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Dans unespace euclidien orienté de dimension${\displaystyle N}$, letenseur de Levi-Civita – outenseur dualiseur – est letenseur dont les coordonnées dans unebase orthonormale directe sont données par lesymbole de Levi-Civita d'ordre N. En effet, le symbole de Levi-Civita d'ordre N${\displaystyle {ϵ}_{i_1\dots i_N}}$ ou${\displaystyle {ϵ}^{i_1\dots i_N}}$ (aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique) n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par${\displaystyle 2^N}$ lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

Dans un espace euclidienorienté il existe uneforme volume canonique, notée ici${\displaystyle \eta }$, définie comme l'unique forme volume telle que${\displaystyle \eta (B)=1}$ pour une (et donc pour toute) base orthonormale directe${\displaystyle B}$.

Le tenseur${\displaystyle \eta }$ est aussi appelétenseur de Levi-Civita ou encoretenseur dualiseur.

Dans une base${\displaystyle B}$ quelconque, on note${\displaystyle (g_{ij})}$ la matrice dutenseur métrique et${\displaystyle (g^{ij})}$ sa matrice inverse.Ledéterminant${\displaystyle g={det}_B(g_{ij})}$ peut s'exprimer à l'aide du symbole de Levi-Civita.

${\displaystyle g_{i_1{j}_1}\dots g_{i_N{j}_N}{ϵ}^{j_1\dots j_N}=g{ϵ}_{i_1\dots i_N}}$

Les coordonnées covariantes et contravariantes du tenseur de Levi-Civita vérifient les relations

${\displaystyle {\eta }_{i_1\dots i_N}=g_{i_1{j}_1}\dots g_{i_N{j}_N}{\eta }^{j_1\dots j_N}}$

et

${\displaystyle {\eta }^{i_1\dots i_N}=g^{i_1{j}_1}\dots g^{i_N{j}_N}{\eta }_{j_1\dots j_N}}$

On en déduit, dans une base directe quelconque, les relations

${\displaystyle {\eta }_{i_1\dots i_N}=\sqrt{g}{ϵ}_{i_1\dots i_N}}$

et

${\displaystyle {\eta }^{i_1\dots i_N}=\frac{1}{\sqrt{g}}{ϵ}^{i_1\dots i_N}}$

Puisque${\displaystyle g=1}$ dans une base orthonormale, on retrouve ce qui est dit en introduction.

Dans une base rétrograde (ou indirecte), l'expression des coordonnées à l'aide du symbole de Levi-Civita est légèrement modifiée : il faut remplacer${\displaystyle \sqrt{g}}$ par${\displaystyle -\sqrt{g}}$. En introduisant le symbole${\displaystyle (-1{)}^B=\eta (B)/\left|\eta (B)\right|}$ égal à 1 si la base est directe et -1 si la base est indirecte on a dans le cas général

${\displaystyle {\eta }_{i_1\dots i_N}=(-1{)}^B\sqrt{g}{ϵ}_{i_1\dots i_N}}$

et

${\displaystyle {\eta }^{i_1\dots i_N}=(-1{)}^B\frac{1}{\sqrt{g}}{ϵ}^{i_1\dots i_N}}$

Dans unespace pseudo-euclidien le déterminant du tenseur métrique n'est pas nécessairement positif. Par exemple dans le cas de l'espace de Minkowski (l'espace-temps quadridimensionnel de larelativité restreinte), le déterminant du tenseur métrique est négatif.

Les relations précédentes peuvent s'écrire, dans une base quelconque, sous une forme valable quel que soit le signe de${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\eta }_{i_1\dots i_N}=(-1{)}^B\sqrt{|g|}{ϵ}_{i_1\dots i_N}}$

et

${\displaystyle {\eta }^{i_1\dots i_N}=(-1{)}^B\frac{\sqrt{|g|}}{g}{ϵ}^{i_1\dots i_N}}$

Par la suite on utilisera le symbole${\displaystyle \ast }$ à la place de la lettre grecque${\displaystyle \eta }$.

Les formules suivantes découlent directement des formules obtenues avec lesymbole de Levi-Civita d'ordre N.Le symbole${\displaystyle {\delta }_j^i}$ est lesymbole de Kronecker, représentant letenseur unité. On se place dans le cas euclidien.

${\displaystyle {\ast }^{k{i}_2\dots i_N}{\ast }_{l{i}_2\dots i_N}=\left(N-1\right)!\times {\delta }_l^k}$

En effet, sik est différent del il existe au moins deux indices égaux, soit dans le coefficient du premier tenseur, soit dans celui du second. Le coefficient correspondant est nul, ainsi que le produit. Sik est égal àl, les facteurs respectifs${\displaystyle (-1{)}^B\sqrt{g}}$ et${\displaystyle (-1{)}^B\frac{1}{\sqrt{g}}}$ apparaissant dans chacun des deux tenseurs se simplifient. Les symboles de Levi-Civita${\displaystyle {ϵ}^{k{i}_2\dots i_N}}$ et${\displaystyle {ϵ}_{l{i}_2\dots i_N}}$ prennent la même valeur 1 ou -1 dans les deux coefficients et leur produit vaut 1. Enfin, pour chaque valeur commune dek =l, il y a${\displaystyle (N-1)!}$ choix possibles des indices${\displaystyle i_2,\dots ,i_N}$.

${\displaystyle {\ast }^{km{i}_3\dots i_N}{\ast }_{ln{i}_3\dots i_N}=\left(N-2\right)!\times \left({\delta }_l^k{\delta }_n^m-{\delta }_n^k{\delta }_l^m\right)}$

La démonstration est comparable au cas précédent, les seuls cas où l'on obtient un résultat non nul étant celui oùk =l etm=n, pour lequel les symboles de Levi-Civita apparaissant dans les deux tenseurs sont de même signe, et le cas oùk =n etl =m, pour lequel les symboles sont de signes contraires, d'où le signe - devant${\displaystyle {\delta }_n^k{\delta }_l^m}$. Pour une paire {k,l} d'éléments distincts donnés, il existe${\displaystyle (N-2)!}$ choix possibles des indices${\displaystyle i_3,\dots ,i_N}$.

Ladérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :

${\displaystyle D_j\left({\ast }^{i_1{i}_2\dots i_N}\right)=0}$.

Démonstration

L'expression de ladérivée covariante à partir de la dérivée simple et dessymboles de Christoffel donne

${\displaystyle D_j\left({\ast }^{i_1{i}_2\dots i_N}\right)={\mathrm{\partial }}_j\left({\ast }^{i_1{i}_2\dots i_N}\right)+{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^{i_1}{\ast }^{k{i}_2\dots i_N}+{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^{i_2}{\ast }^{i_{1}k\dots i_N}+\dots +{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^{i_N}{\ast }^{i_1{i}_2\dots k}}$

Réécrivons premier terme sous la forme

${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_j\left(\frac{{ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_N}}{\sqrt{detg}}\right)}$.

Lesymbole de Levi-Civita d'ordre N étant constant, ce terme devient

${\displaystyle {ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_N}{\mathrm{\partial }}_j\left(\frac{1}{\sqrt{detg}}\right)}$.

Dans la liste des termes suivants, le premier se réduit à sa valeur pour laquelle${\displaystyle k=i_1}$, le deuxième à sa valeur pour laquelle${\displaystyle k=i_2}$, etc. La somme desN termes vaut donc${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{kj}^k{\ast }^{i_1{i}_2\dots i_N}}$. Étant donné l'expression de lacontraction du symbole de Christoffel

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{kj}^k=-{\mathrm{\partial }}_j\left(\frac{1}{\sqrt{detg}}\right)}$,

on trouve

${\displaystyle D_j\left({\ast }^{i_1{i}_2\dots i_N}\right)=0}$.

∎

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre${\displaystyle M}$ dans un espace de dimension${\displaystyle N}$définit un tenseur d'ordre${\displaystyle N-M}$, son dual au sens de Hodge.

${\displaystyle {\left[\ast a\right]}^{i_1{i}_2\dots i_{N-M}}=\frac{1}{M!}{\ast }^{i_1{i}_2\dots i_N}{a}_{i_{N-M+1}\dots i_N}}$

Le produit met ici arbitrairement en jeu les${\displaystyle M}$ derniers indices du tenseur dualiseur.On aurait aussi bien pu prendre les${\displaystyle M}$ premiers indices. Les deux conventions différent d'un signe - danscertains cas.

Exemple, tenseurs duaux en dimension 3 :

Un vecteur${\displaystyle b^k}$ possède untenseur antisymétrique dual :

${\displaystyle {\left[\ast b\right]}_{ij}={\ast }_{ijk}{b}^k}$.

Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique${\displaystyle a_{ij}}$ est un vecteur :

${\displaystyle {\left[\ast a\right]}^i=\frac{1}{2}\times {\ast }^{ijk}{a}_{jk}.}$

Le dual du dual est le vecteur ou le tenseur antisymétrique lui-même.En effet, on a pour un vecteur :

${\displaystyle {\left[\ast \ast b\right]}^i=\frac{1}{2}{\ast }^{ijk}{\left[\ast b\right]}_{jk}=\frac{1}{2}{\ast }^{ijk}{\ast }_{jkl}{b}^l={\delta }_l^i{b}^l=b^i}$.

et pour un tenseur antisymétrique :

${\displaystyle {\left[\ast \ast a\right]}_{ij}={\ast }_{ijk}{\left[\ast a\right]}^k=\frac{1}{2}{\ast }_{ijk}{\ast }^{klm}{a}_{lm}=\frac{1}{2}\left({\delta }_{ij}^{lm}-{\delta }_{ij}^{ml}\right)a_{lm}=a_{ij}}$.

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