Issu d'unefamille modeste debrahmanes orthodoxes, il estautodidacte, faisant toujours preuve d'une pensée indépendante et originale. Il apprend seul les mathématiques à partir de deux livres qu'il s'est procurés avant l'âge de seize ans, ouvrages qui lui permettent d'établir une grande quantité de résultats sur lathéorie des nombres, sur lesfractions continues et sur lesséries divergentes, tandis qu'il crée son propresystème de notation. Jugeant son entourage académique dépassé, il publie plusieurs articles dans des journaux mathématiques indiens et tente d'intéresser les mathématiciens européens à son travail par des lettres qu'il leur envoie.
Une de ces lettres, envoyée en àGodfrey Harold Hardy, contient une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considère tout d'abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis en discute longuement avecJohn Littlewood pour aboutir à la conviction que son auteur est certainement un« génie », un qualificatif souvent repris de nos jours. Hardy répond en invitant Ramanujan à venir enAngleterre ; en compagnie de Littlewood, une collaboration fructueuse en résulte.
Affecté toute sa vie par des problèmes de santé, Ramanujan voit son état empirer lors de son séjour en Angleterre, il retourne en Inde en 1919 où il meurt peu de temps après à Kumbakonam à l'âge de trente-deux ans. Il laisse derrière lui des cahiers entiers de résultats non démontrés (appelés lescahiers de Ramanujan) qui, en ce début deXXIe siècle, continuent d'être étudiés.
Ramanujan a travaillé principalement sur lesfonctions elliptiques et sur lathéorie analytique des nombres, il est devenu célèbre pour ses résultats calculatoires impliquant desconstantes telles queπ ete, lesnombres premiers ou encore la fonctionpartition d'un entier, qu'il a étudiée avec Hardy. Grand créateur de formules mathématiques, il en a inventé plusieurs milliers qui se sont pratiquement toutes révélées exactes, mais il aura fallu cent ans pour les traiter toutes : la démonstration de sa dernière formule non élucidée n'a été publiée qu'en 2019. À propos de certaines d'entre elles, Hardy, stupéfait par leur originalité, a déclaré qu’« un seul coup d'œil suffisait à se rendre compte qu'elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, car si elles avaient été fausses, personne n'aurait eu assez d'imagination pour les inventer ».
Srinivasa Ramanujan (litt. « frère cadet deRāma »)[4],[n 2] naît le àErode[6], dans l'actuel État duTamil Nadu enInde, dans la résidence de ses grands-parents maternels[5],[3]. Son père, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, né àThanjavur, travaille comme commis dans un magasin desaris. Sa mère, Komalatammal, estfemme au foyer, tout en gagnant un peu d'argent en chantant au temple. Il aura plusieurs frères, dont deux seulement survivront à la petite enfance : Lakshmi Narasimhan (1898-1946) et Thirunarayanan (1905-1978)[n 3].
À un an, il vient vivre chez son père dans une maison traditionnelle de la rue Sarangapani àKumbakonam[8] ; en 2003, cette maison a été transformée en un musée honorant ses travaux[9]. Il y passe la plus grande partie des vingt années suivantes. En, Ramanujan contracte lavariole, dont il gardera toute sa vie des cicatrices[4]. Il déménage ensuite dans la maison de ses grands-parents maternels, entre-temps installés àKanchipuram, non loin deMadras[10].
Le, Ramanujan entre à l'école élémentaire ; les deux années suivantes, sa scolarité est chaotique[10]. Sa grand-mère ayant perdu son emploi de fonctionnaire à la cour de Kanchipuram, sa mère et lui retournent à Kumbakonam, où il est inscrit à l'école primaire Kangayan. À la mort de son grand-père paternel, il est renvoyé chez ses grands-parents maternels, qui ont alors déménagé à Madras. Ne supportant pas l'école de Madras, ilfait l'école buissonnière, ce qui conduit sa famille à faire appel à la police pour s'assurer qu'il y va effectivement. Six mois plus tard, Ramanujan est de retour à Kumbakonam[11].
Dès lors, le père de Ramanujan étant accaparé par son travail, c'est sa mère qui se charge de son éducation. Elle lui enseigne notamment la tradition brahmane et lepurana, ainsi que les chants religieux, afin qu'il puisse assister à despujas[12]. Réinscrit à l'école primaire Kangayan, Ramanujan y devient un brillant élève. En, juste avant ses dix ans, il termine premier de son quartier aux examens de fin d'études primaires, en anglais, en tamoul, en géographie et en arithmétique[13]. Cette même année, Ramanujan rencontre pour la première fois les mathématiques « abstraites », lors de son passage dans l'enseignement secondaire[13].
En 1898 (il a onze ans), deux étudiants duGovernment College de Kumbakonam, un établissement d'enseignement supérieur, sont hébergés chez ses parents. Après leur avoir soutiré toutes leurs connaissances en mathématiques, il obtient d'eux le prêt de livres, en particulierPlane Trigonometry, de Sidney Luxton Loney[14],[n 4]. Dès l'âge de treize ans, il maîtrise les connaissances issues de ce livre, et redécouvre quelques théorèmes[n 5]. À quatorze ans, il reçoit l'équivalent du baccalauréat français et une bourse universitaire[14].
À quinze ans, Ramanujan emprunte à la bibliothèque duGovernment College leSynopsis of Pure Mathematics deGeorge Shoobridge Carr[n 6],[n 7], contenant plusieurs milliers de résultats d'analyse et de géométrie[n 8], mais ne donnant que quelques indications sur leurs démonstrations, ce queHardy déplorera par la suite en attribuant à cet ouvrage le style elliptique et non rigoureux de Ramanujan[18]. Cependant, c'est ce livre qui fait entrer Ramanujan dans l'univers des mathématiques[19],[20]. À dix-sept ans, il étudie en profondeur lesnombres de Bernoulli et calcule laconstante d'Euler jusqu'à15 décimales ; à cette époque, ses camarades affirment« ne le comprendre que rarement »[14],[c 2].
Diplômé de laTown Higher Secondary School de Kumbakonam en 1904, Ramanujan reçoit le prix K. Ranganatha Rao pour les mathématiques, des mains du directeur de l'école, M. Krishnaswami Iyer[n 9]. C'est ce dernier qui le recommande auGovernment College, le qualifiant d'étudiant exceptionnel. Mais à cause de sa focalisation sur les seules mathématiques, Ramanujan perd sabourse d'études et quitte le domicile familial, en, pour s'installer àVisakhapatnam. Au début de l'année 1906, il s'inscrit auPachaiyappa's College de Madras[21]. Toujours excellent en mathématiques, mais médiocre dans les autres disciplines comme la biologie[n 10], Ramanujan échoue à l'examen de et échoue à nouveau l'année suivante[22]. À partir de 1908, il n'essaie plus de suivre un cursus conventionnel, mais continue des recherches personnelles en mathématiques, tout en vivant dans une grande pauvreté matérielle. À cette époque, faute de papier, il effectue ses calculs et ses raisonnements de tête ou sur une ardoise, ne notant que les résultats définitifs sur un cahier. Il conservera cette méthode de travail toute sa vie[23] ; de plus, son isolement l'amène à se construire unsystème de notation personnel, qui rendra par la suite difficilement déchiffrable son travail[n 11].
Inquiète de ses échecs qui obscurcissent son avenir, la famille de Ramanujan décide de le marier. Le, il épouse Janaki Ammal, âgée de dix ans[26],[n 12]. Pour survivre, il prépare des étudiants à leurs examens de fin d'année, auPresidency College. Des problèmes de santé apparaissent dès la fin des années 1900. Il demande à son ami Radakrishna Iyer[n 9] de donner en cas de malheurses cahiers mathématiques au professeur Singaravelu Mudaliar, duPachaiyappa's College, ou au professeur britannique Edward B. Ross, duChristian College[n 13].
Après sa guérison, Ramanujan part en train de Kumbakonam àViluppuram, ville alors sous contrôle français et y rencontreV. Ramaswamy Aiyer[n 9], fondateur de laSociété mathématique indienne. Ramanujan, qui envisage un emploi au département des recettes où Ramaswamy travaille, lui montre ses cahiers de mathématiques. Ramaswamy le racontera plus tard[27] :« J'ai été frappé par les résultats mathématiques extraordinaires qu'ils contenaient. Je n'avais pas le cœur d'étouffer son génie en lui attribuant un poste au bas de l'échelle dans le ministère du Budget[c 3]. »
Ramaswamy envoie Ramanujan à Madras, muni de lettres de recommandation, chez des amis mathématiciens, desquels il obtient de nouvelles lettres de recommandation auprès deR. Ramachandra Rao, le secrétaire de la Société mathématique indienne. Ce dernier est impressionné par les résultats de Ramanujan, tout en émettant des doutes sur leur authenticité. C'est seulement après avoir discuté avec ce jeune prodige d'intégrales elliptiques, deséries hypergéométriques et deséries divergentes, qu'il est convaincu de ses capacités[29]. Ayant demandé à Ramachandra un emploi et un soutien financier, Ramanujan est envoyé àMadras, où il peut continuer ses recherches, tandis que Ramaswamy l'aide à publier ses résultats dans leJournal of theIndian Mathematical Society[30],[31].
L'une de ses premières contributions à ce journal est un problème qui demande de déterminer la valeur d'unradical imbriqué infini, un objet certes inhabituel, mais qui ne devrait pas effrayer un mathématicien. Pourtant, après six mois, n'ayant toujours reçu aucune solution, il publie la réponse, ainsi que quelques indications sommaires pour l'obtenir[32].
En 1911, Ramanujan écrit pour leJournal un article de dix-sept pages sur lesnombres de Bernoulli, contenant plusieurs théorèmes et conjectures[33]. À cette époque, son style d'écriture laisse encore beaucoup à désirer. Comme l'écrivait M. T. Narayana Iyengar[n 9], l'éditeur duJournal,« Les méthodes de M. Ramanujan étaient si laconiques et nouvelles, et sa présentation si peu claire et si imprécise, que le lecteur mathématicien ordinaire, peu habitué à une telle gymnastique intellectuelle, pouvait difficilement le suivre[34],[c 4]. »
En, Ramanujan obtient finalement un poste permanent de comptable auprès du Trésorier général de Madras, un travail lui laissant assez de loisirs pour se consacrer complètement aux mathématiques[35].
Prise de contact avec les mathématiciens britanniques
À la fin de, Narayana, Ramachandra etEdgar William Middlemast tentent de présenter les travaux de Ramanujan à des mathématiciens britanniques.Micaiah John Muller Hill, de l'University College de Londres, trouve les articles de Ramanujan trop lacunaires[36] et affirme que, bien que Ramanujan« ait du goût pour les mathématiques, et de réelles capacités »[c 5], il manque des bases nécessaires pour être accepté par ses confrères mathématiciens[n 14],[n 15]. Même si Hill ne propose pas de prendre Ramanujan comme étudiant, il lui offre des conseils professionnels détaillés sur son travail. Aidé par ses amis, Ramanujan écrit alors des lettres aux mathématiciens les plus prestigieux de l'université de Cambridge[37].
Les deux premiers,Henry Frederick Baker etErnest William Hobson, renvoient les articles de Ramanujan sans commentaires[38]. Le, Ramanujan envoie alors àGodfrey Harold Hardy une lettre de neuf pages, que ce dernier prend d'abord pour une mystification[n 16] : Hardy reconnaît bien certaines des formules qui y figurent, mais d'autres lui« semblent à peine croyables »[40],[c 6]. En particulier, la plupart des étrangesfractions continues de la dernière page du manuscrit laissent Hardy perplexe, avouant qu'il n'avait« jamais vu auparavant quoi que ce soit qui leur ressemble même vaguement »[c 7]. Il fait à leur sujet cette remarque, aujourd'hui devenue célèbre :« Ces théorèmes doivent être vrais, car s'ils n'étaient pas vrais, personne n'aurait assez d'imagination pour les inventer »[41],[c 8].
Hardy demande alors à son collègueJ. Littlewood de lire ce manuscrit[n 17]. Stupéfié, ce dernier affirme qu'il ne peut provenir que d'un« homme de génie »[44],[c 9], un qualificatif souvent repris de nos jours[45],[n 18]. Hardy déclarera à la mort de Ramanujan que cette lettre est« sûrement la plus remarquable qu'il a jamais reçue »[c 10] et montre que son auteur est« un mathématicien de toute première qualité, un homme d'une puissance et d'une originalité exceptionnelles »[40],[c 11].
Le, Hardy répond à Ramanujan ; il lui exprime son intérêt pour son travail et lui signale qu'il est« essentiel qu'il examine la démonstration de certains résultats »[47],[c 12]. Avant même que sa lettre n'arrive à Madras, Hardy contacte lebureau de l'Inde dans le but d'organiser un séjour de Ramanujan à Cambridge. Arthur Davies, secrétaire du comité d'aide aux étudiants indiens, rencontre Ramanujan au début de 1914 pour discuter des détails de ce séjour, mais pour ne pas contrevenir à son éducation brahmane[n 19] et pour ne pas heurter sa famille[n 20], Ramanujan refuse de quitter son pays pour« une terre étrangère »[49],[c 13]. Cependant, il a entre-temps envoyé à Hardy une seconde lettre remplie de théorèmes, dans laquelle il écrit :« J'ai trouvé en vous un ami qui examine mes travaux avec bienveillance »[50],[c 14].Gilbert Walker, qui travaille alors avec Hardy auTrinity College, étudie alors les travaux de Ramanujan, exprimant lui aussi son étonnement, et insiste pour que le jeune homme vienne travailler à Cambridge[51].
À la suite de sa décision de rester en Inde[n 20], Narayana et Ramachandra réunissent le bureau d'études mathématiques de l'université de Madras pour discuter de« ce qu'on pouvait faire pour Ramanujan »[52],[c 15]. Le bureau décide de lui attribuer une bourse de recherche de75 roupies par mois durant deux ans, soit plus du double de son salaire de comptable[53]. Durant cette période, Ramanujan continue de proposer des articles auJournal of the Indian Mathematical Society. Ainsi, Narayana publie certains théorèmes sur lasommation de séries divergentes, en les lui attribuant[54] ; une autre série de théorèmes publiés dans ce journal porte sur le calcul d'intégrales définies. Ramanujan généralise une méthode due àGiuliano Frullani[55].
Après que Ramanujan a décliné l'invitation de Hardy, la correspondance avec celui-ci se gâte quelque peu. Hardy propose alors à E. H. Neville, un collègue donnant des conférences à Madras, de superviser les travaux de Ramanujan, et d'essayer de le convaincre de venir[56]. Cela se révèle inutile, car entre-temps la mère de Ramanujan fait un rêve dans lequel ladéesse familialeNamagiri Thayar lui a recommandé de « ne plus s'interposer entre son fils et l'accomplissement de son destin »[57],[58],[c 16]. Ramanujan s'embarque alors pour l'Angleterre en laissant sa femme, alors âgée de quinze ans, à la garde de ses parents[59],[n 21].
Ramanujan arrive à Londres le après un mois de traversée ; il est accueilli par Neville qui le loge chez lui à Cambridge, et il commence aussitôt à travailler avec Hardy et Littlewood[60]. Au bout de six semaines, Ramanujan emménage à Wheewell's Court, à cinq minutes à pied du logement de Hardy[61], et ce dernier et Littlewood peuvent étudier ses cahiers. Hardy a déjà reçu120 formules et théorèmes dans les deux premières lettres, mais les cahiers en contiennent beaucoup plus. Certains sont faux[n 22], et d'autres sont déjà connus, mais la majorité constitue des découvertes importantes[63], leur faisant à tous deux une forte impression. Littlewood commente« qu'il le croit au moins du calibre d'unJacobi »[c 17] tandis que Hardy« ne peut le comparer qu'àEuler ou à Jacobi »[64],[c 18]. Hardy, qui aimait classer lesmathématiciens sur une échelle de 1 à 100, s'attribuera par la suite 25, donnera 30 à Littlewood, 80 àDavid Hilbert et 100 à Ramanujan[n 23].
Hardy et Ramanujan ont des personnalités contrastées, et leur collaboration voit s'affronter des cultures, des croyances et même des styles de travail opposés. Les décennies précédentes ont connu en Occident unecrise des fondements des mathématiques, rendant nécessaire uneapproche rigoureuse des démonstrations, dont Hardy est un fervent partisan[n 24], alors que Ramanujan compte sur son instinct et ses intuitions fulgurantes. Hardy fera de son mieux pour combler les lacunes dans l'éducation de Ramanujan et pour le convaincre d'appuyer ses résultats sur des preuves rigoureuses, sans pour autant brider son inspiration ; le conflit entre les deux approches est pénible à chacun, et Hardy déplorera par la suite à plusieurs reprises que Ramanujan n'ait pas reçu une éducation plus traditionnelle, qui lui aurait peut-être« permis de devenir le plus grand mathématicien de son temps »[40],[c 20] ; il fait cependant remarquer qu'il n'a pas pris le temps de lui demander d'où provenaient exactement ses connaissances, car, dit-il,« pourquoi lui aurais-je demandé s'il connaissait tel ou tel résultat, quand il me montrait pratiquement chaque jour une demi-douzaine de nouveaux théorèmes[67],[c 21] ? »
Ramanujan reçoit unBachelor of Science « de recherche » (grade disparu correspondant auPh. D. actuel) en mars 1916 pour son travail sur lesnombres hautement composés, travail dont la première partie a été publiée dans lesProceedings of theLondon Mathematical Society[68]. Cet article de plus de60 pages démontre de nombreuses propriétés de ces nombres ; Hardy remarquera« qu'il s'agissait d'un travail de recherche des plus inhabituels, et que Ramanujan y avait fait preuve d'une ingéniosité extraordinaire »[68],[c 22].
Au total, Ramanujan passe près de cinq ans à Cambridge, y publiant beaucoup de ses découvertes, dans une vingtaine d'articles réunis après sa mort en un livre par Hardy et ses collaborateurs[62] ; laPremière Guerre mondiale n'empêche pas ces articles de susciter une grande attention, car ils ouvrent de nouvelles pistes de recherche[40].
Durant toute sa vie, Ramanujan a été tourmenté par des problèmes de santé. Son état s'aggrave en Angleterre, peut-être en raison du climat, et des difficultés à maintenir le strict régime végétarien exigé par sonbrahmanisme orthodoxe, au milieu des restrictions dues à la guerre entre 1914 et 1918. Diagnostiquétuberculeux, et souffrant d'un déficit sévère envitamines, il fréquente plusieurs établissements hospitaliers à partir de 1917, avant d'être admis ensanatorium àPutney, où Hardy lui rend des visites fréquentes[70]. En février 1918, très déprimé, affaibli et démoralisé, semble-t-il, par la nourriture proposée dans ces établissements[71], le jeune mathématicien tente de se suicider en se jetant sous les roues d'une rame dumétro londonien[n 25]. Cependant, à partir du printemps 1918, une succession de bonnes nouvelles, dont son admission à la Royal Society, lui redonne le moral, tandis que la fin de la guerre en novembre lui permet d'envisager un retour en Inde[74].
En mars 1919, apparemment en meilleure santé, mais encore fragile, il retourne àKumbakonam rejoindre sa femme et ses parents ; sa réputation (due aux honneurs reçus en Angleterre) l'a précédé, et on lui propose en particulier un poste de professeur d'université à Madras, qu'il déclare accepter dès qu'il sera complètement guéri[75] ; cependant, peut-être à cause de la chaleur excessive, il recommence à s'affaiblir durant l'été, ce qui ne l'empêche pas de continuer à produire de nouveaux résultats mathématiques[n 26], mais ses derniers mois sont assez pénibles[n 27] ; il meurt le, à l'âge de32 ans[77],[78].
En 1994, une analyse des dossiers médicaux et des symptômes de Ramanujan par le docteur D. A. B. Young[79] amène ce dernier à conclure que sa maladie ressemblait beaucoup plus à uneamœbose hépatique (une maladie alorsendémique à Madras) qu'à la tuberculose. En effet, Ramanujan avait connu deux épisodes dedysenterie avant de quitter l'Inde. Or lorsqu'elle n'est pas correctement traitée, la dysenterie peut effectivement devenir chronique, et conduire à une amœbose[80], alors que correctement diagnostiquée (mais les erreurs n'étaient alors pas rares), la maladie aurait pu être soignée et même guérie à cette époque[80],[81].
Temple de Sarangapani àKumbakonam, où Ramanujan et sa famille offraient des prières àVishnou[82].
Ramanujan est décrit par ses amis indiens comme amical et tranquille, capable de plaisanter entamoul et en anglais ; sa passion pour les mathématiques lui donne un charme et une innocence que tous lui reconnaissent, et lui attire des amis désireux de l'aider[83]. ÀCambridge, son entourage en parle comme d'un compagnon au caractère timide et calme, mais s'animant d'un enthousiasme communicatif lorsqu'il expose ses idées mathématiques ou philosophiques en petit comité ; c'est un personnage digne aux manières agréables et à l'existence spartiate[84].
Les premiers biographes indiens de Ramanujan insistent sur sonhindouisme rigoureusement orthodoxe, et affirment qu'il attribue sa capacité de réflexion à sadéesse familiale,Namagiri Thayar, qu'il compte sur elle pour l'inspirer dans son travail[85] et qu'il prétend avoir rêvé de gouttes de sang symbolisant son époux,Narasimha,avatar deVishnou, après avoir reçu les visions de rouleaux de formules mathématiques complexes se déroulant sous ses yeux[86]. Selon ces biographes, Ramanujan dit souvent :« Une équation pour moi n'a aucune signification, à moins qu'elle ne représente une pensée de Dieu[87],[88],[c 23]. »
Cependant, Hardy tenait à ce qu'on ne considère pas Ramanujan comme un mystique dont les inspirations mathématiques proviendraient« d'une mystérieuse et immémoriale sagesse orientale »[89],[c 24], le décrivant au contraire comme« un être humain rationnel qui se trouvait être un grand mathématicien »[89],[c 25] ; il cite (en insistant sur l'étonnement qu'elles lui ont causé) des remarques de Ramanujan qui montrent que toutes les religions« lui semblaient plus ou moins également vraies »[89],[c 26]. Hardy en déduisait que la piété de Ramanujan avait été idéalisée par les Occidentaux et exagérée par ses biographes indiens ; il n'évoquait pourtant là que ses croyances et non ses pratiques religieuses, se plaignant au contraire des conséquences regrettables de son observance stricte duvégétarisme sur sa santé et peut-être sur son travail[18].
Ramanujan est célèbre pour son extraordinaire productivité en matière de formules.Hardy a déclaré, faisant allusion àLeonhard Euler, lui aussi grand créateur deformules remarquables, qu'il« était né150 ans trop tard »[62],[c 27], et, concernant la lettre qu'il lui avait envoyée en 1913, que les formules qu'elles contenaient ne pouvaient qu'être justes« car, si elles étaient fausses, personne n'aurait eu une imagination suffisante pour les inventer[93],[c 8] ».
Répartis danstrois cahiers, ainsi que sur un ensemble de feuillets épars redécouvert en 1976, et appelé le « cahier perdu », pour un total d'environ700 pages[94], plusieurs milliers de ses résultats ont été analysés et désormais tous démontrés (parfois à l'aide d'outils informatiques)[n 29] : très peu sont faux (le plus souvent à la suite d'erreurs de copie) et les deux tiers sont originaux[96],[97],[98],[99]. Ramanujan ne disposant pas de certaines théories, inconnues ou en cours de développement au début duXXe siècle, comme lathéorie analytique des nombres, et ignorant même des résultats fondamentaux de l'analyse complexe, comme lethéorème des résidus[100],[n 30], les méthodes qui lui ont permis de découvrir une telle quantité de formules et de théorèmes restent obscures[96],[n 31]. Les sections suivantes donnent une idée de la variété de ces formules[n 32].
La première lettre de Ramanujan à Hardy, datée du, est constituée essentiellement de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy en reconnut certains, mais d'autres lui« semblaient à peine croyables[40] ». Ainsi, au bas de la page 3, figure l'identité suivante :
valable pour0 <a <b +1/2, et où lafonction gammaΓ, due àEuler, généralise aux réels lafactorielle (elle vérifie et pour les entiers). Ce résultat avait déjà été obtenu parGustav Conrad Bauer en 1859, mais Hardy l'ignorait à l'époque.
Hardy a également été fort impressionné par certaines des séries infinies manipulées par Ramanujan, par exemple les deux suivantes :
dans lesquelles les coefficients sont enprogression arithmétique (1, 5, 9, 13,… et 1, 9, 17, 25,…). Hardy put redémontrer ces résultats à l'aide de propriétés desséries hypergéométriques prolongeant les travaux d'Euler et deGauss, mais il trouva néanmoins qu'ils étaient« beaucoup plus surprenants » que ceux de Gauss[106].
Deux exemples spectaculaires de la créativité de Ramanujan sont les formules suivantes :
reliante,π et lenombre d'or, (cette formule figurait dans sa première lettre à Hardy, et faisait partie de celles qui« ne ressemblaient à rien de ce qu'il connaissait »[c 7],[107],[n 33]), et une autre mettant en jeue etπ[n 34] :
Les frèresJonathan etPeter Borwein ont démontré en 1987 un ensemble de formules que Ramanujan avait découvertes en 1910 et qui figuraient dans son premier article publié en Angleterre (sans aucune démonstration, et avec seulement quelques vagues indications sur leur origine)[109],[110],[111], dont la plus surprenante (et d'ailleurs la plus efficace) est :
Cette formule fournit huit décimales supplémentaires de 1/π à chaque nouveau terme de la série (et produit dès le premier terme l'excellente approximation, vraie à 10–7 près).
Hardy a fait remarquer que les résultats de Ramanujan cachent souvent des théories plus profondes qu'il n'y paraît[112] ; ainsi, le résultat précédent proviendrait de l'étude du « discriminant fondamental »[n 35]d = −4 × 58 = −232 denombre de classesh(d) = 2 et serait lié à la « coïncidence numérique » (on a en effet26390 = 5 × 7 × 13 × 58,16 × 9801 = 3962 et1103 = 19 × 58 + 1)[110].
Dans un genre un peu différent, il découvrit également plusieurs identités permettant de construire des exemples de sommes de trois cubes égales à un cube[116], comme celle-ci :
qui généralise la curieuse coïncidence numérique 33 + 43 + 53 = 63 =216 pourx = 1 ety = 0 ; elles sont aisées à vérifier par un simple développement algébrique, mais semblent difficiles à obtenir sans disposer d'une théorie générale ; là encore, on ignore si Ramanujan en possédait une (la question pourrait avoir un rapport avec la théorie desnombres taxicab)[n 38].
Dans son premier article écrit à Cambridge[111], Ramanujan fournit d'étonnantes approximations numériques (en précisant l'erreur commise, mais avec très peu de justifications), telles que
(à 10–18 près, c'est-à-dire avec 18 décimales exactes).
Ramanujan faisait preuve d'une extraordinaire mémoire des nombres et de leurs propriétés[n 41].Hardy rapporte à ce sujet l'anecdote suivante, devenue célèbre[93],[120],[n 42] :
« Je me souviens que j'allais le voir une fois alors qu'il était malade, àPutney. J'avais pris un taxi portant le numéro1729 et je remarquais que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe. — Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes[c 29]. »
En effet,. Et Hardy, citantLittlewood, conclut (après avoir tout de même remarqué que Ramanujan ignorait la réponse à la même question pour les puissances quatrièmes[n 43]) qu'il donnait l'impression que« chaque entier naturel était un de ses amis personnels »[c 30],[121],[n 44],[n 45].
Faute de papier, Ramanujan a pris en Inde l'habitude d'effectuer ses calculs et ses raisonnements de tête ou sur une ardoise, ne notant que les résultats définitifs ; il conserve cette méthode de travail toute sa vie, remplissant ainsi en tout trois cahiers (contenant près de quatre mille formules sur plus de sept cents pages[94]) qu'il transporte partout avec lui[23],[n 47].
Après sa mort, Thirunarayanan, son plus jeune frère, réunit certaines de ses notes manuscrites[123], et Janaki Ammal, sa femme, fait don de l'ensemble de ses cahiers et de ses notes à l'université de Madras, où les trois cahiers sont conservés actuellement[124] ; en, le secrétaire général de l'université, Francis Drewsbury, envoie la plus grande partie de ces documents àHardy[125].
Hardy écrit, en juin 1920, un article nécrologique dansNature[40], et, l'année suivante, une nécrologie plus détaillée pour laLondon Mathematical Society ; il y affirme, ce qui va s'avérer prophétique, qu'il faudra au moins vingt années pour qu'on mesure tout ce qu'a apporté Ramanujan[78]. Il commence alors, en collaboration avec S. Aiyar etBertram Martin Wilson, à réunir et à éditer ses textes publiés dans divers journaux indiens ou anglais ; l'ensemble (37 articles en tout) est publié en 1927[62]. En 1937, Hardy écrit pourThe American Mathematical Monthly un article,The Indian Mathematician Ramanujan[126], racontant les circonstances de leur rencontre et se consacrant surtout à ses travaux, puis donne une série de conférences en Angleterre et aux États-Unis, qu'il réunit dans un livre publié en 1940[15].
À une date indéterminée (probablement après 1935), Hardy transmet les cahiers (et des manuscrits épars) àGeorge Neville Watson, lequel, en collaboration avec Wilson, avait commencé à travailler sur un projet d'édition, mais qui semble s'être désintéressé de ce projet après la mort de Wilson en 1935[94].
Après la mort de Watson en 1965,John Macnaghten Whittaker (le fils de son amiEdmund Whittaker) inspecte ses archives (avant leur incinération quelques jours plus tard) et découvre[n 48] un ensemble de138 feuillets de la main de Ramanujan, queRankin et lui envoient à la bibliothèque duTrinity College en décembre 1968.George Andrews en entend parler parLucy Joan Slater, et l'y redécouvre à son tour au printemps de 1976, comme il en fait le récit en 2012, pour les célébrations du150e anniversaire[n 49]. C'est à partir de ce moment que cet ensemble est connu sous le nom de « cahier perdu » (lost notebook)[125],[n 50],[n 51].
À partir de 1977 et pendant plus de vingt ans,Bruce Carl Berndt se consacre à l'édition commentée des trois cahiers (appelés désormaiscahiers de Ramanujan[n 52]), en cinq volumes totalisant plus de 1 800 pages[130]. En tout, les cahiers contiennent près de 3 900 « assertions »[n 53], le plus souvent sans aucune démonstration. Berndt et ses collaborateurs, notamment les mathématiciensGeorge Andrews,Richard Askey etRobert Rankin, s'attellent soit à les démontrer, soit à chercher des références dans la littérature existante ; Berndt peut également s'appuyer sur les notes que Watson et Wilson ont prises dans les années 1930 pour leur projet abandonné d'édition. Entre 2005 et 2018, il publie une édition commentée, en cinq autres volumes, des résultats du « cahier perdu »[125], en étant cette fois aidé également parKen Ono, qui, comme Andrews, est un spécialiste desformes modulaires sur lesquelles ces résultats portent pour l'essentiel[130].
Dès l'annonce de sa mort, Hardy déclare :« Ce qu'il a réussi à faire [malgré ses handicaps] est déjà merveilleux [...] lorsque les recherches que ses travaux ont inspirées seront achevées, ceux-ci sembleront bien plus merveilleux encore[40],[c 31]. » Plusieurs des pistes ouvertes par Ramanujan sont explorées au cours des vingt années suivantes[n 54] ; Hardy décrit certaines de ces avancées dans ses conférences de la fin des années 1930, qu'il réunit dans un livre publié à Cambridge en 1940[15].
Cependant, vers la fin des années 1950, les travaux de Ramanujan tombent dans un oubli relatif[132], et les carnets, publiés par leTata Institute en 1957, mais difficilement déchiffrables[n 55], restent confidentiels[25]. Une importante avancée résulte pourtant de travaux sur laconjecture de Ramanujan à partir de 1965, culminant dans la démonstration de la conjecture parPierre Deligne en 1974[134]. Les idées de Ramanujan donnent naissance à de féconds développements (utilisant en particulier les nouveaux outils de lagéométrie algébrique), rattachant cette conjecture apparemment très spécialisée à de nombreuses et importantes questions ouvertes, telles que leprogramme de Langlands[134]. De manière peut-être plus anecdotique, la conjecture a permis la construction explicite de certainsgraphes, auxquels on a justement donné le nom degraphes de Ramanujan[135].
Au début des années 1980, les travaux deBruce Carl Berndt sur les résultats des trois cahiers, ainsi que la découverte du « cahier perdu », amènent à prendre conscience que, comme le disaitFreeman Dyson,« la plupart des conjectures de Ramanujan n'étaient pas seulement de jolies formules, mais avaient de la consistance et de la profondeur »[129],[c 32]. En particulier, l'importance des dernières découvertes de Ramanujan[n 56] n'est perçue que progressivement à partir des années 1990, principalement à la suite des travaux deKen Ono[17] : celui-ci s'appuie sur certains de ces résultats pour obtenir, en 2014, un ensemble spectaculaire de nouvellesformules algébriques[136],[137]. Enfin, la démonstration de sa dernière formule non élucidée n'a été publiée qu'en 2019[95].
Cet impressionnant héritage explique le qualificatif de « visionnaire », au moins aussi souvent accolé à son nom que celui de « génie »[138]. Certains propos de Ramanujan ont contribué à entretenir le mystère[n 57], et si Hardy a insisté pour qu'on ne voie « rien de mystique » dans les conjectures qu'il a énoncées[103],Ken Ono mentionne sa perplexité devant certaines de ses prédictions, précises et détaillées, qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dont il disposait[139],[140].
En 1983, à la demande de Janaki Ammal, sa veuve,Richard Askey commissionne le sculpteur Paul Granlund pour la réalisation de bustes en bronze de Ramanujan (s'appuyant sur la photographie de son passeport). Unesubvention permet de réaliser dix bustes[n 58]. Celui promis à Janaki se trouve à présent auRamanujan Institute for Advanced Study in Mathematics (le département de mathématiques de l'université de Madras, lequel porte d'ailleurs le nom de Ramanujan depuis 1950)[143].
Plusieurs institutions décernent des distinctions mathématiques en référence à Ramanujan :
l'académie Shanmugha décerne leprix SASTRA Ramanujan à un jeune mathématicien (de moins de32 ans, l'âge de sa mort) ayant fait un travail remarquable dans les domaines de prédilection de Ramanujan :fractions continues,séries,théorie des nombres ; en partenariat avec l'université deKumbakonam, elle a par ailleurs créé en 2000 un musée et un centre universitaire consacré à sa vie et à son œuvre, leSrinivasa Ramanujan Centre[147] ;
En 2010, le collège Deshbandhu, un collège universitaire affilié à l'université de Delhi et situé dans le quartier Kalkaji dusud de Delhi, est rebaptisé collège Ramanujan[149].
Dans sonroman, intituléLe Comptable indien et publié en 2009[153], l'écrivainaméricainDavid Leavitt retrace la collaboration, sur fond de Première Guerre mondiale, entre Ramanujan et Hardy, à travers des souvenirs de ce dernier, évoqués alors qu'il entame une série de conférences sur les travaux de Ramanujan à l'occasion des célébrations du tricentenaire de l'université Harvard. Bien que centrée sur le personnage du mathématicien britannique, notamment sa jeunesse et ses relations sociales au sein de lasociété secrète desCambridge Apostles, l'œuvre du romancier décrit la figure du talentueux autodidacte indien par la présentation des rencontres faites à Cambridge par celui-ci et de divers éléments de sa biographie[154].
En 2007,Simon McBurney a écrit et dirigéA Disappearing Number, pièce de théâtre inspirée par la collaboration entre Ramanujan et Hardy[155] ; cette pièce a été en particulier jouée en France (en version originale surtitrée) auThéâtre Nanterre-Amandiers en 2008[156].
L'Homme qui défiait l'infini, film biographique de Matt Brown, 2016 (sorti en France en DVD en 2017)[158], basé sur le livre deRobertKanigel,The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan[45] ; le rôle de Ramanujan y est tenu parDev Patel.
En 2016, leministère des Affaires extérieures de l'Inde a produit un documentaire intituléSrinivasa Ramanujan - The Mathematician & His Legacy [« Srinivasa Ramanujan : le mathématicien et son héritage »][2], contenant en particulier des interviews de mathématiciens contemporains, ainsi que des reconstitutions de scènes de la vie de Ramanujan.
DansWill Hunting, Will, un génie mathématique autodidacte, est comparé à Ramanujan par le professeur Lambeau, qui l'a découvert et lui sert de mentor[159].
S. Ramanujan,Notebooks, Bombay, Tata Institute of Fundamental Research,, 2 volumes
En 2012, une seconde édition (de bien meilleure qualité, et respectant en particulier la couleur des encres utilisées par Ramanujan) a été publiée par le TIFR[163].
S. Ramanujan,The Lost Notebook and Other Unpublished Papers, New Delhi, Narosa Publishing House,[164].
Les résultats des trois cahiers, du« cahier perdu » et de la correspondance ont été analysés parBruce Carl Berndt (en collaboration avec d'autres mathématiciens, en particulierGeorge Andrews etRobert Rankin).
Bruce C.Berndt,Ramanujan's Notebooks [« Les cahiers de Ramanujan »], New York,Springer.
↑Son nom complet, Srinivasa Ramanujan (Aiyangar), est en fait composé avec le nom de son père Srinivasa, auquel on ajoute parfois son nom decastebrahmane Aiyangar (ou Iyengar) ; il signe le plus souvent S. Ramanujan, et expliquait à ses amis anglais« qu'il n'avait pas de nom de famille »[5],[c 1].
↑Trois autres enfants naissent en 1889, 1891 et 1894, mais ne vivront que quelques mois[7].
↑Contrairement à ce que pourrait laisser croireson titre, ce livre contient beaucoup d'autres formules d'analyse, par exemple sur les fonctionslogarithmes etexponentielles[15].
↑Il obtient en particulier des formules analogues auxformules d'Euler, mais, mortifié d'apprendre qu'elles sont déjà connues, cache sous le toit de sa maison les papiers où il les a notées[16].
↑L'édition que Ramanujan a utilisée était précisément intitulée :(en)George Shoobridge Carr,A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics: Containing Propositions, Formulæ, and Methods of Analysis, with Abridged Demonstrations. Supplemented by an Index to the Papers on Pure Mathematics which are to be Found in the Principal Journals and Transactions of Learned Societies, Both English and Foreign, of the Present Century,(lire en ligne).
↑Ce livre même, qui était encore exposé dans cette bibliothèque lorsqueBerndt l'avait visitée, a été volé depuis, comme le raconteKen Ono, qui espérait y trouver des notes marginales de Ramanujan[17].
↑Hardy, repris par de nombreux commentateurs, parle de 6 165 résultats, mais en réalité,Berndt ne recense dans ce livre qu'un peu plus de 4 000 théorèmes.
↑abc etdIyer (ou Aiyer, Ayyar, etc.) est le nom decastebrahmane, ce qui explique sa présence fréquente comme nom propre dans certaines sources, et les confusions qui en résultent[27].
↑Ses convictions religieuses sont heurtées par les dissections de grenouilles auxquelles on l'oblige[22].
↑Il utilise par exemple des lettres non conventionnelles pour certaines variables et fonctions[24],[25].
↑Les témoignages diffèrent sur ce mariage. Arrangé depuis déjà quelque temps, et symbolique jusqu'à la puberté de la jeune fille, il aurait failli être annulé, Ramanujan ne s'étant rendu chez ses beaux-parents que très tardivement. Cependant, une fois marié, il prit ses responsabilités de chef de famille très au sérieux, et après sa mort, sa veuve devait déployer une énergie sans faille pour que ses travaux et sa mémoire soient préservés[26].
↑Il souffre d'unhydrocèle qui sera finalement opéré gratuitement en 1910 ; l'opération le laisse affaibli et anxieux[28].
↑Bien que certaines des critiques de Hill soient judicieuses, Ramanujan devait se plaindre dans sa deuxième lettre à Hardy que Hill ait cru bon de lui conseiller un livre d'analyse élémentaire pour lui« éviter de tomber dans le piège des séries divergentes », comme si Ramanujan n'était pas capable de se rendre compte tout seul qu'écrire que n'avait aucun sens dans le langage usuel des sommes de séries ; on trouvera plus de détails dans l'articleSomme de Ramanujan.
↑Ramanujan semblait s'y attribuer des théorèmes bien connus ; de plus, l'un des résultats qu'il énonçait sur lesnombres premiers était certainement faux. Hardy devait déclarer par la suite qu'il comprenait la réaction de ses collègues, lesquels avaient certainement dû penser qu'il s'agissait d'un « illuminé » (crank) comme on en voyait si souvent[39].
↑Selon Hardy, il avait reçu la lettre au courrier du matin, y avait jeté un bref coup d'œil, estimé qu'il s'agissait d'une plaisanterie, et n'y avait plus pensé. Mais certaines des formules le hantèrent toute la journée ; il prit finalement contact avec Littlewood et ils s'isolèrent dans la soirée dans la bibliothèque de Cambridge, pour en ressortir au bout de deux heures et demi,« désormais certains qu'il s'agissait d'un homme de génie »[42].
↑Robert Kanigel a ainsi donné àla biographie qu'il a écrite le titre« The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan » [« L'homme qui connaissait l'infini : une vie du génie Ramanujan »][46].
↑Pour un brahmane orthodoxe, traverser l'océan était à cette époque un tabou connu sous le nom deKala pani.
↑a etbUne analyse plus nuancée de cette décision est donnée par Kanigel : Ramanujan aurait prétendu par la suite que son refus ne venait pas de lui, mais de son ami Narayana, cependant cette déclaration pourrait n'avoir été qu'un moyen de sauver la face[48].
↑Elle avait demandé à Ramanujan de l'accompagner, mais il avait refusé (peut-être influencé par Ramachandra), lui expliquant qu'il ne pourrait pas se concentrer sur ses mathématiques, tant elle était jeune et jolie[59].
↑Hardy remarquera par la suite que ces erreurs proviennent du manque de maîtrise par Ramanujan des techniques modernes de l'analyse, mais, ajoutera-t-il, ces échecs sont en un sens plus spectaculaires encore que ses réussites (préface de l'édition de 1927[62]) ; il reviendra sur cette remarque dans ses conférences à partir de 1937, observant que ces erreurs apparentes cachent souvent des résultats exacts plus profonds, qu'il faut découvrir[15].
↑Il explique en 1927 que les plus grands échecs de Ramanujan ont eu lieu enthéorie analytique des nombres, là où« deviner le théorème n'est presque rien, et où seule la démonstration rigoureuse permet d'éviter des erreurs [que mêmeGauss a pu commettre] »[66],[c 19].
↑Arrêté par des agents deScotland Yard, sain et sauf — le train avait été stoppé quelques mètres avant l'endroit où le jeune homme s'était laissé tomber —, il est libéré grâce à l'intervention de Hardy[72],[73].
↑L'importance de ces résultats (concernant en particulier les « fausses fonctions thêta » qu'il a construites) ne sera pleinement reconnue qu'après la redécouverte du « cahier perdu » en 1976[76].
↑Il souffre en permanence de douleurs à l'estomac, et son caractère, jusque là tranquille et optimiste, s'en ressent, mais, alité, il continue ses recherches jusqu'à ses derniers jours[77].
↑Il a en particulier découvert dans la dernière année de sa vie des fonctions analogues, les « fausses fonctions thêta » ; il a consigné dans le « cahier perdu » des formules et des conjectures à leur sujet dont l'importance n'a été vraiment reconnue qu'après la redécouverte de ce cahier en 1976[76], et qui n'étaient pas encore pleinement comprises au début duXXIe siècle[91].
↑Ce travail de vérification, s'étalant sur plus de25 ans, et achevé pour l'essentiel en 1996, est en grande partie dû àBruce Carl Berndt, avec la collaboration de plusieurs autres mathématiciens, dontGeorge Andrews et les frèresJonathan etPeter Borwein ; beaucoup de vérifications de routine ont pu être confiées àMathematica, mais Berndt attire à plusieurs reprises l'attention sur l'extraordinaire puissance de calcul de Ramanujan, lui ayant permis de découvrir et de contrôler ces résultats sans aide. La dernière de ces formules, portant sur les représentations d'entiers comme sommes de carrés, n'a été démontrée qu'en 2019[95].
↑Certaines déclarations de Ramanujan, attribuant par exemple ces formules àNamagiri Thayar, sadéesse tutélaire[102], ont contribué à entretenir le mystère. Si Hardy a insisté pour qu'on ne voie là qu'une« extraordinaire puissance de manipulations formelles, de rapidité dans la formation et le rejet d'hypothèses, et d'intuition des relations cachées entre objets apparemment sans lien »[103],Ken Ono mentionne sa perplexité devant certaines prédictions de Ramanujan, confirmées récemment par de pénibles calculs informatiques, et qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dont Ramanujan disposait[104],[105].
↑Une formule plus générale figure dans le deuxième cahier de Ramanujan (B. C. Berndt,Ramanujan's Notebooks, vol. II, entrée 43, p.166) : (pour).
↑Il s'agit du discriminant ducorps quadratique réel, c'est-à-dire du discriminant de la forme quadratique ; on trouvera une étude plus approfondie de cette notion et de ses applications dans le livre deGérald Tenenbaum :Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres[113].
↑Prendre et ; montrer laconvergence de ce radical infini n'est pas très difficile, mais obtenir le résultat de Ramanujan demande d'ingénieuses manipulations algébriques (voirune analyse plus précise dans l'articleRadical imbriqué).
↑Berndt fait remarquer qu'il n'est pas très difficile de démontrer ces formules (par exemple à l'aide d'un logiciel de calcul formel), mais que leur forme relativement simple pour ce choix précis de coefficients et de signes montre, sinon l'existence de théories profondes sous-jacentes, du moins la virtuosité de Ramanujan.
↑Hardy fait cependant remarquer que ces formules ne produisent pas toutes les solutions de ce problème, et semble les trouver plus anecdotiques que profondes[67].
↑Ces approximations sont reproduites dans le deuxième cahier de Ramanujan (B. C. Berndt,Ramanujan's Notebooks, vol. II, p.88).
↑De fait, ce nombre est lui aussipresque entier :eπ√163 = 262537412640768743,99999999999925… Cependant, sans moyens informatiques, et sans utiliser les résultats théoriques liés à ces nombres (résultats que d'ailleurs Ramanujan connaissait et qu'il avait contribué à établir pour des nombres comme), il est impossible d'obtenir une valeur approchée assez précise pour trancher la question. Lethéorème de Gelfond-Schneider montre de toute façon que ce nombre, égal à, est nécessairementtranscendant.
↑Les premières notes de ses carnets, écrites alors qu'il était encore écolier, décrivent ses recherches sur lescarrés magiques, et mentionnent en particulier sa construction d'un étonnantcarré diabolique dont la première ligne, 22 12 18 87, représente sa date de naissance[119].
↑Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635 318 657 ; il a été découvert parLeonhard Euler vers 1770, mais ce n'est qu'en 1957 queJohn Leech démontra que c'était le plus petit.
↑C'est à la suite de cette anecdote qu'on a défini unnombre taxicab (nom complet des taxis anglais de l'époque) comme un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes (d'autres nombres ayant cette propriété, comme, avaient déjà été trouvés auXVIIe siècle parBernard Frénicle de Bessy).
↑Bien que ce ne soit peut-être qu'une coïncidence, plusieurs mathématiciens ont fait remarquer que le nombre 1729 intervenait dans l'étude que Ramanujan avait fait decourbes elliptiques en relation avec une certainesurface K3[122].
↑Cette photographie, la meilleure parmi les rares que l'on possède de Ramanujan, provenant de son passeport, a été transmise à Hardy pour ce livre par sa veuve, Janaki Ammal, commeChandrasekhar (grand admirateur de Ramanujan) le racontedans ce livre de souvenirs.
↑En 2003,Bruce Carl Berndt a retracé (en s'appuyant sur la correspondance des différents acteurs) les vicissitudes de ces trois cahiers. Le premier était resté en Angleterre en 1919 ; après la mort de Ramanujan, Hardy l'envoya à l'université de Madras, qui lui en fournit une copie manuscrite, suivie de l'envoi des deux autres cahiers, ainsi que de notes éparses constituant le « cahier perdu », entre 1923 et 1925. À une date indéterminée après 1935, les cahiers (mais non les autres documents) furent retournés à Madras parGeorge Neville Watson, qui avait commencé à les exploiter, mais s'en était désintéressé[94].
↑Andrews explique alors que Whittaker et Rankin, dont les intérêts mathématiques ne vont pas dans la direction des résultats de ces documents (contrairement aux siens), ne se sont pas rendu compte de leur importance, pensant qu'il s'agit de notes éparses de Ramanujan et non d'un ensemble cohérent couvrant ses dernières recherches[128].
↑Cette appellation, due à Andrews, a été contestée[125], Rankin expliquant par exemple que ce n'était pas un cahier, et que, bien classé dans la bibliothèque Wren de Cambridge, il n'était pas perdu ; Andrews faisait cependant remarquer que des documents dont on avait ignoré l'existence durant55 ans pouvaient légitimement être nommés ainsi[129].
↑Berndt considère la découverte du « cahier perdu » comme essentielle dans le renouveau d'attention pour Ramanujan au début des années 1980 ; Emma Lehmer a ainsi déclaré que sa découverte« était comparable à celle d'une esquisse complète de la dixième symphonie de Beethoven »[129].
↑Parfois mentionnés comme les« cahiers effilochés de Ramanujan » (Ramanujan' frayed notebooks) en raison de leur état d'usure[124].
↑Le nombre exact n'est pas tout à fait clair, d'une part à cause de répétitions, d'autre part parce que certaines « formules » regroupent plusieurs résultats similaires[131].
↑L'écriture de Ramanujan est généralement lisible, mais il a développé un système de notations personnelles, utilisant par exemple des lettres inhabituelles pour certaines constantes et variables[133], qui ne permettent pas toujours de se rendre compte de l'importance des résultats obtenus[25].
↑Consignés pour l'essentiel dans le « cahier perdu », il s'agit de résultats concernant lesfonctions thêta et des fonctions analogues qu'il a construites, les « fausses fonctions thêta » ; certains de ces résultats n'ont été confirmés qu'en 2012 par des calculs informatiques, mais on n'en possède encore que des justifications théoriques partielles[105].
↑Lors d'une interview, en 1978, Janaki a déclaré :« On m'avait promis d'ériger une statue en souvenir de mon mari. Où est-elle[141],[c 33] ? » C'est en lisant cette interview que Richard Askey décide de faire réaliser ces bustes[142].
↑« We, including teachers, rarely understood him. »
↑« I was struck by the extraordinary mathematical results contained in it. I had no mind to smother his genius by an appointment in the lower rungs of the revenue department. »
↑« Mr. Ramanujan's methods were so terse and novel and his presentation so lacking in clearness and precision, that the ordinary [mathematical reader], unaccustomed to such intellectual gymnastics, could hardly follow him. »
↑« It is comparatively easy to make clever guesses, but nothing short of absolute rigour counts. »
↑« He might have become the greatest mathematician of his time. »
↑« It seemed ridiculous to worry him about how he had found this or that known theorem, when he was showing me half a dozen new ones almost every day. »
↑« This long memoir represents work, perhaps, in a backwater of mathematics, […] it shows very clearly Ramanujan’s extraordinary mastery over the algebra of inequalities. »
↑« An equation for me has no meaning unless it represents a thought of God. »
↑« some mysterious manifestation of the immemorial wisdom of the East. »
↑« a rational human being who happened to be a great mathematician. »
↑« all religions seemed to him more or less equally true. »
↑« It was (so to say) what the theory might be if the zeta function had no complex zeros. ».
↑« I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. “No, he replied, it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways”. »
↑« every positive integer was one of his personal friends. »
↑« What he did actually is wonderful enough [...] when the researches which his work has suggested have been completed, it will probably seem a good deal more wonderful than it does today. »
↑« So much that he conjectured was not just pretty formulas but had substance and depth. »
↑« They said years ago a statue would be erected in honor of my husband. Where is the statue? »
↑a etbÉdouard Thomas, « Les mystérieux carnets de Ramanujan enfin décryptés »,Maths Société Express, Comité international des jeux mathématiques (www.cijm.org),,p. 57 à 62.
(en)Godfrey Harold Hardy,Ramanujan, Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work [« Ramanujan, douze conférences sur des sujets concernant sa vie et son œuvre »], Cambridge University Press,
(en)John Edensor Littlewood,A Mathematician's Miscellany [« Réflexions diverses d'un mathématicien »], Londres, Methuen,(lire en ligne) (chapitre 9 :Review of Ramanujan's Collected Papers, pages 84 à 90)
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