En mathématiques, plus précisément enalgèbre multilinéaire et engéométrie différentielle, untenseur est un objet très général, dont la valeur s'exprime dans unespace vectoriel. On peut l'utiliser entre autres pour représenter desapplications multilinéaires ou desmultivecteurs. On pourrait abusivement considérer qu'un tenseur est une généralisation àn indices du concept de matrice carrée (la matrice possède un indice ligne et un indice colonne — un tenseur peut posséder un nombre arbitraire d'indices inférieurs,covariants, et d'indices supérieurs,contravariants, à ne pas confondre avec des exposants), mais la comparaison s'arrête là car une matrice n'est qu'un simple tableau de nombres qui peut être utilisé pour représenter des objets abstraits, alors que le tenseur est, comme les vecteurs et les applications multilinéaires, un objet abstrait dont les coordonnées changent lorsqu'on passe d'une représentation dans unebase donnée à celle dans une autre base.
On peut envisager l'outiltenseur dans quatre types d'utilisation différentes :
le cas simple, où on l'utilise pour ses capacités à représenter des objets algébriques complexes et où on n'a pas besoin des concepts de distances ni d'angles ; on n'introduira pas de produit scalaire, et dans ce cas les coordonnées covariantes représentent des objets de type application linéaire et les coordonnées contravariantes représentent des objets de type (multi-)vecteurs ;
le cas où la base est orthonormée, et où il n'y a pas de différence entre coordonnées covariantes et contravariantes ;
le cas où la base n'est pas orthonormée, et où le produit scalaire est défini par untenseur métrique. Dans ce cas, le tenseur métrique permet de convertir les coordonnées covariantes en coordonnées contravariantes (etvice versa) ;
Dans tous ces cas, le terme tenseur est souvent utilisé par extension, pour désigner unchamp de tenseurs, c'est-à-dire une application qui associe à chaque point d'un espace géométrique un tenseur différent.
La première utilisation de la notion et du terme de tenseur s'est faite dans le cadre de lamécanique des milieux continus, en relation avec la nécessité de décrire les contraintes et les déformations subies par les corps étendus, à partir de laquelle fut formalisée lamécanique rationnelle. En particulier, letenseur des contraintes et letenseur des déformations sont utilisés dans la science des constructions pour définir l'état de tension et de déformation en tout point d'une structure. Outre lamécanique des fluides etmécanique du solide, les tenseurs sont utilisés dans de nombreux autres domaines de la physique, tels que l'électromagnétisme. Ils sont également largement utilisés enrelativité générale, pour décrire rigoureusement l'espace-temps comme variété courbe quadri-dimensionnelle.
Les tenseurs sont également utilisés en géométrie différentielle pour définir sur unevariété différentielle les notions géométriques dedistance, d'angle et devolume. Cela se fait par le choix d'untenseur métrique, c'est-à-dire un produit scalaire défini sur l'espace tangent de chaque point. Grâce à ce concept, sont alors définies et étudiées les questions liées à lacourbure de la variété. D'autres tenseurs, tels que letenseur de Riemann et letenseur de Ricci, sont des outils importants pour cette étude.
Les composants du tenseur des contraintes, un tenseur de deuxième ordre, en trois dimensions. Le tenseur dans l'image est levecteur ligne des forces agissant sur les faces, et du cube. Ces forces sont représentées par desvecteurs colonnes. Les vecteurs ligne et colonnes qui composent le tenseur peuvent être représentées par une matrice :
En mathématiques et en physique, untenseur est un objet très général, défini intrinsèquement à partir d'unespace vectoriel (ou si on y ajoute unproduit scalaire, à partir de l'espace euclidien, généralement tridimensionnel, ou bienquadri-dimensionnel) et qui ne dépend pas d'unsystème de coordonnées particulier. Cette notion physique de tenseur comme « objet indépendant du système de coordonnées » est utile pour exprimer beaucoup de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes de coordonnées choisis.
Par rapport à un système de coordonnées fixé, unvecteur de l'espace de dimensionn s'exprime comme une suite finie de nombres (ce sont lescomposantes du vecteur), soit : unn-uplet. Si l'on change de système de coordonnées, ce vecteur s'exprimera alors par un autren-uplet, différant selon une loi bien précise. Un tenseur, exprimé dans un système de coordonnées particulier, est une sorte den-uplet généralisé qui peut avoir 1 dimension (unn-uplet), ou 2 (une matrice) ou plus. Par un changement du système de coordonnées, les composantes d'un tenseur, comme celles d'un vecteur, sont modifiées par une loi précise. Mais en soi, le vecteur, comme le tenseur, ne change pas.
Dans le langage de l'algèbre linéaire, la notion mathématique de tenseur est réalisée d'une manière plus rigoureuse par l'algèbre multilinéaire et la définition d'un tenseur peut être donnée sans faire référence aux systèmes de coordonnées (aux bases), en utilisant la notion d'application multilinéaire et d'espace vectoriel dual.
La relativité générale est complètement formulée dans le langage des tenseurs. Einstein a appris à les utiliser, avec quelque difficulté, avec l'aide du géomètreMarcel Grossmann ou peut-être de Levi-Civita lui-même. On utilise également les tenseurs dans d'autres domaines, par exemple lamécanique des milieux continus.
Dans le cas où l'espace vectoriel V est de dimension finien, on se donne une base de V (avec les indices situés en bas), V* étant alors muni de labase duale, notée ici (avec les indices notés en haut). Du fait de la multilinéarité, pour déterminer un tenseur T de type (h,k), il suffit de donner les valeurs qu'il prend lorsqu'on l'applique sur les vecteurs de base, autrement dit de donner les valeurs :
où les quantités possèdenth+k indices pouvant varier de 1 àn. Parmi ces indices,h sont conventionnellement notés en haut etk en bas. On appellecomposante chacun des nombres. Représenter un tenseur d'ordreh+k donné nécessite donc composantes.
La position des indices distingue ceux qui correspondent à un vecteur ou à un covecteur, en les disposant soit en haut, soit en bas. Un vecteur de V s'écrit, et les s'appellent composantescontravariantes. Un vecteur de V* s'écrit, et les s'appellent composantescovariantes. De même, en ce qui concerne les composantes du tenseur, on mettra les indices en haut pour les contravariants, en bas pour les covariants. Par exemple, avec un tenseur du type (1,2), on posera pour chacune des composantes de T.
Un tenseur d'ordre 0 est un scalaire. En effet, celui-ci est un simple nombre, qui ne dépend d'aucune base. Par exemple en mécanique classiquemasse,température, et autres quantités scalaires sont des tenseurs d'ordre 0.
Un tenseur d'ordre 1 est assimilable à un vecteur ou à un covecteur. En effet, si l'espace V est de dimensionn, un tenseur d'ordre 1 dispose den composantes dans une base donnée, tout comme un vecteur. Si l'on change de base, les composantes changent, mais le tenseur ou le vecteur correspondant reste le même. En tant qu'application, le tenseur est une forme linéaire définie sur V ou sur V*, et est donc un élément de V* ou de V.Force,déplacement et autres quantités vectorielles sont des tenseurs d'ordre 1.
Un tenseur d'ordre 2 est une forme bilinéaire. Une base étant choisie, cette forme est décrite par unematrice M et possède coefficients qui dépendent de la base de V. Le tenseur représente toutes les matrices obtenues à partir de M par changement de base.
Plus généralement, on peut envisager des objets définis avec trois, quatre, indices. Un objet défini par indices et vérifiant les formules de changement de base est un tenseur d'ordre. Sur un espace vectoriel de dimension finien, chaque indice peut prendre les valeurs de 1 àn. Un tenseur d'ordrem sur cet espace vectoriel a donc coefficients selon une base donnée. Par exemple, si le tenseur d'ordre représente une application multi-linéaire de V×V×… ×V dans, alors :
On retrouve les coefficients du tenseur T en identifiant.
Si le tenseur « relie » espaces vectoriels de dimensions différentes, alors le tenseur contient coefficients.
Dans les notations, représente la composante du tenseur T d'indices. Quand on veut désigner un tenseur dans sa globalité tout en indiquant l'ordre de ce tenseur, on peut souligner le nom du tenseur d'autant de traits que l'ordre du tenseur. Ainsi, avec cette notation, un vecteur sera noté plutôt que, et un tenseur de contraintes mécaniques (d'ordre 2) sera noté. Ceci est particulièrement utile quand on manipule des tenseurs d'ordres différents, ce qui est le cas endéformation élastique, pour laquelle on caractérise le comportement de déformation des matériaux par un tenseur d'ordre 4, et lesdéformations etcontraintes par des tenseurs d'ordre 2. Dans le cas le plus simple de comportement élastique linéaire,.
Cette notation, utilisée en mécanique, n'est pas celle desmathématiques.
Dans les applications physiques, on distingue les indices matriciels, selon qu'ils sontcontravariants (en les mettant en exposant) oucovariants (en les mettant en indice), en fonction du comportement de la grandeur tensorielle considérée face à des transformations linéaires de l'espace. Lavalence d'un tenseur est le nombre des indices matriciels associé au type de chacun d'eux ; des tenseurs de même ordre mais de valences différentes ne se comportent pas de la même façon lors de changement du système de coordonnées. Par ailleurs, un indicecovariant peut être changé en indicecontravariant par produit tensoriel contracté avec letenseur métrique. On appelle cette opération élever ou abaisser des indices.
On note la valence en disant que le tenseur est de type (h,k) oùh est le nombre d'indices contravariants etk le nombre d'indices covariants. La valence ne note pas l'ordre des indices.La valence est aussi utilisée quand on note le tenseur par une lettre, un indice en haut signifie alors que le tenseur est contravariant pour cet indice, un indice en bas signifie que le tenseur est covariant pour cet indice. On notera donc les vecteurs avec un indice haut, et les formes linéaires avec un indice bas. Ainsi :
lesvecteurs sont des tenseurs d'ordre 1 contravariants. Ils sont donc tenseurs de valence (1,0) ;
lesformes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants. Ils sont de valence (0,1) ;
pour le changement de base d'un tenseur (1,1), on aura une multiplication par la matrice de changement de base, et une multiplication par son inverse, exactement comme pour lesmatrices d'uneapplication linéaire enalgèbre linéaire. Un tenseur (1, 1) peut en effet être considéré comme une application linéaire. Soit T un tenseur (1,1) défini sur. À un couple (w,v) formé d'une forme linéairew et d'un vecteurv, il associe un scalaire. Pour tout vecteurv, l'application qui àw associe T(w,v) et qui est notée T(.,v) ou T(v) est alors une forme linéaire sur V*, c'est-à-dire un vecteur de V. Ainsi, T associe à un vecteurv un vecteur T(v). En outre, cette correspondance est linéaire ;
pour le changement de base d'un tenseur (0,2), on aura deux multiplications par la matrice de changement de base, exactement comme pour lesmatrices d'uneforme bilinéaire. Un tenseur (0, 2) est en effet une forme bilinéaire.
L'intérêt d'une telle notation, c'est qu'en cas de changement de base, elle donne directement le nombre de multiplications par la matrice de changement de base à effectuer :k, et par son inverse :h.
Une des utilisations des tenseurs concerne l'écriture d'équations qui soient indépendantes du système de coordonnées. Soit donc un premier système de coordonnées, utilisant une notation de contravariant, avec n vecteurs:, i=1 à n; et un second système de coordonnées où les indices sont annotés d'une apostrophe,. Le calcul permettant le passage d'un système à l'autre implique l'utilisation du Jacobien approprié, soit :
où la convention d'Einstein est utilisée, à savoir, il y a une sommation implicite sur l'indice répété quand il se trouve en contravariance (en haut) et en covariance (en bas). On peut également illustrer le jacobien comme une matrice où la ligne concernée est en contravariance (en haut) et la colonne concernée en covariance (en bas). Il faut également noter que la notation tensorielle permet de rejoindre les composants, individuellement, de la matrice, si bien qu'on peut écrire :
alors qu'avec la notation matricielle classique, on sait que le produit de deux matrices n'est pas symétrique, soit que A B diffère de B A, en général. La notation tensorielle permet de rétablir la symétrie de son algèbre.
De plus la notation nous permet de déterminer quel Jacobien utiliser selon quel système est l'original et lequel est le résultat du calcul. La sommation impliquée fait disparaître un des deux indices du Jacobien, c'est donc :
pour faire disparaître les apostrophes lors de la sommation implicite,
ou pour calculer les sans-apostrophes.
Par contre, est sans objet, ici, car non seulement l'indice i est devariance différente de chaque côté de l'égalité, mais surtout, l'expression n'implique pas de somme implicite car l'indice i' quoique répété n'est pas et en contravariance et en covariance, comme l'exige la convention d'Einstein pour qu'il y ait une somme implicite.
Avant de fournir la procédure pour calculer les Jacobiens, il nous semble approprié d'établir la règle des indices en contravariance et covariances, lorsqu'une dérivée est impliquée. Si l'on considère la division de deux fractions qui donne l'égalité, lorsqu'une dérivée est impliquée avec la notation tensorielle, le résultat est tel que.
Il s'ensuit que pour le Jacobien, permettant de passer des s' aux s, on remarque, en comparant avec l'expression des fractions, que s joue le rôle de i, s' joue le rôle de k, et que j et m sont absents, donc
Donc non seulement la notation tensorielle nous permet de savoir quel Jacobien utiliser, mais quelles dérivées sont impliquées :
etnon pas
Orthogonalité des Jacobiens et symbole de Kronecker
On peut démontrer que les deux Jacobiens, et sont mutuellement l'inverse l'un de l'autre et ce, quel que soit le système de coordonnées initial ou final. En notation tensorielle, une telle relation peut être notée en utilisant le symbole de Kronecker :
où est égal à 1 si i=j, mais 0 autrement. À noter l'utilisation d'un indice additionnel, j, pour éviter une sommation additionnelle si on avait réutilisé i, au lieu de j.
Puisqu'on y est, considérons que est une matrice, alors est une sommation implicite car l'indice est répété en présence contravariante et covariante :.
Notons également l'utilisation (dans un énoncé algébrique) du symbole de Kronecker pour "absorber" un indice en un autre :.
On définit un tenseur d'ordre 0 sous transformation, ou vrai scalaire, comme étant un scalaire qui, en plus d'être un scalaire, ne change pas de valeur (numériquement, compte tenu de ses unités) lorsqu'on change de système de coordonnées. Ainsi, une longueur entre deux points précis est un tenseur d'ordre 0. De même, la température en un point que je montre du bout de mon doigt ne change pas si je change le système de référence. Par contre, la distance de ce même point à l'origine est également un scalaire, mais la valeur numérique de ce scalaire change si je change d'origine. La distance à l'origine n'est donc pas un tenseur d'ordre 0 sous transformation. Quoique la distance à l'origine est un scalaire, elle n'est pas un vrai scalaire. Le mot "vrai", dans cette expression, n'a pas son sens du langage commun. On pourrait lui substituer l'adjectif "super", mais le précédent historique est d'utiliser le mot vrai, dans ce contexte tensoriel.
On définit un tenseur d'ordre 1 sous transformation, ou vrai vecteur, comme étant un vecteur qui, en plus d'être un vecteur, est relié linéairement par son Jacobien à ce même vecteur dans un autre système. est un tenseur d'ordre 1 sous transformation si pour un changement du système de coordonnées, on a. La position est un vecteur, mais pas un tenseur d'ordre 1 sous transformation, comme le montre le passage d'un système cartésien à un système decoordonnées polaires, cylindriques, ou sphériques. La vitesse, dérivée première de la position, est un tenseur d'ordre 1.
En physique, un exemple simple : considérons un bateau flottant sur l'eau. On veut décrire l'effet de l'application d'une force sur le déplacement du centre du bateau dans le plan horizontal. La force appliquée peut être modélisée par un vecteur, et l'accélération que subira le bateau par un autre vecteur. Ces deux vecteurs sont horizontaux. Mais leurs directions, qui devraient être identiques pour un objet circulaire (unsolide de révolution autour d'un axe vertical, donc), ne le sont plus pour un bateau, qui est plus allongé dans un sens que dans l'autre. La relation entre les deux vecteurs, qui n'est donc pas une relation de proportionnalité, est cependant une relation linéaire, au moins si on considère une force petite. Une telle relation peut être décrite en utilisant un tenseur de type (1,1) (1 fois contravariant, 1 fois covariant). Un tel tenseur peut être considéré comme une application linéaire qui transforme un vecteur du plan (la force) en un autre vecteur du plan (l'accélération). Dans une base donnée, ce tenseur peut être représenté par une matrice, qui, lorsqu'on la multiplie par les composantes d'un vecteur, donne les composantes d'un autre vecteur. De la même manière que les nombres qui représentent un vecteur changent quand on change de système de coordonnées, les nombres qui représentent le tenseur dans la matrice changent quand le système de coordonnées change.
En mécanique, on peut également décrire les tensions, les forces intérieures subies par un solide ou un fluide par un tenseur. Le mot tenseur vient effectivement du verbe tendre, qui signifie soumettre à une tension. Considérons unélément de surface à l'intérieur du matériau ; les parties du matériau situées d'un côté de la surface exercent une force sur l'autre côté de la surface (et réciproquement). En général, cette force n'est pas orthogonale à la surface, mais dépendra linéairement de l'orientation de la surface. Nous pouvons la décrire par un tenseur d'élasticité linéaire, tenseur de type (2,0) (2 fois contravariant, 0 fois covariant), ou plus précisément, par un champ de tenseurs de type (2,0), puisque les forces de tension varient de point à point.
En dimension 3 pour simplifier, soit unebase. Les composantes du vecteur sont.Dans une autre base,elles sont.On cherche comment passer de l'une à l'autre des représentations.
Dans la baseB,les vecteurs de la baseB' s'écrivent :
Les colonnes de la matrice de changement de base sont les composantes des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne. On a alors
et
.
Les nouvelles composantes s'obtiennent à partir des anciennes composantes par multiplication d'une seule matrice : le tenseur est dit d'ordre 1. En outre, cette matrice est l'inverse de la matrice de changement de base : ces composantes sont ditescontravariantes.
SoitM une matrice représentant une application linéaire ƒ d'un espace vers un autre pour une base donnée dans chaque espace. On peut donc changer de base dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. SoientP etQ les matrices de changement de base respectivement dans l'espace de départ et dans l'espace d'arrivée. La matriceM' représentant ƒ pour les deux nouvelles bases est. Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base : le tenseur est dit d'ordre 2. L'une des matrices utilisées est la matrice de changement de base, l'autre est son inverse : le tenseur est du type (1,1).
SiM est la matrice d'une forme bilinéaire définie sur V, alors, après un changement de base de matrice de passageP, la nouvelle matrice est. Le changement de base se fait par multiplication de deux matrices de changement de base : le tenseur est dit d'ordre 2. Les deux matrices sont relatives àP et nullement à son inverse : le tenseur est doublement covariant, du type (0,2).
Considérons uneforme linéaire ƒ sur un espace V, de dimension 3 par exemple. Celle-ci associe à un vecteuru un scalaire
Les indices relatifs aux composantes du vecteur sont notés en haut, ceux relatifs à la forme linéaire en bas. Considérons labase duale notée ici constituée des formes linéaires telles que :
Si l'on fait un changement de base de l'espace V au moyen de la matrice de passage P, alors les composantes du vecteuru dans la nouvelle base sont
En revanche, les composantes de dans la nouvelle base duale sont
On voit que dans le cas du changement de la base de formes linéaires, on multiplie par la matrice de changement de base, alors que dans le cas du changement de la base de vecteurs, on multiplie par son inverse. Le tenseur associé à une forme linéaire est d'ordre 1, covariant, donc du type (0,1).
La somme de deux tenseurs de même ordre et même valence est un tenseur de même ordre et de même valence que les deux tenseurs de départ, obtenu en sommant les composantes de deux tenseurs. Par exemple, dans le cas de tenseurs T et U d'ordre 2, =.
Le produit d'un tenseur et d'un scalaire est un tenseur de même ordre et de même valence que le tenseur de départ, obtenu en multipliant les composantes du tenseur par le scalaire.
L'ensemble des tenseurs d'ordre et de valence donnés forment donc unespace vectoriel.
Leproduit tensoriel entre d'ordren, et d'ordrep produit un tenseur d'ordren+p. Lesn premiers indices sont repris de T, et lesp indices suivants sont repris à partir de U. Leur valence est la même que l'indice dont ils proviennent. Chaque composante du résultat est le produit :
de la composante de T associée auxn premiers indices de la composante du résultat
de la composante de U associée auxp derniers indices de la composante du résultat.
Ainsi, le produit tensoriel du tenseur par le tenseur est le tenseur d'ordre 4.
Exemples :
Si on représente deuxformes linéairesf etg par deux tenseurs (donc tenseurs d'ordre 1 et covariants), alors le produit tensoriel des deux tenseurs représente une forme bilinéaire, linéaire par rapport à chacune des variables des formes linéaires de départ, définie par :. La notion de produit tensoriel provient donc directement de la notion de produit de fonctions.
Si on multiplie par le produit tensoriel, un vecteuru et une forme linéairef, le résultat sera un tenseur d'ordre (1,1), à savoir l'endomorphisme définie par. Si les composantes deu dans une base sont les et les composantes def dans la base duale sont les, alors les composantes de la matrice de l'endomorphisme précédent sont les. Cette matrice étant de rang inférieur ou égal à 1, ceci met en évidence qu'il existe de nombreux tenseurs d'ordre élevé qui ne sont pas le résultat du produit tensoriel.
Soit A et B deux matrices carrées représentant dans une base donnée deux tenseurs de type (1,1), de terme général respectif et. Leproduit matriciel C = AB représente un tenseur (1,1) de terme général. On a réalisé la contraction du produit tensoriel des deux tenseurs (qui a pour terme général) et qui est de type (2,2) en prenant un indice commun, covariant pour l'un, contravariant pour l'autre. De même, un tenseur peut avoir des composantes covariantes et contravariantes, et quand on fait le produit contracté de deux indices, on le fait toujours entre composantes covariantes et contravariantes, ce qui explique que certains indices soient notés en haut et d'autres en bas, par exempleTabc.
Le contracté d'un tenseur sur deux indicesi etj, l'un étant covariant et l'autre contravariant est un tenseur d'ordren-2 oùn est l'ordre du tenseur de départ. Les indicesi etj ont disparu dans le tenseur résultat ; la valence des autres indices est inchangée.
Ici on a fait la somme sur toutes les valeurs possibles des deuxièmes et troisièmes indices, quand ceux-ci sont égaux.
Dans l'exemple ci-dessus, du produit tensoriel entre un vecteur et une forme linéaire de terme général, la contraction du tenseur résultant nous donne le résultat de l'application de la forme linéaire au vecteur, à savoir.
On voit ici que le produit tensoriel est un moyen de combiner deux objets tout en préservant l'ensemble de leurs propriétés et en différant certaines opérations (ie. les objets restent plus ou moins séparables, si ce n'est que le produit tensoriel d'objets qui étaient déjà combinés peut être décomposé de plusieurs façons). La contraction par contre, revient à appliquer des opérations qui avaient été laissées en suspens.
Le produit tensoriel contracté entre d'ordren, et d'ordrep, est un tenseur d'ordre (n+p-2). Lesn-1 premiers indices proviennent de A (leurs valences respectives sont les mêmes que lesn-1 premiers indices de A), lesp-1 derniers proviennent de B (leurs valences respectives sont les mêmes que lesp-1 derniers indices de B). Le produit tensoriel contracté est un produit tensoriel suivi d'une contraction entre l'indicen et l'indicen+1 du tenseur d'ordren+p.
Une généralisation de ce produit contracté est le double-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordren+p-4), le triple-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordren+p-6), etc. De manière générale, lep-produit contracté définit un produit scalaire pour l'espace vectoriel des tenseurs d'ordrep. Le double-produit contracté est notamment très utilisé pour décrire la déformation élastique des matériaux.
On adopte souvent la convention denotation d'Einstein qui consiste à supprimer le signe de sommation et à le considérer comme implicite dès lors que l'indice est répété en haut et en bas dans une expression, par exemple
et
se notent respectivement
et
Avec cette convention, les expressions relatives au produit contracté de deux tenseurs, se noteront de façon simple. Ainsi, le produit des deux matrices de terme général et est la matrice de terme général.
La notation d'IversonAPL permet également de noter de façon concise les tenseurs et leurs opérations : produit tensoriel (∘.), contraction (/), produits scalaires, etc., en nombre réels, complexes et, dans certaines implémentations comme NARS2000,quaternions etoctonions (voir l'article « APL (langage) »).
Leproduit scalaire entre les vecteurs définit les notions de norme et d'orthogonalité. Il n'est pas nécessaire mais ajoute des outils très intéressants au calcul tensoriel. Dans unebase orthonormée, il a uneforme canonique simple qui consiste à multiplier une par une les composantes correspondantes des deux vecteurs; comme on exprime alors les produits contractés entre composantes covariantes et contravariantes, on doit ajouter entre les deux vecteurs une application bilinéaire qui permet de convertir les composantes contravariantes en composantes covariantes (ou le contraire). On a, dans le cas d'une base orthonormée :
.
Dans la plupart des cas, cependant, la base n'est pas orthonormée, et peut se représenter comme une transformation P de labase canonique. On a donc :
, et
avec
Il en résulte que
avec
La nouvelle matrice définit le produit scalaire dans la nouvelle base E, et s'appelle letenseur métrique de l'espace avec la base E. Comme est défini enmultipliant ensemble le premier et le second indice de P, il est automatiquement symétrique.
Un indice haut peut être changé en un indice bas par multiplication avec letenseur métrique,
(On utilise laconvention d'Einstein, le signe somme sur l'indice b est sous-entendu) Le résultat est un tenseur de même ordre mais de valence différente : un indice contravariant est devenu covariant dans le tenseur résultat.
Le gradient d'un champ de tenseurs d'ordren est la différentielle de ce champ. On obtient un champ de tenseurs d'ordren+1. Lesn premiers indices ont la même valence que le tenseur de départ. L'indice supplémentaire est covariant.
La divergence d'un tenseur d'ordren est le produit tensoriel doublement contracté entre la différentielle de ce tenseur (autrement dit son gradient) et le tenseur métrique. On obtient alors un tenseur d'ordren−1. L'indice manquant est contravariant.
Dans le cas de l'ordre 2, un tenseur peut être symétrique ou antisymétrique (ou ni l'un, ni l'autre).
Pour un tenseur symétrique, on a la relation Tab = Tba.
Pour un tenseur antisymétrique, on a la relation Tab = -Tba.
En général, un tenseur n'est ni symétrique, ni antisymétrique.Un tenseur quelconque peut cependant être décomposé en une partie symétrique S et une partie antisymétrique A, avec les relations :
Sab = (Tab + Tba)/2
Aab = (Tab - Tba)/2
Les parties symétriques et antisymétriques réunies rassemblent autant d'information que le tenseur originel.
Cette règle peut être étendue aux tenseurs d'ordre quelconque.On dira alors que le tenseur estsymétrique pour une paire d'indices, s'il est invariant par échange des deux indices, et qu'il estantisymétrique pour une paire d'indices s'il se transforme en son opposé par échange des deux indices.
Les indices de la paire considérée doivent avoir même valence. (Dans le cas contraire la propriété de symétrie dépendrait de la base choisie).
Dans le cas particulier d'un espace vectoriel de dimension 3, un tenseur antisymétrique d'ordre 2 porte le nom depseudovecteur.
Un tenseur estsymétrique s'il est inchangé par des permutations des indices hauts ou une permutation des indices bas. Un tenseur d'ordre (0,2) ou bien (2,0) est symétrique si et seulement si ses composantes forment unematrice symétrique. Le fait pour un tenseur d'être symétrique ne dépend pas de la base choisie.
Un tenseur estantisymétrique si, par une permutation quelconque des indices, il subit un changement de signe qui est le signe de la permutation. Un tenseur d'ordres (0,2) ou (2,0) est antisymétrique si et seulement si ses composantes forment une matrice antisymétrique.Pour un tenseur antisymétrique, les composantes dans lesquelles un indice se répète au moins deux fois sont toutes nulles. Par exemple, dans un espace de dimensionn, lesn composantes du tenseur sont nulles.De ce fait, un tenseur de type (h,k) aveck>n ouh>n est nécessairement nul, parce que l'on ne peut avoirk (ouh) valeurs différentes dans {1, ..., n}. En outre (à une multiplication par un scalaire près), il existe un seul tenseur antisymétrique d'ordre (0,n) : le déterminant, outenseur de Levi-Civita.
