Enphysique théorique, lathéorie de la gravitation de Brans et Dicke (parfois appelé lathéorie de Jordan-Brans-Dicke outhéorie de Dicke-Brans-Jordan^[1], en abrégéthéorie DBJ) est un cadre théorique pour expliquer lagravitation. Il est un concurrent de la théorie de larelativité générale d'Einstein. C'est un exemple dethéorie tenseur-scalaire, une théorie dans laquelle l'interaction gravitationnelle est transmise par unchamp scalaire ainsi que lechamp tensoriel de la relativité générale. Laconstante gravitationnelleG n'est pas présumée constante, mais à l'inverse 1/G est remplacé par un champ scalaire${\displaystyle \varphi }$ qui peut varier dans l'espace et le temps.

La théorie a été développée en 1961 parRobert H. Dicke etCarl H. Brans^[2] en s'appuyant sur, entre autres, le travail de 1959 dePascual Jordan. À l'heure actuelle, il est généralement considéré que tant la théorie de Brans et Dicke que la théorie de la relativité générale sont en accord avec les observations. La théorie de Brans et Dicke représente un point de vue minoritaire dans la physique.

La théorie de Brans et Dicke et la théorie de larelativité générale sont toutes deux des exemples d'une classe de théories classiques des champsrelativistes de lagravitation, appeléethéories métriques. Dans ces théories,l'espace-temps est équipé d'untenseur métrique,${\displaystyle g_{ab}}$, et lechamp gravitationnel est représenté (en tout ou en partie) par letenseur de courbure de Riemann${\displaystyle R_{abcd}}$, qui est déterminé par le tenseur métrique.

Toutes les théories métriques satisfont leprincipe d'équivalence d'Einstein, qui en langage géométrique moderne énonce que, dans une très petite région (trop petite pour exposer des effets decourbure mesurables), toutes les lois de la physique connues enrelativité restreinte sont valables dans desréférentiels locaux de Lorentz. Cela implique à son tour que les théories métriques induisent toutes l'effet dedécalage vers le rouge gravitationnel.

Comme en relativité générale, on considère que la source du champ gravitationnel est letenseur énergie-impulsion ou tenseur de matière. Cependant, la manière dont la présence immédiate demasse-énergie dans une région affecte le champ gravitationnel dans cette région diffère de la relativité générale. Il en est de même pour la façon dont la courbure de l'espace-temps affecte lemouvement de la matière. Dans la théorie de Brans et Dicke, en plus de la métrique, qui est unchamp tensoriel de rang deux, il y a unchamp scalaire,${\displaystyle \varphi }$, qui a l'effet physique de modifier laconstante gravitationnelle effective d'un endroit à l'autre. (Cet aspect était en fait undesideratum clé de Dicke et Brans ; voir l'article de Brans cité ci-dessous, qui présente les origines de la théorie.)

Les équations de champ de la théorie de Brans et Dicke contiennent un paramètre,${\displaystyle \omega }$, appelé laconstante de couplage de Brans et Dicke. C'est une vraieconstantesans dimension qui doit être choisie une fois pour toutes. Cependant, elle peut être choisie pour s'adapter aux observations. Ces paramètres sont souvent appelésparamètres réglables. En outre, la valeur ambiante actuelle de la constante gravitationnelle effective doit être choisie en tant quecondition aux limites. La relativité générale ne contient aucun paramètre sans dimension que ce soit et donc elle est plus facile àréfuter que la théorie de Brans et Dicke. Les théories avec des paramètres réglables sont parfois désapprouvées sur le principe que, entre deux théories qui sont en accord avec les observations, la plusparcimonieuse est préférable. Néanmoins, il semble qu'ils soient un élément nécessaire de certaines théories, comme l'angle de mélange faible dumodèle standard.

La théorie de Brans et Dicke est « moins stricte » que la relativité générale dans un autre sens : elle admet plus de solutions. En particulier, les solutions exactes du vide à l'équation de champ d'Einstein de la relativité générale, augmentée du champ scalaire trivial${\displaystyle \varphi =1}$, deviennent des solutions exactes du vide de la théorie de Brans et Dicke, mais certains espaces-temps quine sont pas des solutions du vide de l'équation de champ d'Einstein peuvent devenir, avec le choix approprié du champ scalaire, des solutions du vide de la théorie de Brans et Dicke. De même, une classe importante d'espaces-temps, lespp-wave metrics, sont également desnull dust solutions exactes à la fois de la relativité générale et de la théorie de Brans et Dicke, mais ici aussi, la théorie de Brans et Dicke permet dessolutions d'onde supplémentaires ayant des géométries qui sont incompatibles avec la relativité générale.

Comme la relativité générale, la théorie de Brans et Dicke prédit ladéflexion de la lumière et laprécession dupérihélie des planètes en orbite autour du Soleil. Cependant, les formules précises qui régissent ces effets, selon la théorie de Brans et Dicke, dépendent de la valeur de la constante de couplage${\displaystyle \omega }$. Cela signifie qu'il est possible de définir une borne inférieure observationnelle sur la valeur possible de${\displaystyle \omega }$ à partir d'observations dusystème solaire et d'autres systèmes gravitationnels. La valeur de${\displaystyle \omega }$ cohérente avec l'expérience a augmenté avec le temps. En 1973,${\displaystyle \omega >5}$ était compatible avec les données connues. En 1981,${\displaystyle \omega >30}$ était compatible avec les données connues. En 2003, des éléments de preuve provenant d'expériences de lasonde Cassini–Huygens montrent que la valeur de${\displaystyle \omega }$ doit dépasser 40 000.

Il est également souvent enseigné^{[Par qui ?]} que la relativité générale est obtenue à partir de la théorie de Brans et Dicke dans la limite${\displaystyle \omega \to \mathrm{\infty }}$. Cependant, Faraoni^[3] affirme que cela tombe lorsque la trace du moment énergie-impulsion devient nulle. Un tel exemple est la solution dutrou de ver deCampanelli etLousto^[4]. Certains^[Qui ?] ont fait valoir que seule la relativité générale satisfait leprincipe d'équivalence fort.

Les équations de champ de la théorie de Brans et Dicke sont

${\displaystyle ◻\varphi =\frac{8\pi }{3+2\omega }T}$

${\displaystyle G_{ab}=\frac{8\pi }{\varphi }{T}_{ab}+\frac{\omega }{{\varphi }^2}({\mathrm{\partial }}_a\varphi {\mathrm{\partial }}_b\varphi -\frac{1}{2}{g}_{ab}{\mathrm{\partial }}_c\varphi {\mathrm{\partial }}^c\varphi )+\frac{1}{\varphi }({\mathrm{\nabla }}_a{\mathrm{\nabla }}_b\varphi -g_{ab}◻\varphi )}$,

où

${\displaystyle \omega }$ est laconstante de couplagesans dimension de Dicke ;

${\displaystyle g_{ab}}$ est letenseur métrique ;

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}R{g}_{ab}}$ est letenseur d'Einstein, une sorte decourbure moyenne ;

${\displaystyle R_{ab}={R^m}_{amb}}$ est letenseur de Ricci, une sorte detrace du tenseur de courbure ;

${\displaystyle R={R^m}_m}$ est lescalaire de Ricci, la trace du tenseur de Ricci ;

${\displaystyle T_{ab}}$ est letenseur énergie-impulsion ;

${\displaystyle T=T_a^a}$ est la trace du tenseur énergie-impulsion ;

${\displaystyle \varphi }$ est le champ scalaire ; et

${\displaystyle ◻}$ est l'opérateur de Laplace-Beltrami oucovariant wave operator,${\displaystyle ◻\varphi ={\varphi }_{;a}^{;a}}$.

La première équation indique que la trace du tenseur énergie-impulsion agit en tant que source pour le champ scalaire${\displaystyle \varphi }$. Étant donné que leschamps électromagnétiques ne contribuent que pour un terme sans trace dans le tenseur énergie-impulsion, cela implique que, dans une région de l'espace-temps ne contenant qu'un champ électromagnétique (et le champ de gravitation), la partie droite de l'équation s'annule et${\displaystyle \varphi }$ obéit à l'équation d'onde (de l'espace-temps courbe). Par conséquent, les changements dans${\displaystyle \varphi }$ se propagent à travers les régionsélectrovides ; en ce sens, on dit que${\displaystyle \varphi }$ est unchamp à longue portée.

La deuxième équation décrit comment le tenseur énergie-impulsion et le champ scalaire${\displaystyle \varphi }$ influent ensemble sur la courbure de l'espace-temps. Le côté gauche, letenseur d'Einstein, peut être considéré comme une sorte de courbure moyenne. C'est pour une raison de mathématiques pures que, dans n'importe quelle théorie métrique, le tenseur de Riemann peut toujours être écrit comme la somme de lacourbure de Weyl (outenseur de courbure conforme) et d'un morceau construit à partir du tenseur d'Einstein.

En comparaison, l'équation de champ de la relativité générale est simplement

${\displaystyle G_{ab}=8\pi G{T}_{ab}.}$

Cela signifie que, dans la relativité générale, la courbure d'Einstein à unévénement est entièrement déterminée par le tenseur énergie-impulsion à cet événement ; l'autre morceau, la courbure de Weyl, est la partie du champ gravitationnel qui peut se propager comme uneonde gravitationnelle dans une région vide. Mais dans la théorie de Brans et Dicke, le tenseur d'Einstein est déterminé en partie par la présence immédiate de masse-énergie et d'impulsion et en partie par le champ scalaire à longue portée${\displaystyle \varphi }$.

Leséquations de champ du vide des deux théories sont obtenues lorsque le tenseur énergie-impulsion est nul. Cela modélise les situations dans lesquelles aucun champ non gravitationnel n'est présent.

Lelagrangien suivant contient la description complète de la théorie de Brans et Dicke :

${\displaystyle S=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(\frac{\varphi R-\omega \frac{{\mathrm{\partial }}_a\varphi {\mathrm{\partial }}^a\varphi }{\varphi }}{16\pi }+{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}\right)}$

où${\displaystyle g}$ est le déterminant de la métrique,${\displaystyle \sqrt{-g}{d}^{4}x}$ est laforme volume quadridimensionnelle et${\displaystyle {\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}}$ est leterme de matière oulagrangien de matière.

La terme de matière inclut la contribution de la matière ordinaire (par exemple, la matière gazeuse) et des champs électromagnétiques. Dans une région vide, le terme de matière s'annule de la même manière ; le terme restant est leterme gravitationnel. Pour obtenir les équations de champ du vide, il faut faire varier le terme gravitationnel dans le lagrangien par rapport à la métrique${\displaystyle g_{ab}}$ ; cela donne la deuxième équation ci-dessus. Lorsque la variation est par rapport au champ scalaire${\displaystyle \varphi }$, on obtient la première équation de champ.

Notez que, contrairement aux équations de champ de la relativité générale, le terme ne disparaît pas, puisque le résultat n'est pas une dérivée totale. On peut démontrer que

${\displaystyle \frac{\delta (\varphi R)}{\delta g^{ab}}=\varphi R_{ab}+g_{ab}{g}^{cd}{\varphi }_{;c;d}-{\varphi }_{;a;b}}$

Pour prouver ce résultat, utilisez

${\displaystyle \delta (\varphi R)=R\delta \varphi +\varphi R_{mn}\delta g^{mn}+\varphi {\mathrm{\nabla }}_s(g^{mn}\delta {\mathrm{\Gamma }}_{nm}^s-g^{ms}\delta {\mathrm{\Gamma }}_{rm}^r)}$

En évaluant les${\displaystyle \delta \mathrm{\Gamma }}$ en coordonnées riemanniennes normales, six termes individuels disparaissent. Six termes supplémentaires se combinent lorsqu'ils sont manipulés en utilisant lethéorème de Stokes pour fournir le${\displaystyle (g_{ab}{g}^{cd}{\varphi }_{;c;d}-{\varphi }_{;a;b})\delta g^{ab}}$ voulu.

En comparaison, le lagrangien qui définit la relativité générale est

${\displaystyle S=\int d^{4}x\sqrt{-g}\left(\frac{R}{16\pi G}+{\mathcal{L}}_{\mathrm{M}}\right)}$

Faire varier le terme gravitationnel par rapport à${\displaystyle g_{ab}}$ donne l'équation de champ d'Einstein du vide.

Dans les deux théories, l'ensemble des équations de champ peut être obtenu par des variations du lagrangien complet.

• Peter G.Bergmann, « Comments on the Scalar-Tensor Theory »,Int. J. Theor. Phys.,vol. 1,‎mai 1968,p. 25–36(ISSN 0020-7748,DOI 10.1007/BF00668828,Bibcode 1968IJTP....1...25B)
• Robert V.Wagoner, « Scalar-Tensor Theory and Gravitational Waves »,Phys. Rev. D,American Physical Society,vol. 1,n^o 12,‎juin 1970,p. 3209–3216(DOI 10.1103/PhysRevD.1.3209,Bibcode 1970PhRvD...1.3209W)
• Charles W.Misner, Kip S.Thorne et John ArchibaldWheeler,Gravitation, San Francisco,W. H. Freeman,1973(ISBN 0-7167-0344-0) VoirBoîte De 39.1.
• (en) Clifford M.Will,Was Einstein Right? : Putting General Relativity to the Test, NY,Basic Books,1986, 274 p.(ISBN 0-19-282203-9), « Chapter 8: The Rise and Fall of the Brans–Dicke Theory »
• (en) ValerioFaraoni,Cosmology in Scalar-Tensor Gravity, Dordrecht, The Netherlands,Kluwer Academic,2004, 280 p.(ISBN 1-4020-1988-2,lire en ligne)

• Théories concurrentes de la relativité générale (en)
• Relativité générale
• Principe de Mach

• Scholarpedia article sur le sujet par Carl H. Brans
• (en) Carl H. Brans, « The roots of scalar-tensor theory: an approximate history », .
• Le Brans-Dicke théorie

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