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}^2}$,

avec^[32] :

• ${\displaystyle M_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=M-M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}=\sqrt{M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}^2+{\left(\frac{cJ}{2G{M}_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}\right)}^2}-M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}$,

où :

• ${\displaystyle M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}$ est lamasse irréductible ;
• ${\displaystyle M_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}}$ est l'équivalent de l'énergie de rotation^[33].

Pour${\displaystyle J\ne 0}$,${\displaystyle M>M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}$^[34].

Pour${\displaystyle \frac{cJ}{M^2}=G}$,${\displaystyle M=\sqrt{2}{M}_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}$^[35],[34] : le moment cinétique est maximal${\displaystyle \left(J=G{M}^2/c\right)}$ et la masse irréductible est minimale${\displaystyle \left(M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}=M/\sqrt{2}\right)}$^[36].

Pour${\displaystyle J=0}$,${\displaystyle M=M_{\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{r}}}$^[34] : le trou noir est untrou noir de Schwarzschild^[36].

${\displaystyle a\equiv \frac{J}{cM}}$définit le taux de rotation du trou noir et a pour dimension une longueur.${\displaystyle a}$ ne peut être supérieur à${\displaystyle \frac{GM}{c^2}}$ (voirespace-temps de Kerr rapide ci-dessous).

Leparamètre de spin${\displaystyle a_{\ast }=\frac{c^{2}a}{GM}}$ est un paramètre sans dimension tel que${\displaystyle -1\le a_{\ast }\le 1}$, le signe représentant le sens de rotation.

La géométrie des régions peut se décrire en fonction des caractéristiques du trou noir (sa masse réduite${\displaystyle m=\frac{GM}{c^2}}$homogène à une distance et leparamètre de Kerr ou paramètre de spin${\displaystyle a_{\ast }=\frac{a}{m}}$), de la coordonnée radiale${\displaystyle r}$ et de la colatitude${\displaystyle \theta }$, avec${\displaystyle G}$constante gravitationnelle,${\displaystyle c}$vitesse de la lumière dans le vide et${\displaystyle M}$ masse du trou noir.

Les quatre régions d'un trou noir de Kerr sont incluses les unes dans les autres, de la plus grande à la plus petite : l'ergosphère externe, l'horizon des évènements, l'horizon de Cauchy et l'ergosphère interne avec la singularité annulaire.

Dans le cas d'un trou noir de Kerr extrême${\displaystyle (|a_{\ast }|=1)}$, leshorizons des évènements et deCauchy sont confondus. Pour untrou noir de Schwarzschild${\displaystyle (a_{\ast }=0)}$, l'horizon des évènements et l'ergosphère externe sont confondus, et il n'y a pas d’horizon de Cauchy ni d’ergosphère interne.

L'ergosphère externe est ditelimite statique en ce sens que les particules qui la franchissent sont obligatoirement entraînées dans le sens de rotation du trou noir, autrement dit, elles y possèdent un moment angulaire de même signe que${\displaystyle J}$. Cet entraînement confère du moment cinétique et de l'énergie mécanique à une particule qui pénètre dans l'ergosphère externe puis s'en échappe, de sorte que le trou noir voit son moment cinétique diminuer. C'est leprocessus de Penrose, qui permet de pomper de l'énergie à un trou noir en rotation.

L'ergosphère externe est décrite par l'équation polaire :

${\displaystyle r_{ergoext}=m(1+\sqrt{1-a_{\ast }^2{\cos }^2\theta })}$

Il s'agit d'unellipsoïde de révolution de petit axe${\displaystyle r_h}$ et de grand axe${\displaystyle r_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}}=2m}$.

La présence de l'horizon des évènements ne dépend pas de la rotation du trou noir, c'est une caractéristique commune à tous les types de trous noirs qui représente finalement l'essence même de ce qu'est untrou noir. Les particules qui franchissent l'horizon des évènements ne peuvent revenir dans leur univers initial (diagramme de Penrose).

Dans le cas d'un trou noir de Kerr, le rayon de l'horizon des évènements est appelé lerayon de Kerr^[37] et s'écrit :

${\displaystyle r_{+}=r_h=m(1+\sqrt{1-a_{\ast }^2})}$,

La valeur du rayon de l'horizon du trou noir de Kerr est donc comprise entre la moitié du rayon de Schwarzschild${\displaystyle r_s=2m}$ (quand le moment cinétique est maximal,${\displaystyle Jc=G.M^2}$soit${\displaystyle a_{\ast }=1}$) et ledit rayon (moment angulaire nul,${\displaystyle J=0}$ soit${\displaystyle a_{\ast }=0}$, cas dutrou noir de Schwarzschild).

Le rayon de l'horizon de Cauchy s'écrit :

${\displaystyle r_{-}=r_{Cauchy}=m(1-\sqrt{1-a_{\ast }^2})}$.

Le rayon de l'ergosphère interne s'écrit :

${\displaystyle r_{ergoint}=m(1-\sqrt{1-a_{\ast }^2{\cos }^2\theta })}$.

Un trou noir de Kerr est associé à une singularité ditesingularité de Kerr^[38] dont la particularité est d'être, d'une part, annulaire^[5],[38] (sa topologie est celle d'un anneau de rayon${\displaystyle |a|}$ situé dans le plan équatorial et bordant l'ergosphère interne) et, d'autre part, dugenre temps^[5],[38].

La singularité annulaire borde le disque qui marque la limite avec l'espace négatif (coordonnée radiale) (diagramme de Penrose).

L'espace-temps dont la métrique de Kerr décrit la géométrie étant stationnaire et à symétrie axiale, il admet deux vecteurs de Killing linéairement indépendants :${\displaystyle {\xi }_{(t)}^{\mu }}$ et${\displaystyle {\xi }_{(\varphi )}^{\mu }}$, respectivement associés à la stationnarité et à la symétrie axiale ; il admet un troisième vecteur de Killing défini comme la combinaison linaire des deux précédents :${\displaystyle {\zeta }_{\pm }^{\mu }={\xi }_{(t)}^{\mu }+{\mathrm{\Omega }}_{\pm }{\xi }_{(\varphi )}^{\mu }}$. Il existe unsystème de coordonnées d'espace-temps tel que${\displaystyle {\xi }_{(t)}^{\mu }=(1,0,0,0)}$,${\displaystyle {\xi }_{(\varphi )}^{\mu }=(0,0,0,1)}$ et${\displaystyle {\zeta }_{\pm }=(1,0,0,{\mathrm{\Omega }}_{\pm })}$^[39].

La métrique de Kerr s'écrit généralement dans lescoordonnées de Boyer-Lindquist :

${\displaystyle x^{\mu }=\left\{t,r,\theta ,\varphi \right\}}$,

où :

• ${\displaystyle t\in \left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)}$,
• ${\displaystyle r\in \left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)}$,
• ${\displaystyle \theta \in \left[0,\pi \right]}$,
• ${\displaystyle \varphi \in \left[0,2\pi \right)}$.

En coordonnées de Boyer-Lindquist, l'espace-temps est l'union disjointe de troiscomposantes connexes^[40] :

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{\mathrm{B}\mathrm{L}}={\mathcal{M}}_{\mathrm{I}}\cup {\mathcal{M}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}\cup {\mathcal{M}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}}$,

avec^[41] :

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{\mathrm{I}}=\mathbb{R}\times \left(r_{+},+\mathrm{\infty }\right)\times {\mathbb{S}}^2}$,

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}=\mathbb{R}\times \left(r_{+},r_{-}\right)\times {\mathbb{S}}^2}$,

${\displaystyle {\mathcal{M}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}}=\mathbb{R}\times \left(-\mathrm{\infty },r_{-}\right)\times {\mathbb{S}}^2\setminus \mathcal{R}}$,

où^[42] :

,

${\displaystyle \mathcal{R}=\left\{p\in {\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{S}}^2,r(p)=0\text{et}\theta (p)=\frac{\pi }{2}\right\}}$.

Dans ce système de coordonnées, le métrique peut s'écrire comme suit^{[43],[44],[45],[46],[47],[48]} :

,

avec^[49],[50] :

${\displaystyle \mathrm{\Delta }=r^2+a^2-2Mr,{\rho }^2=r^2+a^2{\cos }^2\theta ,{\mathrm{\Sigma }}^2={\left(r^2+a^2\right)}^2-a^2\mathrm{\Delta }{\sin }^2\theta }$,

et^[49],[50] :

${\displaystyle {\alpha }^2=\frac{{\rho }^2}{{\mathrm{\Sigma }}^2}\mathrm{\Delta },{\varpi }^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^2}{{\rho }^2}{\sin }^2\theta ,\omega =\frac{2aMr}{{\mathrm{\Sigma }}^2}}$.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ est la fonction de la coordonnée${\displaystyle r}$^[51] dont les zéros donnent les deux horizons^[52],[53] :${\displaystyle \mathrm{\Delta }(r)=\left(r-r_{+}\right)\left(r-r_{-}\right)=0}$.

${\displaystyle {\rho }^2}$ est la fonction des coordonnées${\displaystyle r}$ et${\displaystyle \theta }$^[51] dont le zéro donne la singularité^[52] :${\displaystyle {\rho }^2=0}$.

${\displaystyle \varpi }$ est le rayon de la base d'un cylindre autour de l'axe de symétrie^[54].

${\displaystyle \omega }$ est lavitesse angulaire d'unobservateur eulérien^[55].

La représentation tensorielle des coefficients de la métrique est la suivante^[56] :

Les coefficients de la métrique sont^[57],[58] :

${\displaystyle g_{tt}={\beta }^2-{\alpha }^2=\frac{{\beta }_{\varphi }^2}{{\gamma }_{\varphi \varphi }}-{\alpha }^2}$

${\displaystyle g_{t\varphi }={\gamma }_{t\varphi }={\beta }_{\varphi }}$

${\displaystyle g_{rr}={\gamma }_{rr}=\frac{{\rho }^2}{\mathrm{\Delta }},g_{\theta \theta }={\gamma }_{\theta \theta }={\rho }^2,g_{\varphi \varphi }={\gamma }_{\varphi \varphi }={\varpi }^2}$.

Dans ce même système de coordonnées, elle peut aussi s'écrire comme suit^[59] :

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=-\left(1-\frac{2GMr}{c^2{\rho }^2}\right)c^2\mathrm{d}{t}^2-\frac{4GMar{\sin }^2\theta }{c^2{\rho }^2}c\mathrm{d}t\mathrm{d}\varphi +\frac{{\rho }^2}{\mathrm{\Delta }}\mathrm{d}{r}^2+{\rho }^2\mathrm{d}{\theta }^2+\left(r^2+a^2+\frac{2GM{a}^{2}r{\sin }^2\theta }{c^2{\rho }^2}\right){\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2}$,

avec :

${\displaystyle \mathrm{\Delta }\equiv r^2-\frac{2GM}{c^2}r+a^2}$,

${\displaystyle {\rho }^2\equiv r^2+a^2{\cos }^2\theta }$.

En posant${\displaystyle G=1}$ et${\displaystyle c=1}$, elle est donnée par :

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=-\left(1-\frac{2Mr}{{\rho }^2}\right)\mathrm{d}{t}^2-\frac{4aMr{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}\mathrm{d}t\mathrm{d}\varphi +\frac{{\rho }^2}{\mathrm{\Delta }}\mathrm{d}{r}^2}$${\displaystyle +{\rho }^2\mathrm{d}{\theta }^2+\left(r^2+a^2+\frac{2a^{2}Mr{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}\right){\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2}$,

avec :

${\displaystyle \mathrm{\Delta }\equiv r^2-2Mr+a^2}$,

${\displaystyle {\rho }^2\equiv r^2+a^2{\cos }^2\theta }$,

${\displaystyle t\in \mathbb{R}}$ est la coordonnée temporelle,${\displaystyle r\in {\mathbb{R}}^{+}}$ est la coordonnée radiale,${\displaystyle \theta \in \left[0,\pi \right]}$ est lacolatitude,${\displaystyle \varphi \in \left[0,2\pi \right]}$ est lalongitude.
Les points${\displaystyle \theta =0}$ et${\displaystyle \theta =\pi }$ sont lespôles et les points${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}}$ forment l'équateur. La droite joignant les pôles est l'axe de rotation du trou noir.
Le système de coordonnées est indéfini aux pôles. En effet, lorsque${\displaystyle t=cste}$ et${\displaystyle r=cste}$, le coefficient${\displaystyle g_{\varphi \varphi }}$ s'annule pour${\displaystyle \theta =0}$ et${\displaystyle \theta =\pi }$.
De plus, les coordonnées sont invalides lorsque${\displaystyle \mathrm{\Delta }=0}$ où le coefficient g_{${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$} diverge (singularité dite de coordonnées) ou lorsque${\displaystyle {\rho }^2=0}$ où les coefficients${\displaystyle g_{00}}$,${\displaystyle g_{0\varphi }}$,${\displaystyle g_{\varphi 0}}$ et${\displaystyle g_{\varphi \varphi }}$ divergent (singularité annulaire).

Les coefficients de la métrique (exprimée dans les coordonnées de Boyer-Lindquist) sont indépendants de${\displaystyle t}$ et${\displaystyle \varphi }$. Par conséquent, la géométrie de l'espace-temps est indépendante du temps (c'est-à-dire stationnaire) et à symétrie axiale.
Autrement dit, la métrique de Kerr possède lesvecteurs de Killing :${\displaystyle {\xi }_{\left(t\right)}\equiv {\left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\right)}_{r,\theta ,\varphi }}$${\displaystyle {\xi }_{\left(\varphi \right)}\equiv {\left(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\varphi }\right)}_{t,r,\theta }}$

Les composantes de la métrique de Kerr exprimées avec les coordonnées de Boyer-Lindquist sont remarquables car elles sont égales auproduit scalaire des coordonnées indépendantes :

${\displaystyle {\xi }_{\left(t\right)}.{\xi }_{\left(t\right)}=g_{tt}}$

${\displaystyle {\xi }_{\left(t\right)}.{\xi }_{\left(\varphi \right)}=g_{t\varphi }}$

${\displaystyle {\xi }_{\left(\varphi \right)}.{\xi }_{\left(\varphi \right)}=g_{\varphi \varphi }}$

Notons que si le moment cinétique par unité de masse est nul,${\displaystyle a=0}$ (donc${\displaystyle J=0}$), on obtient lamétrique de Schwarzschild. Si on ajoute la contrainte${\displaystyle M=0}$, on obtient l'espace de Minkowski.

Il arrive que la métrique soit exprimée dans les coordonnées de Kerr où${\displaystyle \tilde{\varphi }}$ est la coordonnée de rotation du trou noir :

${\displaystyle \mathrm{d}{s}^2=-\left(1-\frac{2Mr}{{\rho }^2}\right)\mathrm{d}{\tilde{V}}^2-\frac{4aMr{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}\mathrm{d}\tilde{\varphi }\mathrm{d}\tilde{V}}$${\displaystyle +{\rho }^2\mathrm{d}{\theta }^2+\left(r^2+a^2+\frac{2a^{2}Mr{\sin }^2\theta }{{\rho }^2}\right){\sin }^2\theta \mathrm{d}{\tilde{\varphi }}^2+2\mathrm{d}r\mathrm{d}\tilde{V}-2a{\sin }^2\theta \mathrm{d}\tilde{\varphi }\mathrm{d}r}$

Dans ce cas, les coefficients sont indépendants de${\displaystyle \tilde{V}}$ et${\displaystyle \tilde{\varphi }}$.

Les relations qui relient les deux systèmes de coordonnées sont :

${\displaystyle \mathrm{d}\tilde{V}=\mathrm{d}t+\frac{\left(r^2+a^2\right)}{\mathrm{\Delta }}\mathrm{d}r}$${\displaystyle \left(=\mathrm{d}t+\left(1-\frac{2mr}{\mathrm{\Delta }}\right)\mathrm{d}r\right)}$ ,

${\displaystyle \mathrm{d}\tilde{\varphi }=\mathrm{d}\varphi +\frac{a}{\mathrm{\Delta }}\mathrm{d}r}$.

L'utilisation des coordonnées de Kerr permet d'obtenir des géodésiques régulières et les trajectoires réelles des particules contrairement aux coordonnées de Boyer-Lindquist qui génèrent une singularité sur les horizons et un angle${\displaystyle \varphi }$ non représentatif à leur proximité.

Il existe trois types différents d'espace-temps de Kerr suivant l'importance relative de${\displaystyle M}$ et${\displaystyle a}$, autrement dit, suivant la vitesse du moment cinétique${\displaystyle J=a_{\ast }\frac{G{M}^2}{c}}$.

L'espace-temps de Kerr est dit« lent » (slow Kerr space-time) pour^[60]. La rotation est lente (, avec la convention${\displaystyle G=M=c=1}$).

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ possède alors deux racines réelles.

${\displaystyle r_{-}=M-\sqrt{M^2-a^2}}$
${\displaystyle r_{+}=M+\sqrt{M^2-a^2}}$

C'est la version de l'espace-temps de Kerr la plus souvent étudiée. L'espace-temps possède deux horizons, les sphères de rayon${\displaystyle r=r_{-}}$ et${\displaystyle r=r_{+}}$ disposées symétriquement à la sphère de rayon${\displaystyle r=M}$. Lelieu géométrique où${\displaystyle r=r_{+}}$ est appelé indifféremment l'horizon externe ou l'horizon des événements. Concernant${\displaystyle r=r_{-}}$, on le nomme horizon interne ouhorizon de Cauchy. Les deux horizons séparent l'espace-temps en trois parties distinctes nomméesblocs de Boyer-Lindquist (Boyer-Lindquist Blocks) :

${\displaystyle \left\{r>r_{+}\right\}}$

C'est la région extérieure au trou noir. L'ergosphère^[61] appartient à ce bloc. La limite statique est l'hypersurface définie par la racine supérieure de l'équation :${\displaystyle {\rho }^2=2Mr}$, où le coefficient g_{${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$} s'annule. Si on définit l'ergosphère par la coordonnée radiale${\displaystyle r}$ :

.

Cette équation permet de retrouver quelques résultats prévisibles :
La limite statique coïncide avec l'horizon des évènements aux pôles.
L'extension radiale de l'ergosphère est maximale à l'équateur du trou noir (Voir Fig. 1).
La limite statique se rapproche de plus en plus de l'horizon des évènements à mesure que le moment cinétique par unité de masse diminue.
Si un observateur franchit l'ergosphère, il lui est physiquement impossible de rester au repos par rapport à un objet extérieur au trou noir. De plus, tous les observateurs possédant une coordonnée radiale et une colatitude fixes se situant dans cette région de l'espace-temps de Kerr doivent décrire des orbites dans le même sens de rotation que le trou noir.

Si${\displaystyle r=cste}$ et${\displaystyle \theta =cste}$,${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}>\frac{a\sin \theta -\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{\left(r^2+a^2\right)\sin \theta -a\sqrt{\mathrm{\Delta }}{\sin }^2\theta }\ge 0}$ lorsque${\displaystyle r\in E}$ et${\displaystyle a>0}$.

C'est la région située sous l'horizon externe. De la même manière que pour l'horizon de Schwarzschild caractérisant un trou noir sans rotation, aucun objet ne peut émerger de l'horizon des évènements.

C'est la région de l'espace-temps située sous l'horizon interne contenant la singularité annulaire source de la gravité.

L'espace-temps de Kerr est dit« extrême » (extreme Kerr space-time) pour${\displaystyle \left|a\right|=M}$^[60]. La rotation est critique (${\displaystyle \left|J\right|=1}$, avec la convention${\displaystyle G=M=c=1}$).

${\displaystyle M}$ est la racine double de${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ et la sphère de rayon${\displaystyle r=M}$ est l'horizon unique.Si on reprend les formules précédentes, on trouve que l'ergosphère est la région :

.

La métrique décrit un objet en rotation qui cesse d'être un trou noir, mais n'atteint pas la vitesse de rupture. La vitesse de rotation à la limite externe est égale à la vitesse de la lumière. Comme l'expliqueJean-Pierre Luminet :« En langage newtonien, on dirait qu'à la surface d'un trou noir maximal les forces de répulsion centrifuges compensent exactement les forces d'attraction gravitationnelles. »^[62]

L'espace-temps de Kerr est dit« rapide » (over extreme Kerr spacetime) pour${\displaystyle \left|a\right|>M}$^[60]. La rotation est rapide (${\displaystyle \left|J\right|>1}$, avec la convention${\displaystyle G=M=c=1}$).

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ne possède aucune racine réelle et l'espace-temps n'a pas d'horizon. Les ergosphères externe et interne sont adjacentes ce qui donne une seule hypersurface qui forme une sorte detore. Dans ce cas de figure, il n'y a pas de trou noir, et on parle alors desingularité nue (anneau de rayon${\displaystyle |a|}$ qui borde l'ergosphère interne). L'intérêt de cette solution particulière est plutôt limité puisqueWerner Israel^[63] a démontré dans les années 1980 que toute interaction d'un trou noir tournant à sa fréquence maximale (${\displaystyle \left|J\right|=1}$) tend à ralentir son moment cinétique. Il semblerait donc qu'il n'existe aucun moyen physique de "construire" un espace-temps de Kerr rapide. C'est l'idée formulée initialement parRoger Penrose appelée conjecture de la "censure cosmique".

Depuis2006, il est possible de mesurer expérimentalement le paramètre de spin${\displaystyle a_{\ast }}$ de certains trous noirs^[64]. Estimer le spin d'un trou noir est beaucoup plus difficile que d'estimer sa masse, car l'effet de la rotation du trou noir ne peut être mesuré que par ses effets sur de la matière observable à proximité du trou noir, comme undisque d'accrétion par exemple.

L'estimation du paramètre${\displaystyle a_{\ast }}$ est réalisée en mesurant le rayon de ladernière orbite circulaire stable (${\displaystyle R_{ISCO}}$ pourInnermost Stable Circular Orbit). La formule théorique donnant ce rayon, pour une masse du trou noir donnée, ne dépend que de${\displaystyle a_{\ast }}$ et la relation entre les deux est directe^[65].${\displaystyle R_{ISCO}}$ est lui-même déterminé en mesurant le spectre desrayons X émis dans le disque d'accrétion par desbinaires X, des étoiles orbitant autour d'un trou noir, ainsi que par laluminosité de ces émissions^[64]. Ce spectre est comparé à celui donné par un modèle théorique d'accrétion (Idealized Thin Disk Model^[66]), et les paramètres dont${\displaystyle R_{ISCO}}$ sont ajustés pour réaliser la meilleure corrélation entre le spectre et la luminosité mesurés, et le modèle^[64]. Pour une masse de trou noir d'une dizaine demasses solaires,${\displaystyle R_{ISCO}}$ peut varier entre 15 km pour${\displaystyle |a_{\ast }|=1}$ et 90 km pour${\displaystyle a_{\ast }=0}$, variabilité suffisamment grande pour influencer notablement le spectre[64].

Certains trous noirs semblent en rotation extrêmement rapide (${\displaystyle a_{\ast }}$ proche de 1), commeGRS 1915+105.

Paramètre de spin de quelques trous noirs^[64]

Binaire X	Masse du trou noir (${\displaystyle M_{\odot }}$)	${\displaystyle a_{\ast }}$
4U 1543-47	9.4 ± 1	0.7 - 0.85
GRO J1655-40	6.3 ± 0.27	0.65 - 0.8
GRS 1915+105	14 ± 4.4	0.98 - 1

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• [Chaskalovic 2009](en) JoëlChaskalovic, « Gravitation theory for mathematical modelling in geomarketing »,Journal of Interdisciplinary Mathematics,vol. 12,n^o 3,‎2009,p. 409-420, articlen^o 5(DOI 10.1080/09720502.2009.10700633,résumé,lire en ligne[PDF]).
• (en) Wheeler, Thorn et Misner,Gravitation, Freeman and Company,San Francisco, 1973(ISBN 0716703440)
• (en)Exemple de travaux tentant de détecter la présence d'un trou noir de Kerr,The Astrophysical Journal, 69, L570, 2002
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