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Engéométrie plane, lesspirales forment une famille decourbes d'allure similaire : une partie de la courbe semble s'approcher d'un point fixe tout en tournant autour de lui, tandis que l'autre extrémité semble s'en éloigner.
Une courbe plane dont l'équation polaire est du type oùf est unefonction monotone, est une spirale[1].
On trouve aussi le terme de spirale pour des courbes en dimension trois qui tournent autour d'un axe en s'en éloignant ou s'en rapprochant comme lesspirales coniques (en) ou en restant à distance fixe comme l'hélice circulaire.
La forme de la spirale apparait dans de nombreux aspects de la nature, comme laspirale de Fibonacci et l'escargot de Pythagore. Elle a inspiré les artistes et les écrivains de toutes les époques.
Étudiées déjà auIIIe siècle av. J.-C., comme le résultat d'un mouvement mécanique d'un point se déplaçant sur une droite qui tourne autour d'un point[2], elles s'enrichissent de nouvelles courbes aux formes diverses rencontrées au gré des problèmes géométriques et physiques que se posent les mathématiciens.
Ainsi, il est difficile de trouver une définition générale d'une spirale. Les auteurs semblent s'accorder sur l'idée qu'il s'agit de la trajectoire d'un point tournant autour d'un centre tout en s'en éloignant (ou s'en rapprochant).
Une spire est alors la portion de courbe parcourue par le point quand il effectue un tour complet autour du centre.
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| Spirale d'Archimède: elle démarre à l'origine et part vers l'infini en une infinité de spires régulièrement espacées | Spirale logarithmique: elle s'enroule infiniment vers l'origine et vers l'infini en une infinité de spires d'espacement croissant. | Une spirale algébrique dont l'équation polaire est oùf est une fonction positive décroissante (). L'enroulement des spires a changé de sens. |
Certains auteurs ajoutent des conditions supplémentaires : elles ne peuvent ni se fermer ni se terminer, une droite les coupe en une infinité de points[4], elles sont définies sur un intervalle non borné[6], elles sont declasse de régularité importante[7]. On les imagine parfois sans début ni fin, ou ayant une infinité de spires...Mais ni ces définitions, et encore moins ces restrictions ne peuvent couvrir l'ensemble des courbes que leur découvreurs ont appelées spirales.
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| Spirale hyperbolique: elle possède une droite asymptote et certaines droites du plan ne la rencontrent pas | Une spirale algébrique dont l'équation polaire est pourθ positif. Elle démarre à l'origine et possède le cercle unité comme asymptote. | Spirale de Théodore formée de segments de droites qui n'est pas une courbe de classe C1 |
On trouve même des courbes portant le nom de spirale et ne respectant pas la condition première de s'éloigner constamment d'un point central. On trouve même des spirales tournant successivement autour de deux centres ou des courbes qui n'ont de spirale que le nom. L'étude desfractales offre aussi de beaux exemples de développements de spirales.
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| Spirale de Fermat: les spires s'approchent puis s'éloignent du point central | Spirale de Cornu: elle s'enroule autour de deux centres | Unespirale de Cotes en forme d'épi | Ensemble de Julia: développement defractale en spirale. |
Parmi les courbes définies par leur équationon distingue deux grandes familles principales de spirales[8] :
Dans la première famille, on trouve laspirale d'Archimède, laspirale de Fermat, laspirale hyperbolique, les spirales paraboliques, etc.
Dans la seconde famille, on trouve, entre autres, laspirale logarithmique, laspirale de Cornu, ladéveloppante du cercle. Cette famille est stable pardéveloppée[9] : la développée de la pseudo-spirale de paramètrem est une pseudo-spirale de paramètre2m-1/m.
On peut construire des spirales par morceaux à l'aide d'arcs de cercles ou de segments. Lesspirales à centres multiples sont ainsi utilisée pour tracer desvolutes. Les spirales tracées à l'aide de segments de droites sont desspirangles (en).
Des moyens mécaniques permettent aussi de construire des spirales : ainsi l'extrémité d'une corde enroulée autour d'un arbre et que l'on déroule en maintenant la corde tendue, dessine une spirale proche d'unedéveloppante du cercle.
De nombreusescourbes gauches sont appelées des spirales ou des hélices (hélice vient du grec heliks signifiant spirale[10]) parce qu'elles semblent s'enrouler autour d'un axe en s'en éloignant, ou s'en rapprochant constamment. La projection orthogonale de ces courbes dans un plan perpendiculaire à l'axe dessine souvent une spirale plane (ou un cercle). Les solides de révolution sont propices au tracé de spirales sur leur surface. Parmi ces courbes, on distingue plusieurs grandes familles non disjointes, ni exhaustives.
On trouve des formes évoquant celles de la spirale dans toutes les échelles du vivant et du monde physique.
Le premier type d'occurrence est associé à une croissance combinée avec un mouvement tournant. La spirale est bien connue et bien visible dans les formes de coquilles d'escargots ou degastéropodes qui se développent de manière orientée[14] - chaque espèce se répartissant majoritairement selon un type soit lévogyre (en regardant le coquillage la pointe placée en avant et l'ouverture en arrière, les spires tournent dans le sens trigonométrique) soit dextrogyre (les spires tournent dans le sens horaire). Les cornes de cervidés (tels celles des béliers et desantilopes) offrent de beaux développements spiralés[15].
La spirale est un peu moins voyante mais fréquente enbotanique, avec par exemple la structure duchou romanesco ou de lapomme de pin[16], la disposition spiralée des graines dutournesol[17], ou le point d'insertion des feuilles sur la tige (l'angle dièdre passant par l'axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, valeur caractéristiques de l'espèce).
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| Theba pisana de Camargue | Coquille lévogyre dulanistes ovum (en) | Un moutonHebridean noir mature avec les cornes en spirale | Fleur detournesol. |
D'autres spirales sont issues de l'adaptation du vivant à l'environnement. Les animaux à queue comme lecaméléon ou l'hippocampe enroulent leur appendice et on retrouve alors la spirale[18] comme on peut l'observer dans une corde enroulée posée au sol[19]. C'est la même forme que l'on peut observer chez desmyriapodes. Les plantes grimpantes dessinent des spirales quand elles s'enroulent autour d'un tuteur ou lancent des vrilles pour s'y agripper[20].Lespirographe déploie ses filaments en spirales pour se nourrir et respirer[21]. Pour construire sa toile, l'araignée procède à la construction successive de deux spirales[22].
On retrouve cette courbe dans la trajectoire des animaux méfiants s'approchant de leur cible[23]. Asa Schaeffer voit même en elle la trajectoire naturelle d'un être vivant privé de ses moyens d'orientation[22],[24]. On observe également une organisation en spirale dans les rassemblements derennes[23],[25] , depingouins[26] ou dans les vortex de poissons[27] pour se protéger des prédateurs ou du froid. Ce comportement est à rapprocher descourbes de poursuites mutuelles étudiées en mathématiques.
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| Mille-pattes enroulé enspirale d'Archimède | Vrilles de vigne | Toile d'araignée en spirale | Filaments d'unspirographe. |
La spirale est également présente dans le monde animal (certains tissus musculaires) et dans le monde microscopique chez certainesbactéries. Les bactéries spiralées sont souvent pathogènes pour divers animaux et certaines le sont pour l'homme (exspirochètes responsables de la syphilis, ou bactéries du genreBorrelia responsables de lamaladie de Lyme, ou chez lesCampylobacter[28],Campylobacter pyloridis responsables d'ulcères de l'estomac. Chez ces bactéries, la morphologie spiralée est souvent associée à unemotilité particulière, adaptées au mucus[28] ou à d'autres environnements mucilo-gélatineux (ex : intérieur de l'œil pour certaines borrélies). La forme spiralée (en tire-bouchon) et une motilité particulière de ces organismes semblent leur donner un avantage sélectif dans les environnements visqueux et mucilagineux[28].
Dans des dimensions encore plus petites, l'ADN est lui-même spiralé (quand il n'est pas déroulé), mais il existe aussi chez les bactéries des ADN circulaires (en anneau).
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| Cochlée (à droite) de l'oreille interne | Dessin en spirale d'uneempreinte digitale | Forme hélicoïdale d'untréponème pâle au microscope électronique | Structure 3D, de lamacromolécule hélicoïdale de l'ADN, support de l'hérédité. |
La chimie[29] et la physique, en particulier lamécanique des fluides et l'astrophysique présentent aussi des exemples de déploiement en spirale. La formation de tourbillons d'air ou d'eau ou les phénomènes météorologiques en offrent de nombreuses illustrations[30],[31] ainsi que lesgalaxies spirales[32].
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| Tourbillon dans une bouteille d'eau | Tourbillon d'air autour d'une aile d'avion | Image satellitaire de latempête Juan blanc | Galaxie spirale Messier 100. |
La spirale possède des propriétés géométriques exploitées par plusieurs mécanismes créés par l'homme, par exemple leressort spiral ou ledisque microsillon.
En latinspira ou engrec ancienσπείρα /speira, ce mot désigne un enroulement.
Dans le langage courant, et notamment en dessin et en architecture les adjectifsspiral etspiralé désignent toutes les formes évoquant la spirale mathématique (escalier en spirale...) ou comprenant une suite de circonvolutions.
Parmi les plus anciennes traces de spirales gravées par l'homme, on trouve une plaque d'ivoire décorée de spirales[33] provenant de laculture paléolithique de Mal'ta près d'Irkoutsk (environXXe millénaire av. J.-C.), des baguettes ornées de spirales découverte dans la vallée d'Arudy et datant dumagdalénien[34],[35], les spirales dessinées dans lecairn de Gavrinis (Ve millénaire av. J.-C. ), celles situées à l'entrée du tumulus deNewgrange (IIIe millénaire av. J.-C.). La signification de ces dernières reste encore obscure[36] même si la fréquence de la spirale et dutriskèle dans l'art celte ultérieur comme lelivre de Durrow ou lelivre de Kells avec des symboliques variées (croissance, énergie, passage, arrivée et fin de vie) tend à lui donner une résonance religieuse[37]. De même la signification de la spirale dessinée sur ledisque de Phaistos datant duIIe millénaire av. J.-C. n'est pas encore trouvée[38].
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| Bloc d'entrée du tumulus deNewgrange (IIIe millénaire av. J.-C.) | Détail dulivre de Durrow | Symboles en spirale dudisque de Phaistos (IIe millénaire av. J.-C.) |
Elle apparait comme élément figuratif, représentant la toison desbéliers comme dans le temple d'Amon àNaqa[39] (Ier siècle), symbolisant la végétation comme dans lepectoralscythe deTovsta Mohyla[40] (IVe siècle av. J.-C.), ou dans une représentation animalière comme le singe desgéoglyphes de Nazca[41] (entre leIIe siècle av. J.-C. et leVIe siècleapr. J.-C.).
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| Toison en spirale d'un bélier du temple d'Amon | Pectoral scythe avec motifs en spirales | Lignes de Nazca: Le Singe |
Elle est aussi un élément décoratif dans les monuments comme dans la stupa deSanchi en Inde (IIIe siècle av. J.-C.), lesvolutes des colonnesioniques (VIe siècle av. J.-C.) oucorinthiennes (IVe siècle av. J.-C.)[42] et dans les églises médiévales[43].
L'architecture religieuse en fait un usage pour symboliser une ascension réelle ou spirituelle vers le ciel comme dans la mosquée de Samara[44], les représentations de latour de Babel deCornelis Anthonisz,Pieter Brueghel l'Ancien ouGustave Doré, les colonnes en spirales[45], ou lesclochers torsadés.
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| Grande mosquée de Samarra | Pilier en spirale de la chapelle Rosslyn | Clocher tors de la maison ducompagnonnage à Nantes. |
AuXVIe siècle, avec lafigura serpentinata dumaniérisme, et plus encore auXVIIe siècle avec l'arrivée dubaroque, la spirale évocatrice du mouvement prend de l'importance.Albrecht Dürer lui consacre plusieurs pages de son ouvrageInstructions pour la mesure à la règle et au compas ,Léonard de Vinci l'utilise pour donner vie à des chevelures[46] ou au mouvement de l'eau,Pierre Paul Rubens en fait une structure dans ses tableaux[47].
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| Léonard de Vinci, étude pour la chevelure deLéda | Léonard de Vinci, étude pour une destruction | Rubens, Vierge à l'Enfant et son tourbillon de saints Innocents |
Cette utilisation de la spirale pour figurer le mouvement de l'air et de l'eau se retrouve dans la peinture japonaise et se poursuit jusqu'auXIXe siècle, par exemple chezVincent van Gogh[48] etNicolò Barabino.
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| Hokusai,La Grande Vague de Kanagawa | Van Gogh,La Nuit étoilée (1889) | Niccolo Barabino, La Gloire de saint André, Gênes[49] |
Durant leXXe siècle, une importance plus grande est accordée à la science et à la géométrie dans le milieu artistique[50]. Nombres d'artistes placent la spirale comme élément central de leurs œuvres la chargeant d'une symbolique forte : symbole de la vitesse et du possible chez lesfuturistes[51], symbole d'une expansion dévorante chez lesvorticistes[52], socialisme grandiose et scientifique chezVladimir Tatline[53],[54] , vision hypnotique et provocatrice dans les spirales deMarcel Duchamp[55] (rotorelief[56] etAnémic Cinéma) et chez les membres du mouvement de l'art cinétique[57], symbolisme mystérieux dans l'arbre de vie deGustav Klimt[58], cycle de la vie chezJordi Bonet[59],[60], tentative de contrôle du chaos chezLouise Bourgeois[59],[61], spirales aspirantes deBetty Goodwin[62],[63], modèle de croissance de la cité chezLe Corbusier[64] et son projet de musée à croissance illimitée[65], forme pure du mouvement chezPaul Klee[66], pessimisme de laSpiral Jetty deRobert Smithson[67],[68], transe hypnotique chezFriedrich Hundertwasser[64], spirales deMaurits Escher[69], deJohannes Itten[70],[71], deBernard Réquichot ...
L'art déco en fait un élément de décor familier tant intérieur qu'extérieur[72].
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| Klimt, L'Arbre de Vie, Frise Stoclet | Smithson, Spiral Jetty vue du point Rozen | Tatline, Projet de monument pour la TroisièmeInternationale |
La spirale s'invite aussi en littérature.Dante Alighieri décrit sa descente aux enfers comme un voyage en spirale de cercle en cercle[73]. Edgar Poe dans sa nouvelleUne descente dans le Maelstrom fait de ce phénomène une descente aux abîmes suscitant effroi et admiration[74] et dont on ressort transformé comme« un voyageur revenu du monde des esprits »[75]. Ces deux expériences sont à rapprocher de l'expression « spirale infernale » indiquant un phénomène dans lequel on est entrainé et conduisant à une destruction.
Gustave Flaubert avait le projet d'une nouvelleLa Spirale, inspirée parLes Paradis artificiels deCharles Baudelaire dans laquelle son héros« enroulerait autour duthyrse de la réalité la spirale de rêves » provoqués par lehaschich[76].
Alfred Jarry, quant à lui, fait de la spirale de son pèreUbu, un phénomène en expansion illustrant les appétits dévorants de son personnage, mais aussi sa vanité et son enflure[77]. Cette « Gidouille » devient le signe de reconnaissance despataphysiciens.
La spirale est un élément central dans l’œuvre du poèteWilliam Butler Yeats (La seconde venue[78] -A vision -l'Escalier en spirale ). Elle illustre la vision de Yeats sur l'évolution d'une vie, ou plus généralement de l'histoire de l'humanité, qui procèderait en spires successives sur une double escalier conique se rétrécissant et s'élargissant[79].
Elle est une symbolique puissante chezJames Joyce (Ulysse[80] -Finnegans Wake[81]) à tel point queConstantin Brancusi utilise cette image pour représenter Joyce (Symbole de Joyce[82]), ou chez Samuel Beckett (L'Innommable[83]) comme une vision concentrique vers un anéantissement[84].
Chez les philosophes commeHegel et sonKreislauf[85] ouRoland Barthes[86], elle illustre une conception de l'histoire ou du monde. La didactique utilise l'image d'une progression en spirale[87] pour évoquer le principe de revenir sur une notion en cercles successifs à des niveaux croissants de connaissance et de maîtrise.
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