Enmathématiques, lathéorie des anneaux porte sur l'étude destructures algébriques qui imitent et étendent lesentiers relatifs, appelées anneaux. Cette étude s'intéresse notamment à la classification de ces structures, leurs représentations, et leurs propriétés. Développée à partir de la fin du19e siècle, notamment sous l'impulsion deDavid Hilbert etEmmy Noether, la théorie des anneaux s'est trouvée être fondamentale pour le développement des mathématiques au20e siècle, au travers de lagéométrie algébrique et de lathéorie des nombres notamment, et continue de jouer un rôle central en mathématiques, mais aussi encryptographie et enphysique.
La théorie des anneaux considère les anneauxen général, alors que lesanneaux commutatifs sont beaucoup mieux compris et ont engendré un grand nombre de résultats spécifiques, aujourd'hui regroupés sous le nom d'algèbre commutative. Le développement plus lent de la théorie générale, englobant également les anneaux non commutatifs, a été surtout motivé par la découverte dans les années 1980 desgéométries non commutatives et desgroupes quantiques.
La théorie des anneaux est née d'une volonté de systématiser des observations sur le comportement de plusieurs constructions algébriques (telles que lesquaternions ou lescorps de nombres). Si ces structures possèdent des parallèles évidents avec les entiers, par exemple qu'on peut en additionner deux éléments, ou en calculer le produit, des différences importantes ont été identifiées : par exemple l'importance de l'ordre dans la multiplication (pour les quaternions, non commutatifs) ou l'échec de la décomposition ennombres premiers dans certains corps de nombres[1].
L'étude des polynômes, motivée par lagéométrie algébrique naissante, pousseRichard Dedekind à introduire un premier concept d'« anneau de nombres » pour capturer les similitudes entre ces structures dans lesquelles on peut ajouter et multiplier. Dedekind emploie le termeOrdnung (« ordre ») qui a aujourd'huiun sens différent. Le mot,Zahlring, qui désigne surtout de manière informelle une collection de nombres, est utilisé parDavid Hilbert qui l'utilise pour désigner ces structures dans un populaire ouvrage sur la théorie des nombres[2].
Suivant la démarche axiomatique en vogue au début du20e siècle, une première définition abstraite d'un anneau est donnée en1914 parAbraham Fraenkel[3],[4], qui sera complétée en 1917 parMasazo Sono (de) pour donner la définition actuelle d'anneau et d'anneau commutatif. Mais c'est indéniablement la mathématicienneEmmy Noether qui a le plus fait avancer la théorie naissante des anneaux abstraits, introduisant dans un article de 1921 la plupart des résultats fondamentaux du domaine et distinguant de nombreuses classes importantes d'anneaux, tels que lesanneaux noethériens et lesanneaux de Dedekind.
Désormais sans lien nécessaire avec les nombres, la théorie des anneaux prend son essor comme théorie indépendante.Lasker etMacauley montrent alors une correspondance entre lesvariétés algébriques, définies par un système d'équations polynomiales, et les anneaux construits à partir desidéaux maximaux tirés de ces équations. Ils montrent qu'il est ainsi possible de résoudre de nombreux problèmes de nature a priori géométrique en étudiant des idéaux d'anneaux, un problème a priori algébrique. Cela a inspiré l'idée moderne que toute la géométrie peut être comprise comme une discussion sur différents types d'idéaux.
Parmi les principaux auteurs ayant contribué au développement de la théorie, on compte en plus de ceux déjà citésWilliam Hamilton,Joseph Wedderburn,Henri Cartan,Emil Artin,Nathan Jacobson, Charles Hopkins,Jacob Levitzki,Alfred Goldie,Shimshon Amitsur, Kenneth Goodearl,Richard Brauer,Paul Cohn,Israel N. Herstein,Kiiti Morita, etØystein Ore.
La définition la plus courante d'un anneau est la suivante : il s'agit d'un triplet tel que
Dans certains contextes, certains auteurs préfèrent considérer des « anneaux sans unité » (multiplicative) appeléspseudo-anneaux[5]. C'était le cas général considéré parEmmy Noether, et de nombreux manuels anciens construisent la théorie à partir des pseudo-anneaux. Dans la plupart des cas, et du point de vuecatégorique, on considère aujourd'hui plus standard de travailler dans unanneau avec unité.
Une définition équivalente est qu'un anneau est unecatégorie-enrichie dotée d'un unique objet.
Enalgèbre commutative, on ajoute l'axiome suivant :
Dans ce cas, on parle d'anneau commutatif.
La notion d'anneau est centrale en mathématiques et se manifeste donc dans de nombreux contextes. Quelques exemples importants sont :
La théorie des anneaux dans le cadre commutatif s'est beaucoup développée au20e siècle, et les nombreux résultats issus de ce développement sont regroupés sous le terme d'algèbre commutative. Outre la relative simplicité du cas commutatif, il s'est avéré particulièrement adapté à l'étude de problèmes géométriques et arithmétiques ; à tel point, en fait, que l'histoire moderne de lagéométrie algébrique, lathéorie des nombres, et de l'algèbre commutative sont indissociables.
Pour la géométrie, c'est l'intuition de Lasker et Macauley, qui a abouti à la notion deschéma avec Grothendieck, qui montre une équivalence entre l'étude desvariétés algébriques et celle des anneaux commutatifs et notamment de leurspectre. La notion demodule sur un anneau, qui généralise en un sens celle d'espace vectoriel, apparaît alors naturellement et s'avère être un moyen efficace d'étudier l'anneau en question ; les modules permettent notamment de construire desreprésentations. Pour la théorie des nombres, c'est toute une classification issue des recherches de Kummer et Dedekind sur la factorisation qui permet d'analyser finement les constructions généralisant les entiers relatifs, sur la base des résultats qui s'y transportent ou non :existence d'une division euclidienne,unicité de la factorisation en éléments premiers,validité du théorème de Bézout, etc.
C'est précisément en observant l'échec de la factorisation unique dans certains corps de nombres, par exemple le fait que avec irréductibles dans, que Kummer a introduit la notion d'idéal. En effet, si la factorisation unique échoue pour les éléments de l'anneau, elle peut encore, en un certain sens, être valide pour les idéaux. Une famille particulièrement intéressante d'anneaux commutatifs possède la propriété que toute chaine d'idéaux croissante est stationnaire ; on les appelle aujourd'huianneaux noethériens en l'honneur d'Emmy Noether.
En mesurant la longueur d'une telle chaîne avant qu'elle ne devienne stationnaire, Krull introduit alors une première notion dedimension permettant de « mesurer » la taille d'un anneau. D'autres mesures ont depuis été introduites, telles que laprofondeur ou ladimension homologique. L'étude des idéaux et modules d'un anneau, mais aussi l'étude de sesrésolutions (en) comme montré par Hilbert par sonthéorème des syzygies, dote l'algèbre commutative de puissants résultats très généraux.
Du point de vue de lathéorie des catégories, il existe unecatégorie des anneaux et même des anneaux commutatifs, notées respectivement et, dont les flèches sont lesmorphismes d'anneaux. La notion d'équivalence de Morita, plus générale que celle d'isomorphisme, permet de rapprocher des anneaux dont lescatégories des modules sontéquivalentes.
Le cas général, dans lequel on ne suppose pas que les anneaux étudiés sont commutatifs, est généralement plus difficile. Un premier obstacle est qu'un idéal dans le cas non commutatif peut être défini à gauche ou à droite, et que ces deux notions ne coïncident pas en général. Une conséquence est que de nombreuses constructions d'algèbre commutative ne fonctionnent plus, ou nécessitent des définitions plus générales et moins maniables, et que de nombreuses propriétés deviennentchirales : les anneaux peuvent par exemple être noethériens ou artiniens à gauche, à droite, ou bilatéralement.
En dotant un anneau (non nul) de tous les inverses des éléments non nuls, on obtient uncorps gauche, qui correspond à la construction d'uncorps si ce n'est que la multiplication n'est pas nécessairement commutative. Parcontraposition duthéorème de Wedderburn, un corps gauche est nécessairement infini. Lethéorème de Frobenius détermine les seuls corps gauches associatifs de dimension finie sur, et lethéorème de Hua (en) montre que certaines applications entre corps gauches sont soit des homomorphismes, soit des antihomomorphismes.
Dans l'espoir d'obtenir une classification générale des corps gauches,Brauer a introduit le groupe desclasses d'équivalence de Morita des algèbres centrales de rang fini : c'est legroupe de Brauer, aujourd'hui réinterprété en termes degroupe de cohomologie.
Ore quant à lui a tenté d'étendre la construction ducorps des fractions au cas non commutatif. Cette question (et la question plus générale de lalocalisation) a poussé à l'introduction desanneaux d'Ore, dont les anneaux commutatifs sont un cas particulier. Pour ces anneaux, on peut construire un équivalent du corps des fractions appelé l'anneau des quotients.
L'étude desmodules est un outil clé de la théorie générale des anneaux. Un module à gauche (resp. à droite) sur un anneau est doté d'une action à gauche (resp. à droite) par les éléments de ; en ce sens la construction des modules généralise celle desespaces vectoriels. En d'autres termes, un module est un « espace vectoriel sur un anneau », au lieu d'être sur un corps. Étant donné un anneau, il a toujours au moins un module : lui-même. L'étude des sous-modules et des idéaux permet, de manière comparable à l'étude dessous-groupes enthéorie des groupes, de caractériser un anneau et d'en étudier les propriétés fines.
Derrière cette observation se cache l'idée que les modules constituent desreprésentations des anneaux. En effet, si on considère un anneau et un-module à gauche, par définition ce dernier est muni d'une action. Pour chaque élément il existe donc une applicationqui est au moins unmorphisme de groupes pour la structure additive de. En fait, l'ensemble des morphismes de groupes de est naturellementdoté d'une structure d'anneau (avec l'addition et la composition usuelles), de sorte que tout élément définit en réalité unmorphisme d'anneaux. En d'autres termes, est unereprésentation de sur.
De manière équivalente, on peut dire qu'un-module à gauche est la donnée d'un groupe commutatif et d'une représentation de sur, ce qui illustre bien la connexion profonde entre les notions.
De nombreuses constructions sur les anneaux se transportent sur leurs modules, au moins dans le cas commutatif :produit tensoriel,localisation,duals,quotients notamment. Cela permet de construire des modules possédant une riche structure. Réciproquement, l'étude desschémas, qui sont (localement) desespaces annelés dotés d'unfaisceau d'anneaux structural, rend fondamentale l'étude des modules engéométrie algébrique. Dans ce contexte, lesmodules plats sont d'une importance considérable[6].
Enfin, la découverte desgroupes quantiques dans les années 1980 a nécessité la recherche dereprésentation de ces groupes, et ravivé l'intérêt dans les anneaux non commutatifs qui se prêtent particulièrement bien à cet exercice.
Un des objectifs initiaux de la théorie des anneaux était de généraliser la notion d'entier et de tirer des leçons générales de telles constructions. La notion d'entier algébrique sur un anneau permet de construire desextensions qui incluent de nouveaux objets : par exemple, partant de et lui adjoignant formellement une solution de l'équation on obtient l'extension quadratique. L'anneau des entiers correspondants est. Cet anneau possède de nombreuses propriétés en commun avec, et on peut étudier dans de tels anneaux des questions portant par exemple sur l'existence de solutions à certaineséquations diophantiennes quadratiques. On peut également adjoindre desracines de l'unité, pour obtenir desentiers cyclotomiques : c'était une approche considérée pour prouver lethéorème de Fermat-Wiles, avant que Kummer ne montre que l'unicité de la factorisation échoue pour. Plus tard, Hensel a introduit lesnombresp-adiques, à partir desquels on construit de manière similaire l'anneau des entiers p-adiques, qui via la méthode deSkolem et leprincipe de Hasse permettent de résoudre de nombreuses équations (ou de prouver l'absence de solution).
Alternativement, on peut commencer par définir de tels anneaux, et construire lecorps des fractions correspondant, voyant alors l'anneau comme l'objet plus fondamental.
Un angle radicalement différent par lequel la théorie des anneaux éclaire la théorie des nombres est issu d'un problème topologique. En 1957,Grothendieck généralise le théorème de Riemann-Roch et introduit pour cela un groupe pour l'étude d'une variété, défini comme un quotient du groupe d'équivalences desfibrés vectoriels sur. Si la motivation est géométrique, la construction est entièrement algébrique, et on peut en fait remplacer les fibrés vectoriels par lesmodules projectifs : on possède ainsi un pour tout anneau (non nécessairement commutatif).
Pour un corps, on a. Si est un anneau commutatif, est relié augroupe de Picard de. Si est l'anneau des entiers d'uncorps de nombres, généralise la construction dugroupe de classe.
Le groupe, introduit parHyman Bass etStephen Schanuel (de), et le groupe dû àJohn Milnor, possèdent également une interprétation en termes de théorie des nombres : est relié au groupe des unités de, et si est un corps alors renseigne sur lathéorie du corps de classe dans, lesymbole de Hilbert, et la possibilité de résoudre des équations quadratiques.
La géométrie non commutative, issue notamment des travaux d'Alain Connes, vise à proposer une approche géométrique des algèbres non commutatives (unealgèbre sur un anneau non commutatif). Ce point de vue est motivé entre autres par le théorème dereprésentation de Gelfand (en) qui montre qu'unealgèbre de Banach commutative peut être représentée comme une algèbre de fonctions (continues), et que cette représentation est unisomorphisme et uneisométrie si l'algèbre en question est uneC*-algèbre.
Si maintenant on part d'une C*-algèbre non commutative, cette construction donne naissance à un espace topologique appelé le spectre (ou dual) de la C*-algèbre, de manière similaire à la façon dont lespectre d'un anneau forme un espace topologique avec latopologie de Zariski (unschéma)[7]. On est donc amené à étendre et développer l'équivalence, classique entre anneaux commutatifs et géométries, aux cas non commutatifs.
La difficulté vient notamment de ce que, dans le cas général, un anneau peut ne posséder aucun idéal bilatère propre. C'est par exemple le cas de l'algèbre de Weyl, construite comme algèbre de polynômes différentiels sur unespace affine. Bien qu'ayant des idéaux à gauche (resp. à droite), l'algèbre de Weyl est unanneau simple. Impossible donc de définir directement lespectre d'un tel anneau de la manière habituelle. Les techniques dedescente (en) sont souvent inapplicables également, car on ne peut pas toujourslocaliser un anneau non commutatif (et même lorsqu'on peut, d'autres difficultés surviennent).
Devant l'échec des méthodes directes, la plupart des approches suivent la méthode indirecte de lathéorie des topos : on considère lacatégorie des faisceaux sur un espace, plutôt que l'espace lui-même, comme l'objet fondamental. Si est un anneau (généralement une C*-algèbre) et est lacatégorie des modules (à droite) sur, et si l'on notela sous-catégorie deconstituée desmodules de longueur finie, alors le quotient joue le rôle duspectre de l'anneau considéré. Dans beaucoup de cas cette construction fonctionne bien, par exemple en coïncidant avec le cas commutatif pour les courbes suffisamment lisses.
