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Cet article est uneébauche concernant latopologie et l’algèbre.
Latopologie algébrique, anciennement appeléetopologie combinatoire[1], est la branche desmathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude desespaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manièrenaturelle desinvariants algébriques auxstructures topologiques associées. La naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés defonctorialité au sens de lathéorie des catégories.
Elle est fondée entre 1895 et 1904 parHenri Poincaré[2], à partir de son article « Analysis situs » (1895).
L'idée fondamentale est de pouvoir associer à tout espace topologique des objets algébriques (nombre,groupe,espace vectoriel, etc.), de sorte qu'à deux espaceshoméomorphes soient associées deux structures isomorphes, et plus généralement qu’à une application continue entre deux espaces soit associé unmorphisme entre deuxstructures algébriques. De tels objets sont appelés des invariants algébriques. En utilisant la terminologie de la théorie des catégories, il s'agit d'étudier desfoncteurs depuis la catégorie des espaces topologiques sur une catégorie algébrique, comme les catégories de groupes, algèbres, groupoïdes, etc. Des résultats de topologie passent alors par la démonstration plus abordable de propriétés algébriques.
Parmi les invariants notables, citons :
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