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Structure fine

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Structure fine de l'hydrogène : influence de la levée partielle de ladégénérescence duniveau d'énergien = 2 sur la raieLyman-α.

Enphysique atomique, lastructure fine décrit le dédoublement deraies spectrales d'un atome. Détectable parspectroscopie à hauterésolution spectrale, la structure fine est un effet d'originerelativiste dont l'expression correcte se déduit à partir de l'équation relativiste pour les particules despin 1/2 : l'équation de Dirac.

Les raies denses observées dans les spectres sont prédites par l'étude de l'énergie d’interaction entre l’électron et le proton sans tenir compte du spin et des effets relativistes de l’électron. Pour les atomes hydrogénoïdes, l'énergie ne dépend que dunombre quantique principal n et l'hamiltonien non relativiste s'écrit :

Ho=p22m+V(R){\displaystyle H_{o}={\frac {p^{2}}{2m}}+V(R)}.

Le modèle prenant en compte les effets relativistes permet donc de corriger cette énergie, de lever partiellement la dégénérescence du niveau d'énergie et de séparer les raies spectrales.

La structure fine est décrite par l'hamiltonien de structure fine Hfcontenant trois termes correctifs :

Hf=Hr+Hd+Hso{\displaystyle H_{f}=H_{r}+H_{d}+H_{so}} ;

L'hamiltonien total vaut donc :

H=Ho+Hf{\displaystyle H=H_{o}+H_{f}}.

La découverte de la structure fine de l'hydrogène atomique a valu leprix Nobel de physique àWillis Eugene Lamb en1955.

Correction relativiste de l’énergie cinétique

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Dans le cas classique, le terme de l'énergie cinétique de l'hamiltonien non relativiste s'écrit[1]

Ec=p22m{\displaystyle E_{c}={\frac {p^{2}}{2m}}} ,

oùp{\displaystyle p} est laquantité de mouvement etm{\displaystyle m} lamasse de l'électron.

Enrelativité restreinte, l'énergie cinétique d'une particule de massem{\displaystyle m} s'écrit :

Ec=p2c2+m2c4−mc2{\displaystyle E_{c}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}=mc2[1+p2m2c2−1]{\displaystyle =mc^{2}\left[{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}c^{2}}}}}-1\right]}.

Pour des particules faiblement relativistes (p2m2c2<<1{\displaystyle {\frac {p^{2}}{m^{2}c^{2}}}<<1}, ce qui équivaut àp <<mc), on peut « couper » ledéveloppement limité enp22m2c2{\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m^{2}c^{2}}}} de la parenthèse au deuxième ordre (c'est-à-dire au terme enp4m4c4{\displaystyle {\frac {p^{4}}{m^{4}c^{4}}}}) :

Ec≈mc2(p22m2c2−p48m4c4){\displaystyle E_{c}\approx mc^{2}\left({\frac {p^{2}}{2m^{2}c^{2}}}-{\frac {p^{4}}{8m^{4}c^{4}}}\right)}, ce qui équivaut àEc≈p22m−p48m3c2{\displaystyle E_{c}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}}.

Au premier ordre suivant le terme classique, le terme de correctionHr vaut donc :

Hr=−p48m3c2{\displaystyle H_{r}=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}} .

En partant de l'hamiltonien de la solution non relativisteH0 d'états propresψnlml{\displaystyle \psi _{nlm_{l}}} d'énergieEn,

H=H0−12mc2(H0−V)2{\displaystyle H=H_{0}-{\frac {1}{2mc^{2}}}(H_{0}-V)^{2}},

oùV représente le potentiel, lathéorie des perturbations permet d'écrire :

ΔEnlmlrel=−12mc2⟨ψnlml|(H0−V)2|ψnlml⟩{\displaystyle \Delta E_{nlm_{l}}^{\mathrm {rel} }=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left\langle \psi _{nlm_{l}}|(H_{0}-V)^{2}|\psi _{nlm_{l}}\right\rangle }.

Ainsi :

ΔEnlmlrel=−12mc2(En2−2En⟨ψnlml|V|ψnlml⟩+⟨ψnlml|V2|ψnlml⟩){\displaystyle \Delta E_{nlm_{l}}^{\mathrm {rel} }=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle \psi _{nlm_{l}}|V|\psi _{nlm_{l}}\rangle +\langle \psi _{nlm_{l}}|V^{2}|\psi _{nlm_{l}}\rangle \right)}.

Dans le cas d'unhydrogénoïde, le potentiel est coulombien et les états propres non perturbés sont desharmoniques sphériques. L'expression ci-dessus devient :

ΔEnlmlrel=−(Zα)2n(1l+1/2−34n)|En|{\displaystyle \Delta E_{nlm_{l}}^{\mathrm {rel} }=-{\frac {(Z\alpha )^{2}}{n}}\left({\frac {1}{l+1/2}}-{\frac {3}{4n}}\right)|E_{n}|}.

Couplage spin-orbite

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Origine du terme perturbatif

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Lamécanique quantique relativiste fait apparaître, entre autres, le fait que les électrons possèdent un spin. Celui-ci engendre unmoment magnétique de spin

Ms→=qmeS→{\displaystyle {\vec {M_{s}}}={\frac {q}{m_{e}}}{\vec {S}}}.

Comme l'électron se déplace dans un environnement où règne lechamp électrique créé par les charges dunoyau et des autresélectrons, d'après larelativité restreinte, l'électron, dans son référentiel, perçoit unchamp magnétique appeléchamp motionnel :

B′→=−v→∧E→c2{\displaystyle {\vec {B'}}=-{\frac {{\vec {v}}\wedge {\vec {E}}}{c^{2}}}}.

L'énergie associée à cette interaction est donc

Wso=−Ms→⋅B′→{\displaystyle W_{so}=-{\vec {M_{s}}}\cdot {\vec {B'}}}.

Comme le référentiel de l'électron est en rotation et nongaliléen, le calcul du champ motionnel nécessite de faire deux changements de référentiels (un en translation et un en rotation)[2]. Le calcul fait par Thomas donne

Wso=12me2c21rdVdrL→⋅S→{\displaystyle W_{so}={\frac {1}{2m_{e}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{{\mathrm {d} }r}}{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}} ,

avecL→{\displaystyle {\vec {L}}} lemoment cinétique de l'électron autour dunoyau etS→{\displaystyle {\vec {S}}} lemoment cinétique despin de l'électron.

Il est commun de noter ce terme

Wso=ξ(r)L→⋅S→  avec  ξ(r)=12me2c21rdVdr{\displaystyle W_{so}=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}{~~{\textrm {avec}}~~}\xi (r)={\frac {1}{2m_{e}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{{\mathrm {d} }r}}} ,

ce qui permet de mettre en valeur le terme purement radial.

Calcul en perturbation

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Dans l'hypothèse où ce terme apporte une contribution faible à l'énergie devant le terme principalH0{\displaystyle H_{0}}, on peut le traiter en perturbation. Mais auparavant, il convient de remarquer que le termeL→⋅S→{\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\vec {S}}} necommute pas avecL→{\displaystyle {\vec {L}}} etS→{\displaystyle {\vec {S}}}. Il est donc indispensable de trouver un nouvelEnsemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC). Pour ce faire, lemoment cinétique total

J→ =def∑L→  ⇔  J→=L→+S→{\displaystyle {\vec {J}}~{\stackrel {\textrm {def}}{=}}\sum {\vec {L}}~~\Leftrightarrow ~~{\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}

est utilisé en lieu et place de chaquemoment cinétique et le nouvel ECOC devientH,L2,S2,J2,Jz{\displaystyle H,L^{2},S^{2},J^{2},J_{z}}[3]. La base des vecteurs propres communs devient alors|ψnlsjmj⟩{\displaystyle \left|\psi _{nlsjm_{j}}\right\rangle } avecmj=ml+ms{\displaystyle m_{j}=m_{l}+m_{s}}. Il en résulte

J2=L2+S2+2L→⋅S→  ⇔  L→⋅S→=12(J2−L2−S2){\displaystyle J^{2}=L^{2}+S^{2}+2{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}~~\Leftrightarrow ~~{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}={\frac {1}{2}}\left(J^{2}-L^{2}-S^{2}\right)} ,

d'où

Wso=12ξ(r)(J2−L2−S2){\displaystyle W_{so}={\frac {1}{2}}\xi (r)\left(J^{2}-L^{2}-S^{2}\right)}.


Lathéorie des perturbations permet d'écrire :

ΔEnlsjso=12⟨ψnlsjmj|ξ(r)(J2−L2−S2)|ψnlsjmj⟩{\displaystyle \Delta E_{nlsj}^{so}={\frac {1}{2}}\left\langle \psi _{nlsjm_{j}}\left|\xi (r)\left(J^{2}-L^{2}-S^{2}\right)\right|\psi _{nlsjm_{j}}\right\rangle } .

En posant

Anlℏ2=∫0∞|Rnl|2ξ(r)r2dr{\displaystyle {\frac {A_{nl}}{\hbar ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\left|R_{nl}\right|^{2}\xi (r)r^{2}{\mathrm {d} }r} ,

le résultat est :

ΔEnlsjso=Anl2[j(j+1)−l(l+1)−s(s+1)]{\displaystyle \Delta E_{nlsj}^{so}={\frac {A_{nl}}{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]} .

Exemple avec les alcalins

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Icis=1/2{\displaystyle s=1/2} doncs(s+1)=3/4{\displaystyle s(s+1)=3/4}.

Excepté pour les couches S, il y a une levée partielle de la dégénérescence des niveaux d'énergie. Cela se traduit par un dédoublement de ces niveaux (exemple dusodium qui possède un dédoublement de laraie d'émission jaune en deux raies respectivement à 589,0 nm et 589,6 nm).

Le barycentre des niveaux n'est pas déplacé.

Voir aussi

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Articles connexes

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Bibliographie

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Notes et références

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  1. ↑La formule peut s'obtenir empiriquement en développant au premier ordre l'énergie cinétique donnée par la relativité restreinteE = [p2c2 +m2c4]1/2 −mc2. Une dérivation cohérente dans le cadre de la physique quantique se fait à partir de l'équation de Dirac.
  2. ↑Le calcul fait dans l'approximation d'un référentiel galiléen donne un résultat erroné d'un facteur12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  3. ↑Ici le choix deJz{\displaystyle J_{z}} comparé aux autres coordonnées est purement arbitraire et n'a aucune influence sur le résultat du calcul.
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