Traditionnellement, lathéorie des nombres est une branche desmathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soiententiers naturels ouentiers relatifs). Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses théorèmes et ses problèmes ouverts, dont les énoncés sont souvent faciles à comprendre, même pour les non-mathématiciens. C'est ce qu'exprime la citation suivante, deJürgen Neukirch :
« La théorie des nombres occupe parmi les disciplines mathématiques une position idéalisée analogue à celle qu'occupent les mathématiques elles-mêmes parmi les autres sciences[1]. »
Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé ; pour éviter des confusions, on désignait aussi parfois, jusqu'au début du vingtième siècle, la théorie des nombres par le terme « arithmétique supérieure ». Néanmoins, l'adjectifarithmétique reste assez répandu, en particulier pour désigner des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, arithmétique des courbes et surfaceselliptiques, etc.), où la restriction des questions et des solutions aux entiers, ou à certaines de leurs extensions, joue un rôle déterminant. Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec celui utilisé enlogique pour l'étude dessystèmes formels axiomatisant les entiers, comme dans l'arithmétique de Peano.
La théorie des nombres est divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées.
Le termeélémentaire désigne généralement une méthode qui n'use pas d'analyse complexe. Par exemple, lethéorème des nombres premiers a été prouvé en utilisant de l'analyse complexe en 1896, mais une preuve élémentaire n'a été trouvée qu'en 1949 parErdős etSelberg. Le terme est quelque peu ambigu : par exemple, les démonstrations basées sur desthéorèmes taubériens complexes (par exemple lethéorème de Wiener-Ikehara) sont souvent considérées comme très éclairantes mais non élémentaires. Une preuve élémentaire peut être plus longue et plus difficile pour la plupart des lecteurs qu'une preuve non élémentaire.
La théorie des nombres a la réputation d'être un domaine dont beaucoup de résultats peuvent être compris par le profane. En même temps, les preuves de ces résultats ne sont pas particulièrement accessibles, en partie parce que la gamme d'outils qu'ils utilisent est exceptionnellement large en mathématiques[2].
Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres, bien que simples en apparence, sont toujours ouvertes, et se révèlent très profondes. Par exemple :
Il a été démontré que la théorie deséquations diophantiennes estindécidable, c’est-à-dire qu’on peut construire une équation explicite dont l’existence de solutions ne peut être démontrée à l’aide des axiomes usuels des mathématiques (c’est lethéorème de Matiyasevich).
Lafonction zêta de Riemannζ(s) dans leplan complexe. La couleur d'un points code la valeur deζ(s): les couleurs proches du noir indiquent des valeurs proches de zéro, alors que la teinte code l'argument de la valeur.
par rapport à ses outils, c'est-à-dire l'étude des entiers au moyen d'outils d'analyse réelle et complexe[3] ;
par rapport à ses intérêts, c'est-à-dire l'étude des estimations sur la taille et la densité, par opposition aux identités[4].
Certains sujets généralement considérés comme faisant partie de la théorie analytique des nombres, par exemple lathéorie des cribles, sont définis plutôt par la seconde définition.
Unnombre algébrique est unnombre complexe qui est solution d'uneéquation polynomiale à coefficients dans lecorps. Par exemple, toute solution de est un nombre algébrique. Lathéorie algébrique des nombres étudie les champs de nombres algébriques. Ainsi, les théories analytique et algébrique des nombres peuvent se chevaucher : la première est définie par ses méthodes, la seconde par ses objets d'étude.
Ernst Kummer.
Les fondations de cette branche telle que nous la connaissons, ont été établies à la fin duXIXe siècle, lorsque lesidéaux et lavaluation ont été développés. L'impulsion du développement des idéaux (parErnst Kummer) semble provenir de l'étude des lois de réciprocité supérieure[7], c'est-à-dire des généralisations de laloi de réciprocité quadratique.
Lathéorie d'Iwasawa est un exemple de domaine de recherche actif en théorie algébrique des nombres. Leprogramme de Langlands, l'un des principaux programmes de recherche actuels à grande échelle en mathématiques, est parfois décrit comme une tentative de généraliser la théorie des corps de classes aux extensions non abéliennes.
Le problème central de lagéométrie diophantienne est de déterminer quand uneéquation diophantienne a des solutions, et si oui, combien. L'approche adoptée est de considérer les solutions d'une équation comme un objet géométrique.
Par exemple, une équation à deux variables définit unecourbe dans le plan. Plus généralement, une équation, ou un système d'équations, à deux ou plusieurs variables définit une courbe, unesurface, etc., dans un espace àn dimensions. En géométrie diophantienne, on se demande s'il existe despoints rationnels (points dont toutes les coordonnées sont rationnelles) ou despoints entiers (points dont toutes les coordonnées sont des entiers) sur la courbe ou la surface. S'il y a de tels points, l'étape suivante consiste à demander combien il y en a et comment ils sont répartis. Une question fondamentale dans cette direction est la suivante : existe-t-il un nombre fini ou infini de points rationnels sur une courbe (ou surface) donnée ? Qu'en est-il des points entiers ?
Un exemple serait l'équation de Pythagore ; nous voudrions étudier ses solutions rationnelles, c'est-à-dire ses solutions telles quex ety soient tous deuxrationnels. Cela revient à demander toutes les solutions entières de ; toute solution à cette dernière équation nous donne une solution,. Cela est équivalent au fait de demander tous les points à coordonnées rationnelles sur la courbe décrite par (cette courbe se trouve être lecercle unité).
Deux exemples decourbes elliptiques. Celles-ci peuvent être vues comme une tranche d'untore en quatre dimensions.
La reformulation des questions sur les équations en termes de points sur les courbes s'avère fructueuse. La finitude ou non du nombre de points rationnels ou entiers sur unecourbe algébrique, s'avère dépendre de façon cruciale du genre de la courbe. Ce domaine est étroitement lié auxapproximations diophantiennes : étant donné un nombre, à quel point peut-il être approché par des rationnels ? (On considère qu'un rationnel, aveca etb premiers entre eux, est une bonne approximation de si, où est grand.) Cette question est d'un intérêt particulier si est un nombre algébrique. Si ne peut pas être bien approximé, alors certaines équations n'ont pas de solutions entières ou rationnelles. De plus, plusieurs concepts s'avèrent cruciaux à la fois en géométrie diophantienne et dans l'étude des approximations diophantiennes. Cette question est également d'un intérêt particulier enthéorie des nombres transcendants : si un nombre peut être mieux approché que n'importe quel nombre algébrique, alors c'est unnombre transcendant. C'est par cet argument qu'il a été démontré que et sont transcendants.
La géométrie diophantienne ne doit pas être confondue avec lagéométrie des nombres, qui est une collection de méthodes graphiques pour répondre à certaines questions de la théorie algébrique des nombres. Le terme de géométrie arithmétique est sans doute le plus souvent utilisé lorsque l'on veut mettre l'accent sur les liens avec la géométrie algébrique moderne (comme lethéorème de Faltings) plutôt que sur les techniques des approximations diophantiennes.
En prenant un nombre au hasard entre un et un million, quelle est la probabilité qu'il soit premier ? C'est juste une autre façon de demander combien il y a de nombres premiers entre un et un million. Et combien de diviseurs aura-t-il, en moyenne ?
Une grande partie dela théorie probabiliste des nombres peut être considérée comme une branche de l'étude de variables qui sont presqueindépendantes les unes des autres. Parfois, une approche probabiliste non rigoureuse conduit à un certain nombre d'algorithmesheuristiques et de problèmes ouverts, notamment laconjecture de Cramér.
SoitA un ensemble deN entiers. Considérons l'ensembleA +A = {m +n |m,n ∈A } constitué de toutes les sommes de deux éléments deA.A +A est-il beaucoup plus grand queA? À peine plus grand ?A ressemble-t-il à unesuite arithmétique? Si nous partons d'un ensemble infiniA assez grand, contient-il beaucoup d'éléments dans la progression arithmétique ?
Ces questions sont caractéristiques de la théorie combinatoire des nombres. Son intérêt pour les questions de croissance et de distribution tient en partie au développement de ses liens avec lathéorie ergodique, lathéorie des groupes finis, lathéorie des modèles et d'autres domaines. Les ensembles étudiés n'ont pas besoin d'être des ensembles d'entiers, mais plutôt des sous-ensembles de groupes noncommutatifs, pour lesquels le symbole de multiplication, et non le symbole d'addition, est traditionnellement utilisé; ils peuvent également être des sous-ensembles d'anneaux.
Il y a deux questions principales: « pouvons-nous calculer cela ? » et « pouvons-nous le calculer rapidement ? ». N'importe qui peut tester si un nombre est premier ou, si ce n'est pas le cas, obtenir sadécomposition en facteurs premiers ; le faire rapidement devient plus compliqué. Nous connaissons aujourd'hui des algorithmes rapides pourtester la primalité, mais, malgré beaucoup de travail (à la fois théorique et pratique), aucun algorithme n'est vraiment rapide pour cette tâche.
La difficulté d'un calcul peut être utile : les protocoles modernes dechiffrement de messages (par exemple, leRSA) dépendent de fonctions connues de tous, mais dont les inverses ne sont connus que d'un petit nombre, et les trouver par ses propres moyens prendrait trop de temps. Alors que de nombreux problèmes de calcul en dehors de la théorie des nombres sont connus, la plupart des protocoles de chiffrement actuels sont basés sur la difficulté de quelques problèmes théoriques.
Il s'avère que certaines choses peuvent ne pas êtrecalculables du tout ; cela peut être prouvé dans certains cas. Par exemple, en 1970, il a été prouvé, résolvant ainsi ledixième problème de Hilbert, qu'il n'existe pas demachine de Turing capable de résoudre toutes les équations diophantiennes[8]. Cela signifie que, compte tenu d'un ensemble d'axiomes calculables et énumérables, il existe des équations diophantiennes pour lesquelles il n'existe aucune démonstration, à partir des axiomes, de savoir si l'ensemble des équations a ou non des solutions entières.
La découverte historique d'une nature arithmétique est un fragment de tableau : la tablette d'argile briséePlimpton 322 (Larsa,Mésopotamie, vers 1800 avant notre ère) contient une liste « triplets pythagoriciens », c'est-à-dire des entiers tels que[9]. Ceux-ci sont trop grands pour avoir été obtenus parrecherche exhaustive[10]. La disposition de la tablette suggère[11] qu'elle a été construite au moyen de ce qui équivaut, dans un langage moderne, à l'identité[12]
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Alors que la théorie des nombres babylonienne consiste en ce seul fragment, l'algèbre babylonienne (au sens de l'« algèbre » desétudes secondaires) était exceptionnellement bien développée[13].Pythagore aurait appris les mathématiques auprès des Babyloniens[14]. Beaucoup de sources antérieures[15] déclarent queThalès et Pythagore ont voyagé et étudié enÉgypte.
La découverte de l'irrationalité de√2 est attribuée aux premiers pythagoriciens[16],[17],[18]. Cette découverte semble avoir provoqué la première crise de l'histoire mathématique ; sa preuve et sa diffusion sont parfois attribuées àHippase, qui a été expulsé de la secte pythagoricienne[19]. Cela a forcé à faire une distinction entre les nombres (entiers et rationnels), d'une part, et les longueurs et les proportions (nombres réels), d'autre part[20].
En dehors de quelques fragments, lesmathématiques de la Grèce antique nous sont connues soit par les rapports de non-mathématiciens contemporains ou à travers des œuvres mathématiques de la période hellénistique[23]. Dans le cas de la théorie des nombres, cela inclusPlaton etEuclide. Platon s'intéressait aux mathématiques et distinguait nettement l'arithmétique et le calcul. (Par arithmétique, il entendait la théorisation sur le nombre.) C'est à travers un desdialogues de Platon,Théétète, que nous savons queThéodore a prouvé que sont desnombres irrationnels. Théétète était, comme Platon, un disciple de Théodore; il a travaillé sur la distinction des différents types decommensurabilité, et était donc sans doute un pionnier dans l'étude des systèmes numériques.
Euclide a consacré une partie de sesÉléments aux nombres premiers et à la divisibilité, sujets centraux en théorie des nombres (Livres VII à IX desÉléments d'Euclide). En particulier, il a donné un algorithme pour calculer leplus grand commun diviseur de deux nombres (Éléments, Prop. VII.2) et la première preuve connue de l’existence d'uneinfinité des nombres premiers (Éléments, Prop. IX.20).
Nous ne savons que très peu de choses surDiophante d'Alexandrie ; il a probablement vécu au troisième siècle de notre ère, c'est-à-dire environ cinq cents ans après Euclide. L'Arithmetica est une collection de problèmes où la tâche est de trouver des solutions rationnelles à des équations polynomiales, généralement de la forme ou ou. Ainsi, de nos jours, on parle d'équations diophantiennes quand on parle d'équations polynomiales dont on doit trouver des solutions rationnelles ou entières.
Tandis que Diophante s'intéressait surtout aux solutions rationnelles, il émettait des conjectures sur les entiers naturels, comme le fait quetout entier est la somme de quatre carrés.
Alors que l'astronomie grecque a probablement influencé l'apprentissage indien, au point d'introduire la trigonométrie[24], il semble que lesmathématiques indiennes soient une tradition indigène[25] ; en effet, il n'y a aucune preuve que lesÉléments d'Euclide aient atteint l'Inde avant leXVIIIe siècle[26].
À part un traité sur les carrés en progression arithmétique parFibonacci, aucun progrès en théorie des nombres ne fut effectuée en Europe de l'Ouest auMoyen Âge. Les choses ont commencé à changer en Europe à la fin de la Renaissance, grâce à une étude renouvelée des œuvres de l'Antiquité grecque.
Pierre de Fermat (1601-1665) n'a jamais publié ses écrits ; en particulier, son travail sur la théorie des nombres est contenu presque entièrement dans des lettres aux mathématiciens et dans les notes et marges privées[35]. Il n'a presque écrit aucune démonstration en théorie des nombres. Il n'avait aucun modèle dans le domaine[36]. Il a fait un usage répété duraisonnement par récurrence, en introduisant laméthode de descente infinie. Un des premiers intérêts de Fermat était lesnombres parfaits (qui apparaissent dans lesÉléments IX d'Euclide) et lesnombres amicaux ; ceci l'amène à travailler sur des diviseurs entiers, qui furent dès le début parmi les sujets de la correspondance (année 1636 et suivantes) qui le mettent en contact avec la communauté mathématique de l'époque[37]. Il avait déjà étudié attentivement l'édition de Bachet de Diophante[38] ; après 1643, ses intérêts se sont portés vers les problèmes diophantiens et somme de carrés[39] (aussi traités par Diophante).
Les résultats de Fermat en arithmétique incluent :
Sia etb ne sont pas premiers entre eux, n'est pas divisible par n'importe quel nombre premier congru à −1 modulo 4[41] et tout nombre premier congru à 1 modulo 4 peut être écrit sous la forme[42]. Ces deux énoncé datent de 1640 ; en 1659, Fermat écrivit àHuygens qu'il avait prouvé la dernière déclaration par descente infinie[43]. Fermat et Frenicle ont fait quelques travaux (certains erronés) sur d'autres formes quadratiques[44].
Fermat a posé le problème de la résolution de comme un défi pour les mathématiciens anglais (1657). Le problème a été résolu en quelques mois par Wallis et Brouncker[45]. Fermat a considéré leur solution valide, mais a souligné qu'ils avaient fourni un algorithme sans preuve (comme Jayadeva et Bhaskara, bien que Fermat ne le saurait jamais). Il déclare qu'une preuve peut être trouvée par descente infinie.
Fermat déclare et prouve (par descente infinie) en appendice aux observations sur Diophante (Obs XLV) que l'équation diophantienne n'a pas de solutions non triviales dans les entiers[46]. Fermat a également mentionné à ses correspondants qu'il n'y a pas de solutions non triviales à, et que cela pourrait être prouvé par descente infinie[47]. La première preuve connue est due à Euler (1753, par descente infinie)[48].
La déclaration de Fermat (« dernier théorème de Fermat ») d'avoir montré qu'il n'y a pas de solutions à l'équation pour tout apparaît seulement en marge d'une copie d'Arithmetica de Diophante.
L'intérêt deLeonhard Euler (1707-1783) pour la théorie des nombres fut d'abord stimulé en 1729, quand un de ses amis, l'amateurGoldbach, l'orienta vers une partie du travail de Fermat sur le sujet[49],[50]. Cela a été appelé la « renaissance » de la théorie moderne des nombres[38], après le relatif manque de succès de Fermat pour attirer l'attention de ses contemporains sur le sujet[51]. Le travail d'Euler sur la théorie des nombres comprend les éléments suivants[52] :
Preuves des déclarations de Fermat. Cela inclut lepetit théorème de Fermat (généralisé par Euler aux modules non premiers) ; le fait que si et seulement si ; un travail en vue d'une preuve du théorème des quatre carrés (la première preuve complète est deJoseph-Louis Lagrange (1770), ensuite améliorée par Euler lui-même[53]) ; l'absence de solutions entières non nulles à (impliquant le casn = 4 du dernier théorème de Fermat, le casn = 3 a aussi été traité par Euler).
Premiers pas vers la théorie analytique des nombres. Dans son travail de sommes de quatre carrés, departitions, denombres pentagonaux et de la distribution des nombres premiers, Euler fut le pionnier de l'utilisation de ce qui peut être vu comme une analyse (en particulier, desséries infinies) en théorie des nombres. Il a effectué un travail précoce remarquable (mais non entièrement rigoureux) sur ce que l'on appellera plus tard lafonction zêta de Riemann[56].
Formes quadratiques. À la suite de Fermat, Euler a poursuivi ses recherches sur la question de savoir quels nombres premiers pouvaient être exprimés sous la forme, préfigurant alors laloi de réciprocité quadratique[57],[58],[59].
Équations diophantiennes. Euler a travaillé sur quelques équations diophantiennes[60],[61]. En particulier, il a étudié le travail de Diophante, et a essayé de le systématiser, mais le temps n'était pas encore mûr pour un tel effort — lagéométrie algébrique était encore à ses balbutiements[62]. Il remarqua un lien entre les problèmes diophantiens et lesintégrales elliptiques, dont il avait lui-même initié l'étude[62].
L'émergence de la théorie des nombres comme domaine d'étude[67].
Le développement d'une grande partie des mathématiques modernes nécessaires à la théorie moderne des nombres :analyse complexe,théorie des groupes,théorie de Galois — accompagné d'une plus grande rigueur d'analyse et d'abstraction dans l'algèbre.
La subdivision primitive de la théorie des nombres en ses sous-domaines modernes, en particulier lathéorie analytique etalgébrique des nombres. La théorie algébrique des nombres émerge avec l'étude de la réciprocité et de la cyclotomie, mais celle-ci a véritablement pris son essor avec le développement de l'algèbre abstraite et de la théorie de lavaluation. Un point de départ de la théorie analytique des nombres est lethéorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques (1837)[3],[68], dont la preuve introduisait lesfonctionsL et impliquait uneanalyse asymptotique[69]. La première utilisation des idées analytiques en théorie des nombres revient à Euler (1730)[70],[71] avec l'utilisation de séries et de limites. L'utilisation de l'analyse complexe en théorie des nombres vient plus tard : le travail deBernhard Riemann (1859) sur la fonction zêta est le point de départ[72]. Lethéorème des quatre carrés de Jacobi (1839) a pris un rôle de premier plan en théorie analytique des nombres (formes modulaires)[73].
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« La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. » Gauss
↑Introduction à l'ouvrageCohomology of Number Fields.« Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften. »
↑Granville 2008, section 1:« The main difference is that in algebraic number theory [...] one typically considers questions with answers that are given by exact formulas, whereas in analytic number theory [...] one looks forgood approximations. »
↑Granville 2008, section 3 :« [Riemann] defined what we now call the Riemann zeta function [...] Riemann's deep work gave birth to our subject [...] »
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Texte anglais à traduire : The date of the text has been narrowed down to 220-420 AD (Yan Dunjie) or 280-473 AD (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text).
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Texte anglais à traduire : The initial subjects of Fermat's correspondence included divisors ("aliquot parts") and many subjects outside number theory; see the list in the letter from Fermat to Roberval, 22.IX.1636
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Texte anglais à traduire : All of the following citations from Fermat'sVaria Opera are taken fromWeil 1984, chap. II. The standard Tannery & Henry work includes a revision of Fermat's posthumousVaria Opera Mathematica originally prepared by his son
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Texte anglais à traduire : See the discussion in section 5 ofGoldstein et Schappacher 2007. Early signs of self-consciousness are present already in letters by Fermat: thus his remarks on what number theory is, and how "Diophantus's work [...] does not really belong to [it]" (quoted in
(de)Oskar Becker, « Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente »,Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung B:Studien,vol. 3,,p. 533-553
(en)C. A.Truesdell,« Leonard Euler, Supreme Geometer », dans John Hewlett (trad.),Leonard Euler, Elements of Algebra, New York, Springer-Verlag,,5eéd.(ISBN978-0-387-96014-2,lire en ligne). La version en ligne ne contient pas l'introduction de Truesdell qui, quant à elle, est reproduite (légèrement abrégée) dans :
