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Engéométrie riemannienne, letenseur de courbure de Riemann-Christoffel^[1],[2] est la façon la plus courante d'exprimer lacourbure desvariétés riemanniennes, ou plus généralement d'unevariété disposant d'uneconnexion affine, avec ou sanstorsion.

Soit deuxgéodésiques d'un espacecourbe,parallèles au voisinage d'un pointP. Le parallélisme ne sera pas nécessairement conservé en d'autres points de l'espace. Letenseur de courbure de Riemann exprime l'évolution de ces géodésiques l'une par rapport à l'autre. Plus l'espace est courbe, plus les géodésiques vont se rapprocher ou s'éloignerrapidement.

Le tenseur de courbure est formulé à l'aide d'uneconnexion de Levi-Civita (ou plus généralement d'une connexion affine)${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ (oudérivée covariante) par la formule suivante :

Pour tous champs de vecteursu,v etw de la variété :

où${\displaystyle [,]}$ est lecrochet de Lie.

Ici${\displaystyle R(u,v)}$ est une transformation linéaire selon chacun de ses arguments sur l'espace tangent de la variété.

N.B. : certains auteurs définissent le tenseur de courbure comme du signe opposé.

Si${\displaystyle u=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}_i}}$ et${\displaystyle v=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}_j}}$ sont deschamps de vecteurs de coordonnées, alors${\displaystyle [u,v]=0}$ et on peut ré-écrire la formule :

${\displaystyle R(u,v)w={\mathrm{\nabla }}_u{\mathrm{\nabla }}_{v}w-{\mathrm{\nabla }}_v{\mathrm{\nabla }}_{u}w}$

Le tenseur de courbure mesure alors lanon-commutativité de la dérivée covariante.

La transformation linéaire${\displaystyle w\mapsto R(u,v)w}$ est aussi appelée latransformation de courbure ouendomorphisme.

En termes de coordonnées, cette équation peut être ré-écrite en utilisant lessymboles de Christoffel :

${\displaystyle {R^{\sigma }}_{\mu \nu \kappa }=\frac{\mathrm{\partial }{{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }}_{\mu \kappa }}{\mathrm{\partial }{x}^{\nu }}-\frac{\mathrm{\partial }{{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }}_{\mu \nu }}{\mathrm{\partial }{x}^{\kappa }}+{{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }}_{\nu \lambda }{{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }}_{\mu \kappa }-{{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }}_{\kappa \lambda }{{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }}_{\mu \nu }}$

Le tenseur de courbure de Riemann a les symétries suivantes :

${\displaystyle R(u,v)=-R(v,u{)}_{}^{}}$

${\displaystyle ⟨R(u,v)w,z⟩=-⟨R(u,v)z,w{⟩}_{}^{}}$

${\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}$

La dernière identité a été découverte parRicci, mais est souvent nommépremière identité de Bianchi ouidentité algébrique de Bianchi.

Ces trois identités forment une liste complète des symétries de tenseur de courbure, c'est-à-dire qu'étant donné un tenseur respectant les identités ci-dessus, on peut trouver une variété de Riemann disposant d'un tel tenseur de courbure en un point. De simples calculsmathématiques montrent qu'un tel tenseur a${\displaystyle n^2(n^2-1)/12}$ composants indépendants où${\displaystyle n}$ est la dimension de la surface^[3],[4],[5].

Il est possible de déduire une autre identité utile à partir de ces trois équations :

${\displaystyle ⟨R(u,v)w,z⟩=⟨R(w,z)u,v{⟩}_{}^{}}$

L'identité de Bianchi (souvent appeléeseconde identité de Bianchi ouidentité différentielle de Bianchi) implique les dérivées covariantes :

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{u}R(v,w)+{\mathrm{\nabla }}_{v}R(w,u)+{\mathrm{\nabla }}_{w}R(u,v)=0}$

Étant donné un référentiel donné en un point d'une variété, les identités précédentes peuvent être écrites en termes des composants du tenseur de Riemann comme :

${\displaystyle R_{abcd}^{}=-R_{bacd}=-R_{abdc}}$

${\displaystyle R_{abcd}^{}=R_{cdab}}$

${\displaystyle R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0}$ également écrit${\displaystyle R_{a[bcd]}^{}=0}$ (première identité de Bianchi)

${\displaystyle R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0}$ également écrit${\displaystyle R_{ab[cd;e]}^{}=0}$ (seconde identité de Bianchi)

où la notation entre crochets représente ici l'antisymétrisation du tenseur selon les indices, et le point-virgule représente ladérivée covariante.

Gauss a trouvé une formule de la courbureK d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann dit « entièrement covariant »${\displaystyle R_{xyxy}}$ qui s'écrit alors, en deux dimensions^[6],[7]

${\displaystyle R_{xyxy}=-\frac{1}{2}\left(\frac{{\mathrm{\partial }}^2{g}_{xx}}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial }}^2{g}_{yy}}{\mathrm{\partial }{x}^2}\right)=K}$

où${\displaystyle g_{xx}}$ et${\displaystyle g_{yy}}$ sont les coefficients de la métrique en coordonnées de Riemann, c'est-à-dire descoordonnées cartésiennes locales.

En coordonnées de Gauss, la formule étant compliquée, nous nous limiterons à une métrique diagonale^[8] :

${\displaystyle R_{uvuv}=-\frac{g_{uu,vv}+g_{vv,uu}}{2}+\frac{g_{uu,v}^2}{4g_{uu}}+\frac{g_{vv,u}^2}{4g_{vv}}+\frac{g_{uu,u}{g}_{vv,u}}{4g_{uu}}+\frac{g_{vv,v}{g}_{uu,v}}{4g_{vv}}}$

où, pour simplifier l'écriture, la virgule indique unedérivation partielle.${\displaystyle g_{uu}}$ et${\displaystyle g_{vv}}$ sont les coefficients de la métrique en coordonnées de Gaussu etv (le « mollusque » d'Einstein). Les u et v peuvent être remplacés par n'importe quelsystème de coordonnées, la formule restera valable, par exemple encoordonnées sphériques où u et v sont remplacés par${\displaystyle \theta }$ et${\displaystyle \varphi }$. Il peut être pratique d'utiliser la forme en déterminant de la formule précédente, dite deBrioschi :

Pour une métrique non diagonale, lacourbure de Gauss est :

où${\displaystyle E=g_{uu}}$,${\displaystyle G=g_{vv}}$ et${\displaystyle F=g_{uv}}$. Les indices correspondent à des dérivations partielles, sans la virgule utilisée précédemment.

Une surface est plongée dans notre espace à trois dimensions. Lorsqu'on ajoute deux dimensions, on obtient unehypersurface à quatre dimensions (u,v,w,t) plongée dans un espace à cinq dimensions. Pour obtenir le tenseur de Riemann de cet espace, on rajoute deux termes supplémentaires dans l'expression du tenseur de Riemann d'une surface qui devient^[8]

${\displaystyle R_{uvuv}=-\frac{g_{uu,vv}+g_{vv,uu}}{2}+\frac{g_{uu,v}^2}{4g_{uu}}+\frac{g_{vv,u}^2}{4g_{vv}}+\frac{g_{uu,u}{g}_{vv,u}}{4g_{uu}}+\frac{g_{vv,v}{g}_{uu,v}}{4g_{vv}}-\frac{g_{uu,w}{g}_{vv,w}}{4g_{ww}}-\frac{g_{uu,t}{g}_{vv,t}}{4g_{tt}}}$

Le tenseur de Riemann d'une métrique diagonale a six composantes non nulles${\displaystyle R_{uvuv}}$,${\displaystyle R_{uwuw}}$,${\displaystyle R_{vwvw}}$,pour l'espace à trois dimensions plus${\displaystyle R_{utut}}$,${\displaystyle R_{vtvt}}$,${\displaystyle R_{wtwt}}$, pour l'extension à quatre dimensions.

• [Hakim 2001]R.Hakim,Gravitation relativiste, Les Ulis et Paris,EDPScie. etCNRS,coll. « Savoirs actuels /astrophys. »,juill. 2001,2^e éd. (1^re éd.janv. 1994), 1 vol.,XV-310,ill., 15,8 × 23 cm(ISBN 2-86883-370-5 et2-271-05198-3,EAN 9782868833709,OCLC 50236119,BNF 39918721,SUDOC 060559675,présentation en ligne,lire en ligne).
• [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009]M. P.Hobson,G. P.Efstathiou etA. N.Lasenby (trad. de l'angl. amér. parL. Villain,rév. parR. Taillet),Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles,De BoeckUniv., horscoll.,sér. phys.,déc. 2009,1^re éd., 1 vol.,XX-554,ill., 21,6 × 27,5 cm(ISBN 978-2-8041-0126-8,EAN 9782804101268,OCLC 690272413,BNF 42142174,SUDOC 140535705,présentation en ligne,lire en ligne).
• [Penrose 2007]R.Penrose (trad. de l'angl. parC. Laroche),À la découverte des lois de l'Univers : la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique [« The road to reality : a complete guide to the laws of the Universe »], Paris,O. Jacob,coll. « Scie. »,août 2007,1^re éd., 1 vol.,XXII-1061,ill. etfig., 15,5 × 24 cm(ISBN 978-2-7381-1840-0,EAN 9782738118400,OCLC 209307388,BNF 41131526,SUDOC 118177311,présentation en ligne,lire en ligne).

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