Lesystème décimal est unsystème de numération utilisant labase dix. Dans ce système, les puissances dedix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.
Les peuples ayant unebase de numération décimale ont employé, au cours du temps, des techniques variées pour représenter les nombres. En voici quelques exemples.
Avec des chiffres pour les puissances de 10
Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les valeurs un, dix, cent, mille, etc. sont de type additif. C'est le cas de lanumération égyptienne. Exemple : 1506 s'écrit
Avec des chiffres pour les puissances de 10 et leur produit par 5
Les systèmes de numération utilisant des chiffres qui représentent les valeurs un, cinq, dix, cinquante, cent, cinq-cents, etc. sont aussi de type additif. Bien que décimaux, ils font intervenir unsystème quinaire auxiliaire. C'est le cas des numérationsattique,étrusque,romaine ettchouvache. Exemple : 2604 s'écrit MMDCIIII. en chiffres romains (1 000 + 1 000 + 500 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1).
La numération romaine connait également une variante additive et soustractive.
Exemple : 2604, de cette manière, s'écrit MMDCIV. (1000 + 1000 + 500 + 100 - 1 + 5).
Avec des chiffres pour les unités, dizaines, centaines, etc.
Les systèmes de numération employant neuf chiffres pour les unités (un, deux, …, neuf), ainsi que pour les dizaines (dix, vingt, …, quatre-vingt-dix), les centaines (cent, deux-cents, …, neuf-cents), etc. sont encore de type additif. C'est le cas des numérationsarménienne,arabe alphabétique,gotique,grecque ethébraïque.
Exemple : 704 s'écrit ψδ en chiffres grecs ioniques (700 + 4).
Avec des chiffres de un à neuf et pour les puissances de 10
Les systèmes de numération comportant des chiffres de un à neuf et des chiffres pour dix, cent, mille, etc. sont de type hybride. C'est le cas des numérationschinoise etjaponaise.
Exemple : 41 007 s'écrit 四万千七 dans le système japonais (4 × 10 000 + 1 000 + 7).
Le système chinois utilise en plus le zéro pour indiquer des positions vides avant les unités .
Exemple : 41 007, s'écrit 四萬千〇七 en chiffres chinois (4 × 10 000 + 1 000 + 0 + 7).
Avec des chiffres de zéro à neuf
Les systèmes de numération dont les mêmes chiffres, allant de zéro à neuf, sont utilisés pour les unités, les dizaines, les centaines, etc., mais dont la valeur représentée dépend de la position dans le nombre, sont de typepositionnel. C'est le cas des numérationsarabe non-alphabétique, européenne, de la plupart desnumérations indiennes et des numérationsmongole etthaï.
Exemple : 8002 s'écrit ๘๐๐๒ en chiffres thaïs (8002).
La base dix est très ancienne. Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre des doigts des deux mains. LesProto-indo-européens comptaient probablement en base dix. Un système de notation décimale a été mis au point :
À noter également l'usage de systèmes proto-élamites mixtes, dit bisexagésimaux (binaire, décimal ou sexagésimal suivant la qualification des objets ou des êtres vivants à décompter)[11],[12].
Lebasque (ainsi que leslangues celtiques) se fonde aussi sur la base 20. Il en reste quelques traces en français avec la dénomination « quatre-vingts ».
Les numérations décimales utilisent parfois des bases auxiliaires :
Un système quinaire auxiliaire est utilisé dans certains systèmes de notation (voir plus haut) et pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme le wolof.
Un système vigésimal auxiliaire est utilisé pour l'énonciation des nombres dans certaines langues, comme en basque, ou « quatre-vingts » en français.
Numération décimale utilisée comme système auxiliaire
En français et dans la plupart des langues du monde, le système décimal s'applique, au sens le plus strict, jusqu'à 9 999, chaque puissance de dix étant, de l'exposant un à l'exposant trois, désignée par un terme approprié (101 = « dix » ; 102 = « cent » ; 103 = « mille »). Stricto sensu, l'énonciation des nombres supérieurs à 9 999 n'est cependant plus décimale lorsque, parmi les puissances de dix d'exposant supérieur à trois, ne bénéficient d'une dénomination propre que celles qui correspondent à despuissances de mille.
La base mille modifie l'écriture en chiffres de la partie entière desgrands nombres, afin d'en faciliter la lecture (ex. 12 345 678 s'écrit soit avec des espaces comme en français 12 345 678 soit avec des séparateurs (l'apostrophe : 12'345'678 ; le point : 12.345.678 ou la virgule : 12,345,678 selon les pays)), mais on ne doit pas séparer les chiffres de la partie décimale les uns des autres.
Lanumération babylonienne et les systèmes de mesure du temps et des angles en minutes et secondes,sexagésimaux, utilisent un système décimal auxiliaire.
Lanumération maya, bien quevigésimale, laisse apparaitre un système décimal auxilaire dans l'énonciation des nombres.
Les langues chinoise et japonaise utilisent la base dix mille avec dix comme base auxiliaire.
En Chine les mesures de capacité et de poids sont décimalisées vers170 av. J.-C.. AuxÉtats-Unis, le système monétaire est décimal en 1786. En Europe, la décimalisation des unités est initiée en France à partir du 22 août 1790, date à laquelleLouis XVI demande à l'Académie des Sciences de nommer une commission pour définir les poids et mesures. Cette dernière préconise la division décimale.
La plupart deslangues vivantes décomposent les nombres en base dix en raison de certains atouts de celle-ci :
le compte sur les dix doigts est très intuitif ainsi que cela a été mentionné ci-dessus ;
son ordre de grandeur est satisfaisant, car il permet de réduire considérablement la longueur d'un grand nombre par rapport à la base 2, tout en conservant des tableaux d'additions et de multiplications mémorisables.
Cependant, il a fallu attendre la généralisation de lanotation positionnelle, et l'existence d'unalgorithme de division adapté à cette notation pour que lesunités de mesure perdent progressivement leurs sous-multiples non décimaux - en particulier, la notation qui comprend3 du facteur tel quesénaire,duodécimal et octodécimal.
Quand lalivre comprenait en France 20sous de 12deniers (ou en Grande-Bretagne 20shillings de 12pence), les agents économiques appréciaient que cette unité puisse être divisée de manière exacte par 20 diviseurs différents (y compris 1 et 240). En 1971, malgré l'informatique qui permet désormais de gérer facilement l'hétérogénéité de rapports non décimaux entre sous-multiples, la Grande-Bretagne n'a pourtant pas hésité à décimaliser sa monnaie.
↑Maurice Caveing,Essai sur le savoir mathématique : dans la Mésopotamie et l'Egypte anciennes, Villeneuve d'Ascq, Presses Univ. Septentrion,, 417 p.(ISBN2-85939-415-X),p. 243,244.
↑ Voirpage 13 inThe mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: a sourcebook,Victor J. Katz &Annette Imhausen, Princeton University Press, 2007
↑ Voirpage 118 inEncyclopedic dictionary of mathematics - EDM 2, Kiyosi Itô, MIT Press, 2000
↑ Voir page 104 inLa science antique et médiévale, René Taton, Quadrige P.U.F., 1966
↑ Voir pages 20-21 inHistoire des sciences sous la direction de Philippe de la Cotardière, Tallandier, 2004 - Extraits : « Au début du IIe millénaire, alors que l'écriture cunéiforme est désormais en place, un système numérique unique s'impose. Il s'agit d'un système de numération sexagésimale, c'est-à-dire fondé sur la base soixante, et non sur la base décimale qui nous est familière. »
↑ Voirpages 40-41 inThe Technology of Mesopotamia, Graham Faiella, Rosen Publishing, 2006
↑Voirpages 111-114 in 'The first writing: script invention as history and process, sous la direction de Stephen D. Houston, Cambridge University Press, 2004
↑ Voir aussipage 341 inAbstraction and representation: essays on the cultural evolution of thinking, Peter Damerow, Luwer Academic Publishers, 1996
↑Voir page 16 inFleeting Footsteps – Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China,Lay Yong Lam & Tian Se Ang, World Scientific Publishing, 2004. Extraits (concernant la base de numération maya): « it began as vigesimal after the unit 1 to 19, but then went on to three hundred and sixties, and eventually (in the four place) to seven thousand two hundred).»
(en)Asger Aaboe, « Some Seleucid mathematical tables, Journal of Cuneiform Studies » Yale University, New Haven, Connecticut, États-Unis, 1968, The American Schools of Oriental Research.
