Enmathématiques, lessommes de Dedekind, nommées ainsi en l'honneur dumathématicienRichard Dedekind, sont certainessommes de produits d'unefonction en dents de scies, et sont fonction de deux variables entières. Dedekind les a introduites pour exprimer l'équation fonctionnelle de lafonction êta de Dedekind. Elles ont été, par la suite, beaucoup étudiées enthéorie des nombres et sont apparues dans certains problèmes detopologie. Les sommes de Dedekind sont reliées entre elles par de nombreuses équations, dont cet article ne liste qu'une partie.

La somme de Dedekind est unefonction définie pour deuxentiers de la manière suivante :

${\displaystyle s(k,h)=\sum _{r=1}^{k-1}\frac{r}{k}\left(\frac{hr}{k}-\left[\frac{hr}{k}\right]-\frac{1}{2}\right).}$

• Si l'on poseon peut écrire que${\displaystyle s(h,k)=\sum _{r\text{ mod }k}\left(\left(\frac{r}{k}\right)\right)\left(\left(\frac{hr}{k}\right)\right).}$Cela permet d'exploiter le fait que${\displaystyle ((x))}$ estpériodique de période 1.
• Si${\displaystyle h^{\prime }\equiv \pm h[k]}$, alors${\displaystyle s(h^{\prime },k)=\pm s(h,k)}$ avec le même signe.
• Si${\displaystyle h\overline{h}\equiv \pm 1[k]}$, alors${\displaystyle s(\overline{h},k)=\pm s(h,k)}$.
• Si${\displaystyle h^2+1\equiv 0[k]}$, alors${\displaystyle s(h,k)=0}$.

Sih etk sontpremiers entre eux, alors :

${\displaystyle 12hk(s(h,k)+s(k,h))=h^2+k^2-3hk+1.}$

• Le nombre${\displaystyle 6ks(h,k)}$ est entier.
• Si${\displaystyle \theta =(3,k)}$ (avec (.,.) désignant leplus grand commun diviseur), on a :
  • ${\displaystyle 12hks(k,h)\equiv 0[\theta k]}$
  • ${\displaystyle 12hks(h,k)\equiv h^2+1[\theta k]}$
• On a aussi :
• Sik = 2^λk₁ etk₁ impair, alors pour touth impair :
• Enfin, siq vaut 3, 5, 7 ou 13 et quer = 24/(q–1). Choisissons les entiersa,b,c etd tels quead–bc = 1 etc = qc₁ et posons :${\displaystyle \delta =\left(s(a,c)-\frac{a+d}{12c}\right)-\left(s(a,c_1)-\frac{a+d}{12c_1}\right).}$Alorsδr est un entierpair.

(en)Tom Apostol,Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory,Springer-Verlag

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