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Suite (mathématiques)

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Page d’aide sur l’homonymie

Pour les articles homonymes, voirSuite.

Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes.

Enmathématiques, unesuite est unefamille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par lesentiers naturels. Unesuite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.

Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un mêmeensembleE{\displaystyle E}, cette suite peut être assimilée à uneapplication deN{\displaystyle \mathbb {N} } dansE{\displaystyle E}. On note classiquement une suite(un)n∈N{\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}, ou en abrégé :(un){\displaystyle (u_{n})}.

En particulier, on parle de suite « entière », suite « réelle » et suite « complexe », quandE{\displaystyle E} est un sous-ensemble deZ{\displaystyle \mathbb {Z} },R{\displaystyle \mathbb {R} } etC{\displaystyle \mathbb {C} }, respectivement.

Fragments d'histoire

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Lessuites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'unefonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, chezArchimède, spécialiste des procédés illimités d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et devolumes, ou en Égypte vers 1700av. J.-C. et plus récemment auIer siècleapr. J.-C. dans le procédé d'extraction d'uneracine carrée par laméthode de Héron d'Alexandrie :

Pour extraire la racine carrée deA{\displaystyle A}, choisir un nombre arbitrairea{\displaystyle a} strictement positif et prendre la moyenne entrea{\displaystyle a} etAa{\displaystyle A \over a} et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent.

Ennotation moderne, cela définit la suite de nombres(un){\displaystyle (u_{n})} telle que

u0=a{\displaystyle u_{0}=a} et, pour tout entiern{\displaystyle n},un+1=12(un+Aun){\displaystyle u_{n+1}={1 \over 2}\left(u_{n}+{A \over u_{n}}\right)}.

On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir duXVIIe siècle) avec laméthode des indivisibles (Cavalieri,Torricelli,Pascal,Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée ded'Alembert etDiderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence[note 1] :

Série ou suite, en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s'approchant de plus en plus de quelque quantité finie […] on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infini, elle devient égale à cette quantité. […] Ainsi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, etc. forment une suite qui s'approche toujours de la quantité 1, & qui lui devient enfin égale, quand cette suite est continuée à l’infini.[1],[note 2]

C'est ainsi que l'on voitBernoulli,Newton,Moivre,Stirling etWallis, s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est àLagrange que l'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle desséries entières dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié duXXe siècle, le développement descalculateurs et desordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites enanalyse numérique grâce à laméthode des éléments finis. On en retrouve l'usage aussi dans lesmathématiques financières[2].

Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple d'un grand nombre desuites d'entiers comme lasuite de Fibonacci,celle de Lucas ou, plus récemment,celle de Syracuse. Sont aussi particulièrement étudiées les suites de coefficients dans desséries entières ou les suites de nombres découvertes lors dedénombrements.

Notations

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L'ensemble des suites d'éléments deE{\displaystyle E} indexées par unepartieA{\displaystyle A} deN{\displaystyle \mathbb {N} } se noteF(A,E){\displaystyle {\mathcal {F}}\left(A,E\right)}[3] ouEA{\displaystyle E^{A}}.

SoitA{\displaystyle A} une partie deN{\displaystyle \mathbb {N} }.Soitu∈EA{\displaystyle u\in E^{A}} une suite d'éléments deE{\displaystyle E}. On noteun{\displaystyle u_{n}} l'imageu(n){\displaystyle u(n)} de l'entiern{\displaystyle n} paru{\displaystyle u}. Ainsi, les images de0,1,2,…,n{\displaystyle 0,1,2,\dots ,n} sont notéesu0,u1,u2,…,un{\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}.

On dit queun{\displaystyle u_{n}} est le terme de rangn{\displaystyle n}, ou d'indicen{\displaystyle n} de la suiteu{\displaystyle u}.

On note en général la suiteu{\displaystyle u} :(un)n∈A{\displaystyle (u_{n})_{n\in A}} qui est donc une application. LorsqueA=N{\displaystyle A=\mathbb {N} }, on note plus simplement la suite :(un){\displaystyle (u_{n})}. SiA=[[1,n]]={1,2,…,n}{\displaystyle A=[\![1,n]\!]=\{1,2,\dots ,n\}}, on peut noter la suite(uk)1≤k≤n{\displaystyle (u_{k})_{1\leq k\leq n}} ou encore(u1,u2,…,un){\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}[4].

Remarque

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Il ne faut pas confondre la suiteu=(un)n∈N{\displaystyle u=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} avec l'ensemble des valeurs de la suite{un∣n∈N}{\displaystyle \{u_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}} qui est l'image directe deN{\displaystyle \mathbb {N} } paru{\displaystyle u}. Par exemple, considérons la suite((−1)n)n∈N{\displaystyle \left((-1)^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}, l'ensemble des valeurs de la suite est{−1,1}{\displaystyle \{-1,1\}}.

Exemples

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La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :

(0,0,0,0,…){\displaystyle \left(0,0,0,0,\dots \right)}.

Plus généralement, si(un){\displaystyle (u_{n})} est une suite et que∃N∈N∀n≥Nun=0{\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}=0}, alors on dit que(un){\displaystyle (u_{n})} est une suite « presque nulle », ou « nulle à partir d'un certain rang ».

Pour des raisons de commodité, pour tout élémentk{\displaystyle k} deE{\displaystyle E} on peut identifierk{\displaystyle k} et la suite :

(k,k,k,…){\displaystyle \left(k,k,k,\dots \right)}

Posons∀n∈N,un=1n+1{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,u_{n}={1 \over {n+1}}} ;u=(un)n∈N{\displaystyle u=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par :

(1,12,13,14,15,16,⋯){\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\cdots \right)}.

Terme général et récurrence

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Une suite étant une application deA (partie deN{\displaystyle \mathbb {N} }) dansE, il est intéressant, voire primordial, de connaître l'image den pour toutn deA. Siun{\displaystyle u_{n}} est donné comme expression den et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait leterme général deun{\displaystyle u_{n}}.

Cependant, siA={n∈N∣n≥n0}{\displaystyle A=\{n\in \mathbb {N} \mid n\geq n_{0}\}}, la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par unerelation de récurrence : le terme d'indicen est donné comme fonction den et des termes d'indicesk,k ≤n. Le principe dedéfinition par récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donnerun0{\displaystyle u_{n_{0}}} pour en déduire tous les termes (la suite(un)n≥n0{\displaystyle (u_{n})_{n\geq n_{0}}} est bien définie). En pratique, la détermination deun{\displaystyle u_{n}} va nécessiter le calcul de tous les termes deun0{\displaystyle u_{n_{0}}} àun−1{\displaystyle u_{n-1}}. Enprogrammation, cette récurrence a donné lieu à la création desfonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.

Exemple
La suite(un){\displaystyle (u_{n})} définie paru0=1{\displaystyle u_{0}=1} et, pour tout entiern,un+1=(n+1)un{\displaystyle u_{n+1}=(n+1)u_{n}} est la suite des factorielles :un=n!{\displaystyle u_{n}=n!}.

Somme des termes d'une suite

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Article détaillé :Série (mathématiques).

SiE{\displaystyle E} est ungroupe additif, on note :∑n=pqun{\displaystyle \sum _{n=p}^{q}u_{n}} ou∑p≤n≤qun{\displaystyle \sum _{p\leq n\leq q}u_{n}} la somme :

up+up+1+⋯+uq.{\displaystyle u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{q}.}

Exemples de suites

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Suite arithmétique

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Article détaillé :Suite arithmétique.

C'est une suite à valeurs dans ungroupe additif, définie par récurrence par :{un0=a∀n≥n0un+1=un+r{\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=a\\\forall n\geq n_{0}\quad u_{n+1}=u_{n}+r\end{cases}}}[5].

oùr{\displaystyle r} est une constante. Son terme général est alors[6] :

un=a+(n−n0)r.{\displaystyle u_{n}=a+(n-n_{0})r.}

Suite géométrique

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Article détaillé :Suite géométrique.

C'est une suite à valeurs dans unmonoïde, définie par récurrence par :{un0=a∀n≥n0,un+1=qun{\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=a\\\forall n\geq n_{0},\quad u_{n+1}=qu_{n}\end{cases}}}[7]

oùq{\displaystyle q} est une constante. Son terme général est alors[8] :

un=qn−n0a.{\displaystyle u_{n}=q^{n-n_{0}}a.}

Suites arithmético-géométriques

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Article détaillé :Suite arithmético-géométrique.

C'est une suite à valeurs dans uncorps commutatif[note 3], définie par récurrence par :{un0=U∀n≥n0,un+1=aun+b.{\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=U\\\forall n\geq n_{0},\quad u_{n+1}=au_{n}+b.\end{cases}}}[9]

un=b1−a+an−n0(U−b1−a).{\displaystyle u_{n}={\frac {b}{1-a}}+a^{n-n_{0}}\left(U-{\frac {b}{1-a}}\right).}

Suites récurrentes linéaires à coefficients constants

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Article détaillé :suite récurrente linéaire.

Unesuite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :

un+p=a0un+a1un+1+⋯+ap−1un+p−1{\displaystyle u_{n+p}=a_{0}u_{n}+a_{1}u_{n+1}+\cdots +a_{p-1}u_{n+p-1}}

oùa0{\displaystyle a_{0}},a1{\displaystyle a_{1}}, …ap−1{\displaystyle a_{p-1}} sontp{\displaystyle p}scalaires (a0≠0{\displaystyle a_{0}\neq 0}).

L'entierp est appelé l’ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 sont lessuites géométriques ; une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est lasuite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes permettant le calcul du terme général de n'importe quelle suite de ce type.

Quelques suites notoires

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C'est dans l'univers dessuites d'entiers que l'on trouve les suites les plus célèbres :

  • lasuite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec lenombre d'or ;
  • lasuite de Conway, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent ;
  • lasuite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de 1 si celui-ci est impair. Les mathématiciens ne sont pas encore, en 2025, capables de la modéliser à l'aide d'une fonction ou encore de déterminer si le nombre 1 y apparaît au moins une fois, peu importe le terme initial.

Limite d'une suite

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Article détaillé :Limite d'une suite.

Suite convergente

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La définition de limite d'une suite est classique entopologie. La convergence des suites dansR{\displaystyle \mathbb {R} } ou dansC{\displaystyle \mathbb {C} } est un cas particulier de cette définition : elle se formule à l'aide de la distance (sur laquelle la topologie de ces espaces est construite).

Intuitivement, une suite possède une (valeur) limite si ses points se rapprochent toujours plus de cette limite lorsque l'indice augmente indéfiniment.

Définition générale

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SoientE{\displaystyle E} unespace topologique et(un){\displaystyle (u_{n})} une suite à valeurs dansE{\displaystyle E}.On dit qu'un élémentℓ{\displaystyle \ell } deE{\displaystyle E} est une limite de la suite(un){\displaystyle (u_{n})} si

pour toutouvertO{\displaystyle O} contenantℓ{\displaystyle \ell }, il existeN∈N{\displaystyle N\in \mathbb {N} } tel que∀n>Nun∈O{\displaystyle \forall n>N\quad u_{n}\in O}.

Suite réelle convergente

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On dit qu'une suite réelle(un){\displaystyle (u_{n})} converge versℓ{\displaystyle \ell } lorsque pour toutε∈R+∗{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}}, il existeN∈N{\displaystyle N\in \mathbb {N} } tel que pour tout entiern>N{\displaystyle n>N} :

|un−ℓ|≤ε{\displaystyle |u_{n}-\ell |\leq \varepsilon }. On dit alors que(un){\displaystyle (u_{n})} tend versℓ{\displaystyle \ell }, et on le note :limn→+∞un=ℓ{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=\ell }[11].

Suite complexe convergente

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La définition dans ℝ s'applique dans ℂ en remplaçant lavaleur absolue par lemodule.

Limites infinies

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Article détaillé :Limite d'une suite#Limite infinie.

Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies+∞ et–∞ :

Propriétés

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Les propriétés sur les limites :

vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article « Limite d'une suite ».

Suites réelles et relation d'ordre

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Suites monotones

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Définition

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Une suite réellemonotone est unefonction monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est ditestrictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante[12].

Propriétés

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On démontre qu'une suite réelle(un){\displaystyle (u_{n})} est :

Exemples

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La suite(un){\displaystyle (u_{n})} définie par∀n∈Nun=2n+1{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=2n+1} est strictement croissante. En effet,∀n∈Nun+1−un=[2(n+1)+1]−(2n+1)=2>0.{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}-u_{n}=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2>0.}

Critères de monotonie

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Limites de suites monotones

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Suite monotone bornée

D'après lethéorème de la limite monotone :

Si une suite réelle(un){\displaystyle (u_{n})} est croissante (resp. décroissante) et majorée parM{\displaystyle M} (resp. minorée parm{\displaystyle m}), alors elle est convergente etlimn→+∞un≤M{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\leq M} (resp.limn→+∞un≥m{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\geq m})[13].

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Soient(un){\displaystyle (u_{n})} et(vn){\displaystyle (v_{n})} deux suites réelles. Si :

alors :

(un){\displaystyle (u_{n})} et(vn){\displaystyle (v_{n})} sont convergentes etlimn→+∞un≤limn→+∞vn{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\leq \lim _{n\to +\infty }v_{n}}.

Suite monotone non bornée

Encore d'après le théorème de la limite monotone :

Si une suite réelle(un){\displaystyle (u_{n})} est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée), alors elle tend vers+∞{\displaystyle +\infty } (resp.−∞{\displaystyle -\infty })[14].

Suites adjacentes

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Article détaillé :Théorème des suites adjacentes.

Deux suites réelles(an){\displaystyle (a_{n})} et(bn){\displaystyle (b_{n})} sont dites adjacentes lorsque[15] :

L'intérêt dessuites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes[16] :

∀n∈Nan≤an+1≤ℓ≤bn+1≤bn{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\leq a_{n+1}\leq \ell \leq b_{n+1}\leq b_{n}}

Suites particulières

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Suites de Cauchy

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Article détaillé :Suite de Cauchy.

Dans ce paragraphe, il s'agit de suites à valeurs dans unespace métrique(E,d){\displaystyle (E,d)}.

Une suite(un){\displaystyle (u_{n})} est dite de Cauchy lorsque :∀η∈R+∗∃N∈N∀p∈N∀q∈N(p≥N{\displaystyle \forall \eta \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall p\in \mathbb {N} \quad \forall q\in \mathbb {N} \quad (p\geq N} etq≥N)⇒d(up,uq)≤η{\displaystyle q\geq N)\Rightarrow d(u_{p},u_{q})\leq \eta }[17].

On démontre que[18] :

On appelleespace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente[19].

Suites extraites

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Article détaillé :Sous-suite.

Soit(un){\displaystyle (u_{n})} une suite.

Siσ:N→N{\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle uneextractrice), on dit que la suite(uσ(n))n∈N{\displaystyle (u_{\sigma (n)})_{n\in \mathbb {N} }} est unesuite extraite (ousous-suite) de la suite(un)n∈N{\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}[20].

Grosso modo, c'est la suite(un){\displaystyle (u_{n})} pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer desvaleurs d'adhérence.

Suites équivalentes et suites négligeables

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Article détaillé :Comparaison asymptotique.

Définition

Soient(un){\displaystyle (u_{n})} et(vn){\displaystyle (v_{n})} deux suites réelles. On dit que(un){\displaystyle (u_{n})} est négligeable devant(vn){\displaystyle (v_{n})}, et l'on noteun=o(vn){\displaystyle u_{n}=o(v_{n})}, si[21] :

∃(εn)limn→∞εn=0{\displaystyle \exists ({\varepsilon }_{n})\quad \lim _{n\to \infty }{\varepsilon }_{n}=0} etun=εnvn{\displaystyle u_{n}=\varepsilon _{n}v_{n}}.
Remarque
Sivn≠0{\displaystyle v_{n}\neq 0} à partir d'un certain rang, alorsun=o(vn){\displaystyle u_{n}=o(v_{n})} si et seulement silimn→∞unvn=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{u_{n}} \over {v_{n}}}=0}.

Exemple

Considéronsun=1n2{\displaystyle u_{n}={1 \over n^{2}}} etvn=1n{\displaystyle v_{n}={1 \over n}}.

Posonsεn=1n{\displaystyle {\varepsilon }_{n}={1 \over n}}.On a alors :

D'où1n2=o(1n){\displaystyle {1 \over n^{2}}=o\left({1 \over n}\right)} et1n2+1n∼1n{\displaystyle {1 \over n^{2}}+{1 \over n}\sim {1 \over n}}.

Définition

Deux suites réelles(un){\displaystyle (u_{n})} et(vn){\displaystyle (v_{n})} sont diteséquivalentes siun−vn=o(vn){\displaystyle u_{n}-v_{n}=o(v_{n})}. On note alorsun∼vn{\displaystyle u_{n}\sim v_{n}}[22].

Remarque
Sivn≠0{\displaystyle v_{n}\neq 0} à partir d'un certain rang, alorsun∼vn{\displaystyle u_{n}\sim v_{n}} si et seulement silimn→∞unvn=1{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{u_{n}} \over {v_{n}}}=1}[23].

Notes et références

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Notes

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  1. ↑Toutefois,Euler et ses successeurs montreront qu'il est possible d'utiliser également des suites et surtout des séries divergentes ; voir « Série divergente » pour plus de détails.
  2. ↑Suite est ici synonyme de série, il s'agit ici de convergence de lasérie associée à ce que nous appelons aujourd'hui suite.
  3. ↑Ou, plus généralement, dans unanneau commutatif.
  4. ↑Ou, plus généralement, sia−1{\displaystyle a-1} estinversible.

Références

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  1. ↑Jean Le Rond d'Alembert, articleSérie ou suite dans le volume XV de l'Encyclopédie, p. 93b-96alire en ligne
  2. ↑8- Application des séries géométriques aux mathématiques financières dansHEC Montreal, « Suites et séries géométriques », surhec.ca, p. 12
  3. ↑N.Bourbaki,Éléments de mathématique : Théorie des ensembles[détail de l’édition], E.R.6
  4. ↑Bourbaki,p. E.R.34.
  5. ↑Amrani 2011, 1.4 Définition,p. 3.
  6. ↑Amrani 2011, 1.5 Proposition,p. 3.
  7. ↑Amrani 2011, 1.6 Définition,p. 3.
  8. ↑Amrani 2011, 1.8 Proposition,p. 3.
  9. ↑Amrani 2011,p. 6-7.
  10. ↑Amrani 2011,p. 7.
  11. ↑Amrani 2011, 2.6 Définition,p. 12.
  12. ↑Amrani 2011, 3.3 Définition,p. 32.
  13. ↑Amrani 2011, 3.4 Théorème,p. 32.
  14. ↑Amrani 2011, 3.5 Remarque,p. 32.
  15. ↑Amrani 2011, 3.6 Définition,p. 33.
  16. ↑Amrani 2011, 3.7 Théorème,p. 33.
  17. ↑Amrani 2011, 4.1 Définition,p. 34.
  18. ↑Amrani 2011, 4.3 Proposition,p. 34.
  19. ↑Amrani 2011, 4.8 Définition,p. 36.
  20. ↑Amrani 2011, 2.17 Définition,p. 14.
  21. ↑Amrani 2011, 2.53 Définition,p. 25.
  22. ↑Amrani 2011, 2.57 Définition,p. 26.
  23. ↑Amrani 2011, 2.61 Proposition,p. 27.

Voir aussi

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Bibliographie

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Articles connexes

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Liens externes

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