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Enmathématiques, et plus précisément enalgèbre, le terme desomme directe désigne des ensembles munis de certainesstructures, souvent construits à partir duproduit cartésien d'autres ensembles du même type, et vérifiant lapropriété universelle de lasomme (ou « coproduit ») au sens descatégories.

SoientF₁ etF₂ deux sous-espaces vectoriels d'unespace vectorielE. On dit queF₁ etF₂ sont en somme directe si, pour tout élémentu de lasommeF₁ +F₂, il existe un uniquecouple (u₁,u₂) deF₁×F₂ tel queu = u₁ +u₂. En d'autres termes,F₁ etF₂ sont en somme directe si la décomposition de tout élément deF₁ +F₂ en somme d'un élément deF₁ et d'un élément deF₂ estunique.

On dit aussi dans ce cas que la sommeF₁ +F₂ est directe, et on la note alorsF₁ ⊕F₂.

F₁ etF₂ sont en somme directe si et seulement s'ils vérifient l'une des propriétés équivalentes suivantes, où 0 désigne levecteur nul deE:

• pour toutu₁ deF₁ etu₂ deF₂,u₁ +u₂ = 0 ⇒u₁ =u₂ = 0 ;
• F₁∩F₂ = {0} ;
• il existe unebase deF₁ et une base deF₂ qui, mises bout à bout, forment une base deF₁ +F₂ ;
• n'importe quelles bases deF₁ et deF₂, mises bout à bout, forment une base deF₁ +F₂.

Cas de la dimension finie : lorsqueF₁ etF₂ sontde dimensions finies, la sommeF₁ +F₂ est directe si et seulement sidim(F₁) + dim(F₂) = dim(F₁ +F₂).

Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espacesF₁ etF₂ deE sont dits supplémentaires lorsqueE = F₁ ⊕F₂. Cela signifie que pour tout élémentu deE, il existe un unique couple (u₁,u₂) deF₁×F₂ tel queu = u₁ +u₂.

On peut généraliser la notion de somme directe à unefamille quelconque (F_i)_i∈I de sous-espaces vectoriels deE(indexée par un ensembleIfini ouinfini). On dit que cette famille est en somme directe si tout vecteurude lasomme ∑_i∈IF_i se décompose de façon unique sous la formeu= ∑_i∈Iu_i avecu_i∈F_ipresque tous nuls (c.-à-d.tous sauf un nombre fini). En d'autres termes, la famille est en somme directe si la décomposition de tout élémentude ∑_i∈IF_i en somme d'éléments desF_i est unique.

On dit aussi dans ce cas que la somme ∑_i∈IF_i est directe, et on la note alors ⊕_i∈IF_i.

Comme dans le cas de deux sous-espaces vectoriels, la famille (F_i)_i∈I est en somme directe si et seulement si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

• si 0 = ∑_i∈Iu_iavecu_i∈F_i (presque tous nuls), alors tous lesu_isont nuls ;
• il existe des bases desF_i(une pour chacun) qui, mises bout à bout, forment une base de ∑_i∈IF_i ;
• n'importe quelles bases desF_i (une pour chacun), mises bout à bout, forment une base de ∑_i∈IF_i.

Lorsque lesF_isont en somme directe on a donc, quelles que soient leurs dimensions (finies ou infinies) : dim(⊕_i∈IF_i) = ∑_i∈I dim(F_i).

Exemple : soientf unendomorphisme deEet pour chacune de sesvaleurs propres λ, soitE_λ = ker(f– λid_E) lesous-espace propre associé. Alors lesE_λ sont en somme directe, et si cette somme est égale àE, on dit quef estdiagonalisable. Lorsque c'est le cas, on constitue une base deE de vecteurspropres pourf en concaténant une base de chacun desE_λ.

Il résulte des caractérisations équivalentes ci-dessus qu'unefamille finie (F₁, … ,F_n) est en somme directe si et seulement si chacun des sous-espaces est en somme directe avec la somme des précédents,c.-à-d. :${\displaystyle \mathrm{\forall }k\in \left\{1,...,n-1\right\},\left(\sum _{i=1}^k{F}_i\right)\cap F_{k+1}=\left\{0\right\}.}$

SiF₁, … ,F_nsont de dimensions finies, on en déduit que (comme pourn= 2) leur somme est directe si et seulement si${\displaystyle \sum _{i=1}^n\dim F_i=\dim \left(\sum _{i=1}^n{F}_i\right).}$

Remarque : la propriété d'être en somme directe est évidemment préservée par sous-familles.

Par exemple, si (F_i)_i∈I est en somme directe, alors chaque sous-famille de deux desF_il'est, autrement dit : pour tousietjdistincts,F_i∩F_j= {0}.

La réciproque est fausse : par exemple troisdroites vectoriellescoplanaires ne sont jamais en somme directe, alors que deux quelconques d'entre elles le sont dès qu'elles sont distinctes.

Dans unespace préhilbertien (réel oucomplexe), toute famille de sous-espaces deux à deuxorthogonaux (par exemple : un sous-espaceFetson orthogonalF^⊥) est en somme directe. Une telle somme est appelée « somme directe orthogonale (de) »^[1]. Si l'espace préhilbertien esteuclidien ouhermitien, c'est-à-direde dimension finie, une famille de sous-espaces est en somme directe orthogonale si et seulement si, en concaténant unebase orthonormée de chaque sous-espace, on constitue une base orthonormée de leur somme.

L'orthogonalF^⊥ deF, lorsqu'il lui est supplémentaire, est appelé son supplémentaire orthogonal. Une condition suffisante pour cela est queFsoitcomplet (ce qui est réaliséen particulier s'il est de dimension finie). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer uneprojection orthogonale.

Soit (E_i)_i∈I une famille d'anneaux, ou demodules sur un même anneau (par exemple desgroupes abéliens ou des espaces vectoriels sur un mêmecorps). On construit sa « somme directe externe » (ou simplement « somme directe »), notée (⊕_i∈IE_i^[2], (ϕ_i)_i∈I), de la façon suivante :

• dans sonproduit direct ∏_i∈IE_i, qui est alors unestructure algébrique de même type, les familles (u_i)_i∈I àsupport fini (c'est-à-dire dont lesu_isont presque tous nuls) forment une sous-structure, notée ⊕_i∈IE_i. (LorsqueIest fini, on a donc ⊕_i∈IE_i = ∏_i∈IE_i^[2].)
• pour chaque indicei, lemorphismecanonique ϕ_i :E_i → ⊕_j∈IE_j est défini par : pour toutx_i ∈E_i, ϕ_i(x_i) est la famille dont lai-ème composante estx_i et les autres composantes sont nulles.

La somme directe externe est une somme au sens des catégories, c'est-à-dire que (pour des modules, par exemple) :

SoientAun anneau, (E_i)_i∈I une famille deA-modules et (⊕_i∈IE_i, (ϕ_i)_i∈I) sa somme directe externe.

Alors, pour toute famille (f_i :E_i →F)_i∈I d'applications linéaires à valeurs dans un mêmeA-moduleF, il existe une unique applicationA-linéairef : ⊕_i∈IE_i →F telle que pour tout indicei,f ∘ ϕ_i =f_i.

La somme directe externe définie ici et la somme directe « interne » définie plus haut ont une appellation et une notation communes. Cela est justifié par les liens suivants.

• ChaqueE_i se « plonge » dans la somme directe externe ⊕_j∈IE_j, par le morphisme canonique ϕ_i (injectif).
  L'image deE_i dans ⊕_j∈IE_j est un sous-moduleF_iisomorphe àE_i. CesF_i sont en somme directe etla somme directe externe ⊕_i∈IE_i estégaleà la somme directe « interne » ⊕_i∈IF_i(donc pour des espaces vectoriels, dim(⊕_i∈IE_i) = dim(⊕_i∈IF_i) = ∑_i∈I dim(F_i) = ∑_i∈I dim(E_i)).
• On peut, avec la notion de somme directe externe, redéfinir celle de somme directe « interne » : une famille (F_i)_i∈I de sous-modules deE est en somme directe si et seulement si le morphisme somme — qui résulte de la propriété universelle ci-dessous et va de la somme directe externeF= ⊕_i∈IF_i dansE, associant à toute famille sa somme — est injectif (autrement dit : réalise un isomorphisme deFsur ∑_i∈IF_i).

Une notion utilisée en physique (voir « Espace de Fock ») est celle de « somme directe hilbertienne » d'espaces de Hilbert. Pour toute famille${\displaystyle (H_i{)}_{i\in I}}$ d'espaces de Hilbert, cettesomme${\displaystyle \underset{i\in I}{⨁}{H}_i}$ (dans la catégorie des espaces de Hilbert) existe. On peut la réaliser de deux manières :

• encomplétant l'espace préhilbertien que constitue leur somme directe externe algébrique vue plus haut (si${\displaystyle I}$ est fini, cette somme algébrique est déjàcomplète) ;
• plus directement, en considérant, dans l'espace vectoriel produit${\displaystyle \prod _{i\in I}{H}_i}$, le sous-espace vectoriel${\displaystyle H}$ constitué des familles${\displaystyle h=(h_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{H}_i}$ telles que${\displaystyle \sum _{i\in I}\Vert h_i{\Vert }^2}$ soitsommable — ce qui implique que${\displaystyle h_i=0}$ sauf pour un ensembleau plus dénombrable d'indices${\displaystyle i}$ — et en munissant${\displaystyle H}$ de lanorme préhilbertienne définie par${\displaystyle \Vert h{\Vert }^2:=\sum _{i\in I}\Vert h_i{\Vert }^2}$. On vérifie que${\displaystyle H}$ est complet pour cette norme, qui dérive duproduit scalaire défini par :${\displaystyle \mathrm{\forall }h,h^{\prime }\in H⟨h\mid h^{\prime }⟩:=\sum _{i\in I}⟨h_i\mid h_i^{\prime }⟩}$ (somme d'unesérie absolument convergente, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Chaque${\displaystyle H_i}$ est isomorphe (au sens des espaces de Hilbert, donc par uneisométrie linéaire) à un sous-espacefermé de${\displaystyle \underset{j\in I}{⨁}{H}_j}$, via l'injection canonique${\displaystyle H_i\to \underset{j\in I}{⨁}{H}_j}$, et${\displaystyle \underset{j\in I}{⨁}{H}_j}$ est lasomme directe orthogonale de tous ces sous-espaces.

Dans le cas particulier où chaque${\displaystyle H_i}$ estde dimension1,${\displaystyle \underset{i\in I}{⨁}{H}_i}$ est isomorphe à l'espaceℓ²(I).

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La somme directe est la somme (ou coproduit) dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps fixé ; c'est-à-dire, naïvement, que la somme directe consiste à « rassembler » deux espaces vectoriels en un troisième, en limitant leur « télescopage » au strict minimum, à savoir le vecteur nul (de la même façon que laréunion disjointe d'ensembles consiste à rassembler leurs éléments respectifs dans un nouvel ensemble, en évitant de télescoper des éléments identiques s'ils proviennent d'ensembles distincts).

Or, la particularité de ce coproduit est qu'il est isomorphe auproduit^{[Information douteuse]}, ce qui n'est pas le cas dans toutes les catégories. Par exemple, dans lacatégorie des ensembles, non seulement le produit (à savoir leproduit cartésien) n'est pas isomorphe au coproduit qu'est la réunion disjointe, mais le produit estdistributif sur le coproduit, de même qu'enarithmétique élémentaire le produit est distributif sur la somme.

Observant que les catégories présentent généralement l'un ou l'autre aspect — mutuellement exclusifs —William Lawvere propose^[3] d'appelercatégories distributives (en) celles dans lesquelles le produit est distributif sur le coproduit (qui, dans ce contexte, peut légitimement prendre le nom desomme), et « catégories linéaires » celles dans lesquelles, commeen algèbrelinéaire, le produit et le coproduit sont isomorphes^{[Information douteuse]}.

v ·m Opérations binaires
Numériques En ensemble ordonné Structurelles Autres Élémentaires ${\displaystyle +}$Addition ${\displaystyle -}$Soustraction ${\displaystyle \times }$Multiplication ${\displaystyle ÷}$Division ${\displaystyle \hat{}}$Puissance Arithmétiques ${\displaystyle \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}}$Quotient euclidien ${\displaystyle \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}}$Reste euclidien ${\displaystyle \mathrm{p}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}}$PGCD ${\displaystyle \mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m}}$PPCM Combinatoires ${\displaystyle ()}$Coefficient binomial ${\displaystyle A}$Arrangement Ensembles de parties ${\displaystyle \cup }$Union ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$Différence ${\displaystyle \cap }$Intersection ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$Différence symétrique Ordre total ${\displaystyle min}$Minimum ${\displaystyle max}$Maximum Treillis ${\displaystyle \wedge }$Borne inférieure ${\displaystyle \vee }$Borne supérieure Ensembles ${\displaystyle \times }$Produit cartésien ${\displaystyle \dot{\cup }}$Somme disjointe ${\displaystyle \hat{}}$Puissance ensembliste Groupes ${\displaystyle \oplus }$Somme directe ${\displaystyle \ast }$Produit libre ${\displaystyle \wr }$Produit en couronne Modules ${\displaystyle \otimes }$Produit tensoriel ${\displaystyle \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}$Homomorphisme ${\displaystyle \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}$Torsion ${\displaystyle \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}$Extension Arbres ${\displaystyle \vee }$Enracinement Variétés connexes ${\displaystyle \mathrm{\#}}$Somme connexe Espaces pointés ${\displaystyle \vee }$Bouquet ${\displaystyle \wedge }$Smash-produit ${\displaystyle \ast }$Joint Fonctionnelles ${\displaystyle \circ }$Composition de fonctions ${\displaystyle \ast }$Produit de convolution Vectorielles ${\displaystyle \cdot }$Produit scalaire ${\displaystyle \wedge }$Produit vectoriel ${\displaystyle \times }$Produit vectoriel généralisé Algébriques ${\displaystyle [,]}$Crochet de Lie ${\displaystyle \{,\}}$Crochet de Poisson ${\displaystyle \wedge }$Produit extérieur Homologiques ${\displaystyle ⌣}$Cup-produit ${\displaystyle \cdot }$Produit d'intersection Séquentielles ${\displaystyle +}$Concaténation
Logique booléenne : ${\displaystyle \wedge }$ET (conjonction) ${\displaystyle \vee }$OU (disjonction) ${\displaystyle \oplus }$OU exclusif ${\displaystyle \Rightarrow }$IMP (implication) ${\displaystyle \iff }$EQV (équivalence)

v ·m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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