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Test de Wald

Type	Test statistique, concept mathématique(en)
Nommé en référence à	Abraham Wald

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Letest de Wald est untest paramétrique économétrique dont l'appellation vient du mathématicien américain d'origine hongroiseAbraham Wald (31 octobre 1902-13 décembre 1950) avec une grande variété d'utilisations. Chaque fois que nous avons une relation au sein des ou entre les éléments de données qui peuvent être exprimées comme unmodèle statistique avec des paramètres à estimer, et tout cela à partir d'un échantillon, le test de Wald peut être utilisé pour « tester la vraie valeur du paramètre » basé sur l'estimation de l'échantillon.

Dans le cadre du test de Wald, l'estimation${\displaystyle \hat{\theta }}$ (l'argument ou lafonction de vraisemblance est maximal) est comparée à une valeur hypothétique${\displaystyle {\theta }_0}$. En particulier, la différence au carré${\displaystyle \hat{\theta }-{\theta }_0}$ est pondérée par la courbure de la fonction de log-vraisemblance.

Si l'hypothèse n'implique qu'une seule restriction de paramètre, alors la statistique de Wald prend la forme suivante :

${\displaystyle W=\frac{{(\hat{\theta }-{\theta }_0)}^2}{\mathrm{var}(\hat{\theta })}}$

qui, sous l'hypothèse nulle, suit unedistribution χ² asymptotique avec un degré de liberté.

Le test de Wald peut être utilisé pour tester une seule hypothèse sur plusieurs paramètres, ainsi que pour tester conjointement plusieurs hypothèses sur des paramètres uniques/multiples.Soit${\displaystyle {\hat{\theta }}_n}$ notre estimateur d'échantillon des paramètresP (c'est-à-dire,${\displaystyle {\hat{\theta }}_n}$ est un${\displaystyle P\times 1}$ vecteur), qui est supposé suivre asymptotiquement unedistribution normale avecmatrice de covariance V,${\displaystyle \sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-\theta )\stackrel{\mathcal{D}}{\to }N(0,V)}$.Le test des hypothèsesQ sur les paramètresP s'exprime par une matrice${\displaystyle Q\times P}$ ;R :

${\displaystyle H_0:R\theta =r}$

${\displaystyle H_1:R\theta \ne r}$

Lastatistique de test est :

${\displaystyle (R{\hat{\theta }}_n-r{)}^{\prime }[R({\hat{V}}_n/n)R^{\prime }{]}^{-1}(R{\hat{\theta }}_n-r)\stackrel{\mathcal{D}}{\to }{\chi }_Q^2}$

où${\displaystyle {\hat{V}}_n}$ est un estimateur de la matrice de covariance.

Supposons que${\displaystyle \sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-\theta )\stackrel{\mathcal{D}}{\to }N(0,V)}$. Alors, par lethéorème de Slutsky et par les propriétés de la distribution normale, en multipliant par R on a la distribution :

${\displaystyle R\sqrt{n}({\hat{\theta }}_n-\theta )=\sqrt{n}(R{\hat{\theta }}_n-r)\stackrel{\mathcal{D}}{\to }N(0,RV{R}^{\prime })}$

Rappelons qu'uneforme quadratique de la loi normale possède unedistribution χ² :

${\displaystyle \sqrt{n}(R{\hat{\theta }}_n-r{)}^{\prime }[RV{R}^{\prime }{]}^{-1}\sqrt{n}(R{\hat{\theta }}_n-r)\stackrel{\mathcal{D}}{\to }{\chi }_Q^2}$

En réarrangeantn on obtient finalement :

${\displaystyle (R{\hat{\theta }}_n-r{)}^{\prime }[R(V/n)R^{\prime }{]}^{-1}(R{\hat{\theta }}_n-r)\stackrel{\mathcal{D}}{\to }{\chi }_Q^2}$

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