Movatterモバイル変換

Série de Laurent

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article traite du développement en série de Laurent en analyse complexe. Pour la définition et les propriétés des séries de Laurent formelles en algèbre, veuillez consulter l'articleSérie formelle.

Enanalyse complexe, lasérie de Laurent (aussi appeléedéveloppement de Laurent) d'unefonction holomorphef est une manière de représenterf auvoisinage d'unesingularité, ou plus généralement, autour d'un « trou » de son domaine de définition. On représentef comme somme d'unesérie de puissances (d'exposants positifs ou négatifs) de la variable complexe.

Une fonction holomorphef estanalytique, c'est-à-diredéveloppable en série entière au voisinage de chaque point de son domaine de définition. Autrement dit, au voisinage d'un pointa oùf est définie, on peut écriref(z) sous la forme :

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}

On a fait apparaître une série entière ena, qui est lasérie de Taylor def ena. Les séries de Laurent peuvent être vues comme une extension pour décriref autour d'un point où elle n'est pas (a priori) définie. On inclut les puissances d'exposants négatifs ; une série de Laurent se présentera donc sous la forme :

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}

Les séries de Laurent furent nommées ainsi après leur publication parPierre Alphonse Laurent en1843.Karl Weierstrass les découvrit le premier mais il ne publia pas sa découverte.

Le plus souvent, les auteurs d'analyse complexe présentent les séries de Laurent pour les fonctions holomorphes définies sur descouronnes, c'est-à-dire desouverts duplan complexe délimités par deuxcercles concentriques. Ces séries sont surtout utilisées pour étudier le comportement d'une fonction holomorphe autour d'une singularité.

Énoncé

[modifier |modifier le code]

Une couronne centrée ena est un ouvert du plan complexe $\mathbb {C}$ délimité par au plus deux cercles de centrea. En général, une couronne est délimitée par deux cercles de rayons respectifsr,R tels quer < R. Plusieurs cas dégénérés peuvent toutefois être envisagés :

siR vaut l'infini, la couronne considérée est lecomplémentaire dudisque fermé de centrea et de rayonr ;
sir vaut 0, la couronne correspond audisque ouvert de centrea et de rayonR, privé dea. On parle aussi dans ce cas dedisque épointé ;
sir vaut 0 etR l'infini, alors la couronne est le plan complexe privé du pointa.

Pour toute fonction holomorphef sur une couronneC centrée ena, il existe une unique suite $(a_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ telle que :
$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$ ,
où la série de fonctionsconverge normalement sur tout compact de la couronneC. De plus, les coefficientsa_n sont donnés par :
$a_{n}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,\mathrm {d} z}{(z-a)^{n+1}}}$ ,
où $\gamma$ est leparamétrage d'un cercle de centrea tracé dans la couronne.

Sur un exemple

[modifier |modifier le code]

Unefonction rationnelle est holomorphe en dehors deses pôles. On exprime la série de Laurent d'une fonction rationnelleF en un pôlea, en calculant lasérie de Taylor de (z – a)ⁿF(z) avecn suffisamment grand. Par exemple, on trouve la série de Laurent sur le disque épointé de centrej (racine cubique de l'unité) et de rayon ${\sqrt {3}}$ :

{\frac {1}{1+z+z^{2}}}={\frac {1}{3}}\sum _{n\geq -1}{\left(\mathrm {i} {\frac {(z-\mathrm {j} )}{\sqrt {3}}}\right)}^{n}

En effet,j etj² sont les racines dupolynôme 1 +Z +Z². On est donc en mesure d'écrire, avecy = z – j :

{\frac {1}{1+z+z^{2}}}={\frac {1}{y}}\cdot {\frac {1}{y+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}={\frac {1}{y\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\sum _{n\geq 0}{\left({\frac {\mathrm {i} y}{\sqrt {3}}}\right)}^{n}

Ce genre de techniques se généralise enalgèbre pour développer des fractions rationnelles en série de Laurent formelle (ou série méromorphe formelle). Ce type de développement peut en effet être adapté sur tout anneau.

Preuves

[modifier |modifier le code]

On propose deux preuves différentes de l'existence de la série de Laurent, et de son mode de convergence :

la première preuve s'appuie sur lathéorie de Fourier, qui cherche à décomposer lesfonctions périodiques d'une variable réelle en une somme de sinusoïdales ;
la seconde preuve s'appuie directement sur laformule intégrale de Cauchy, qui permet d'écrire la valeur d'une fonction holomorphe en un point comme une certaineintégrale curviligne sur un contour entourant le point.

Pour simplifier les notations, on suppose, sans perte de généralité,a = 0. On peut s'y ramener par l'action de la translation $z\mapsto z-a$ . On suppose donc quef est une fonction holomorphe sur la couronneC délimitée par les deux cercles de centre 0 et de rayons respectifsr,R tels quer < R.

Par la théorie de Fourier

[modifier |modifier le code]

Joseph Fourier, dont la théorie porte le nom.

La restriction def au cercle de rayons (compris entrer etR) peut être regardée comme une fonction 2π-périodique d'une variable réellef_s : il suffit d'exprimerf(z) en fonction de l'argument dez. On pose :

f_{s}(t)=f(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t})

Lethéorème de convergence de Dirichlet s'applique aux fonctions périodiques continuesf_s et permet de les décomposer comme somme de sinusoïdales. Plus exactement, on peut faire apparaître descoefficients de Fourier $c_{n}(f,s)$ (qui dépendent du choix des) tels que:

f_{s}(t)=\sum _{n=-\infty }^{n=+\infty }c_{n}(f,s)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}

Or, comme la fonctionf_s est de classe au moins C¹, la série de Fourier converge normalement versf_s. Ce résultat général de la théorie de Fourier se démontre en utilisant des estimations sur la vitesse de convergence des coefficients de Fourier. En reprenant l'argument, on pourra obtenir la convergence normale sur tout compact de la série, vue commesérie de fonctions ens ett. Fort malheureusement, la série obtenue n'est pas, du moins en apparence, exactement de la forme recherchée : des puissances dez doivent apparaître. Il est donc nécessaire de faire sortir la dépendance des coefficients de Fourier $c_{n}(f,s)$ en le modules. Plus précisément, il faut chercher à définir des coefficients complexes $a_{n}$ vérifiant :

c_{n}(f,s)=a_{n}(f)s^{n}

. (*)

Or, on dispose d'une expression intégrale pour les coefficients de Fourier : par conséquent, $c_{n}(f,s)$ en fonction des peut être regardée comme uneintégrale à paramètres. On peut chercher à établir sa régularité, puis à exprimer sa dérivée. Il est remarquable d'obtenir uneéquation différentielle relativement facile à intégrer :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}c_{n}(f,s)={\frac {n}{s}}c_{n}(f,s)

De cette équation différentielle découle effectivement (*), qui permet de voirf comme somme d'une série de Laurent qui converge au moins ponctuellement. Et la convergence normale sur tout compact de la couronne sera chose déjà obtenue. Toujours de (*) et de l'expression des coefficients de Fourier, on déduit :

a_{n}(f)={\frac {c_{n}(f,s)}{s^{n}}}=\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,\mathrm {d} z}{(z-c)^{n+1}}}

Ainsi se démontre dans les grandes lignes l'existence de la série de Laurent en utilisant les seuls outils de la théorie de Fourier.

Démonstration

Décomposition en séries de Fourier: Une fonction holomorphe est une fonction développable en série entière en tout point de son domaine de définition. Par conséquent, elle est indéfiniment dérivable. Par composition, la fonctionf_s définie ci-dessus est une fonction indéfiniment dérivable d'une variable réelle. Par ailleurs, elle est $2\pi$ -périodique. Lethéorème de convergence de Dirichlet s'applique et montre que la fonctionf_s est la somme de sasérie de Fourier :; $f\left(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }c_{n}(f,s)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}$ .; où la série de fonctionsconverge au moins ponctuellement. Par ailleurs, on connait l'effet de la dérivation sur les coefficients de Fourier, décrit dans l'articleSérie de Fourier. Uneintégration par parties fournit en effet :; $|c_{n}(f,s)|\leq {\frac {\|f_{s}''\|_{\infty }}{n^{2}}}$ ,; où $\|\cdot \|_{\infty }$ désigne lanorme infini sur l'espace des fonctions bornées $2\pi$ -périodiques. Il est possible d'exprimer $f_{s}''$ en fonction des premières dérivées def. Fixons deux rayons intermédiairesr < u < U < R. La couronneferméeF délimitée par les cercles de rayonu etU estcompacte (c'est en effet un fermé borné deC), et les dérivées def sont des fonctions continues surF, et donc bornées. Sans chercher à exprimer les dérivées def au moyen de laformule intégrale de Cauchy, on obtient directement :; $u<s<U,\quad |c_{n}(f,s)|\leq {\frac {Cste}{n^{2}}}$ .; Comme la série de terme général 1/n² est sommable, la série de fonctions $\sum c_{n}(f,s)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}$ est normalement convergente sur toute couronne fermée deC.
Convergence normale sur tout compact: SiK est un compact deC, l'application qui à un complexe associe son module induit une fonction continue surK. Elle est donc bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, on dispose d'un encadrement :; $\forall z\in K,\quad u\leq |z|\leq U$ ;; où les réelsu etU se réalisent comme les modules d'éléments deK eta fortiori deC. CommeC est la couronne délimitée par les cercles de rayosnr etR, on en déduitr < u < U < R. Donc,K est inclus dans la couronne fermée délimitée par les cercles de rayonsu etU, elle-même incluse dansC.; Comme tout compact deC est inclus dans une couronne fermée suffisamment grosse deC, la convergence normale sur toute couronne fermée deC (précédemment établie) implique la convergence normale sur tout compact deC.
Expression des coefficients de Fourier: Lescoefficients de Fourier sont définis par la formule intégrale :; $c_{n}(f,s)=\int _{0}^{2\pi }f\left(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} nt}{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}$ .; En particulier, $c_{n}(f,s)$ est l'intégrale sur le segment [0, 2π] d'une fonction continue dépendant d'un paramètre réels. Cette fonction intégrée, comme fonction à deux variables, estcontinument différentiable. La dérivation sous le signe intégrale ne pose aucune difficulté. La fonction $s\mapsto c_{n}(f,s)$ est définie et continument dérivable sur l'intervalle ouvert (r,R) et sa dérivée vaut :; ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}c_{n}(f,s)=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial s}}f\left(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} nt}{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}$ .; Exprimons la dérivée partielle par rapport às :; $\partial _{s}f\left(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}f'\left(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)={\frac {1}{\mathrm {i} s}}\partial _{t}f\left(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$ .; (En fait, on a établi leséquations de Cauchy-Riemann encoordonnées polaires.) On injecte l'expression obtenue de la dérivée partielle par rapports dans l'intégrale, puis on effectue (à nouveau) une intégration par parties :; ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}c_{n}(f,s)={\frac {1}{\mathrm {i} s}}c_{n}(f_{s}')={\frac {n}{s}}c_{n}(f,s)$ .; Autrement dit, les coefficients de Fourier de $f_{s}$ comme fonction des vérifient une équation différentielle, à variables séparées, qu'il est donc facile d'intégrer. Il vient, pour toutr < s,t < R :; ${\frac {c_{n}(f,s)}{c_{n}(f,t)}}={\frac {s^{n}}{t^{n}}}$ .; En particulier, le rapport :; $a_{n}(f)={\frac {c_{n}(f,s)}{s^{n}}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)}{{\left(s\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)}^{n}}}{\frac {\mathrm {d} t}{2\pi }}=\oint _{C_{s}}{\frac {f(z)}{z^{n+1}}}\mathrm {d} z$; est indépendant des, et permet d'isoler la dépendance des coefficients de Fourier ens :; $c_{n}(f,s)=a_{n}(f)s^{n}$ .
Conclusion: L'expression obtenue ci-dessus peut s'injecter dans la série de fonctions. Il vient :; $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(f)z^{n}$ .; On sait déjà que la série converge normalement sur tout compact de la couronneC. L'unicité des coefficientsa_nf découle immédiatement de l'unicité des coefficients de Fourier. La démonstration est terminée.

Par la formule intégrale de Cauchy

[modifier |modifier le code]

Laformule intégrale de Cauchy permet de représenter la valeur d'une fonction holomorphef enz en fonction d'une expression intégrale le long d'une courbe fermée qui « entoure »z. C'est la formule intégrale de Cauchy qui permet d'obtenir le développement en série entière def au voisinage des points de son domaine de définition. Il est donc naturel de vouloir de nouveau exploiter cette formule ici pour obtenir le développement en série de Laurent.

On considère la courbe γ tracée dans la couronneC, qui consiste à :

parcourir une fois le cercle de centre 0 et de rayonS dans lesens trigonométrique ;
aller deS às en suivant le segment [S,s] ;
parcourir le cercle de centre 0 et de rayons dans le sens des aiguilles d'une montre ;
retourner des àS, toujours en suivant le segment [s,S].

Cette courbe γ est contractile dans la couronneU et « renferme » la couronne ouverteC(s,S) délimitée par les cercles de rayons respectifss,S tels ques < S. Siz est un nombre complexe (non réel positif) de module compris entres etS, la formule intégrale de Cauchy s'applique donc enz et donne :

f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }{\frac {f(w)\,\mathrm {d} w}{(w-z)}}\quad {\text{si }}z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{+}{\text{ et }}s<|z|<S.

Or, le lacet γ a été décrit en concaténant des chemins, de sorte que l'intégrale curviligne se décompose en une somme de quatre intégrales curvilignes. On intègre deux fois le long du segment [s,S], la première fois deS às, la seconde fois des àS. Ces deux intégrales s'annulent. Par conséquent :

f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\left(\int _{C_{S}}{\frac {f(w)\,\mathrm {d} w}{(w-z)}}-\int _{C_{s}}{\frac {f(w)\,\mathrm {d} w}{(w-z)}}\right)

oùC_s etC_S désignent les cercles de rayonss etS. Cette formule reste valable pour tout nombre complexez de module compris entres etS.

Dans les deux intégrales, on peut exprimer l'intégrande comme une série de fonctions, qui font apparaître des puissances dez, d'exposants positifs pour la première intégrale, strictement négatifs pour la seconde. L'interversion série-intégrale se justifie en évaluant lanorme infinie des fonctions sommées. De la sorte,f(z) s'exprime comme la somme d'une série en puissances dez, de la forme :

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(f,s,S)z^{n}

La convergence de la série est au moins ponctuelle. La même estimation sur les normes infini justifie laconvergence normale de cette série sur tout compact contenu dans la couronne ouverteC(s,S). On aura donc écritf comme somme d'une série de Laurent sur chaque couronne ouverteC(s,S) fortement incluse dansC. Pour obtenir l'indépendance des coefficients ens etS, il faut à nouveau effectuer une interversion série-intégrale. Le calcul fournit aussi l'unicité des coefficients, et l'expression annoncée.

Démonstration

Dans toute la première partie de la preuve,s etS sont deux rayons intermédiaires fixés :r < s < S < R. Ils permettent de définir la couronne ouverteC(s,S) en restriction de laquelle on va travailler.

Application de la formule intégrale de Cauchy

Soit un nombre complexez de module compris entres etS. La droiteRz sectionne les cercles de rayonss etS en des pointsa etb de sorte que le segment [a,b] ne contienne pasz (voir figure). On introduit γ le lacet obtenu :

En parcourant une fois le cercle de rayonS dans le sens trigonométrique ;
En suivant le segment [b,a] ;
En parcourant une fois le cercle de rayons dans le sens des aiguilles d'une montre ;
Puis en suivant le segment [a,b].

En regardant les intersections du lacet γ avec la droiteRw, on montre sans difficulté que l'indice de γ enz vaut 1.

Comme le lacet est contractile dans la couronneU, la formule intégrale de Cauchy s'applique et donne :

f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w

Compte tenu des orientations sur les cercles, il vient :

f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\left(\oint _{C_{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w-\oint _{C_{s}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w+\int _{b}^{a}{\frac {f(x)}{x-z}}\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x-z}}\,\mathrm {d} x\right)

Après simplification :

f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\left(\oint _{C_{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w-\int _{C_{s}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w\right)

Développement de la première intégrale

Comme le module dez est plus petit queS, on peut penser à développer l'intégrande en puissances dez/w :

{\frac {f(w)}{w-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}{\left({\frac {z}{w}}\right)}^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(w,z)

avec :

g_{n}(w,z)={\frac {f(w)}{w}}{\left({\frac {z}{w}}\right)}^{n}

Majorons la fonctiong_n. Pour toutw de moduleS, et si le module dez est compris entres etrS (avecr < 1), on a :

|g_{n}(w,s)|\leq {\frac {\|f\|_{\infty }}{S}}r^{n}

où

\|f\|_{\infty }

désigne le supremum du module def surC(s,S). Comme la série géométrique converge, la série de terme général

g_{n}(.,w)

converge normalement sur le cercle de rayonS. Par conséquent, nous pouvons effectuer l'interversion série-intégrale :

{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C_{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\sum _{n=0}^{\infty }\oint _{C_{S}}g_{n}(w,z)\,\mathrm {d} w=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(f,S)z^{n}

avec :

a_{n}(f,S)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C_{S}}{\frac {f(w)}{w^{n+1}}}\,\mathrm {d} w

La série de terme général

a_{n}(f,S)z^{n}

converge normalement sur la couronne ouverte délimitée pars etrS avecr < 1.

Développement de la seconde intégrale

Pour la seconde intégrale, on développe l'intégrande en puissances dew/z :

{\frac {f(w)}{w-z}}=-{\frac {f(w)}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {w}{z}}\right)}^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }h_{n}(w,z)

Pourw de modules, etz de module compris entreRs etS (avecR > 1) :

|h_{n}(w,z)|\leq {\frac {\|f\|_{\infty }}{Rs}}\left(1/R\right)^{n}

Comme ci-dessus, cette majoration fournit la convergence normale sur le cercle de rayons de la série de terme général

h_{n}(.,z)

. L'interversion série-intégrale s'en trouve justifiée :

-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C_{s}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\oint _{C_{s}}h_{n}(w,z)\,\mathrm {d} w=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(f,s){\frac {1}{z^{n}}}

avec :

b_{n}(f,s)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C_{s}}f(w)w^{n-1}\,\mathrm {d} w

La série converge normalement sur toute couronne délimitée par les cercles de rayonsRs etS, avecR > 1.

Convergence normale sur tout compact

En combinant les trois égalités précédentes, il vient, pour toutz dansC(s,S) :

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(f,S)z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(f,s){\left(1/z\right)}^{n}

Tout compactK de la couronne ouverteC(s,S) est compris dans une couronne fermée délimitée par des rayonsRs etrS, avecr < 1 < R. Cet argument est détaillé dans la preuve donnée plus haut. Or, les deux étapes précédentes ont démontré que les deux séries convergent normalement sur cette couronne fermée,a fortiori sur le compactK.

Sur la couronneC(s,S), la fonctionf est donc la somme d'une série de Laurent qui converge normalement sur tout compact. Pour étendre cette décomposition à toute la couronneC, il suffit de montrer que les coefficients précédents sont indépendants des etS.

Indépendance ens etS

Fixons un rayon intermédiaires < T < S. Alors, les deux séries précédentes convergent normalement au voisinage du cercle de rayonT. La convergence normale justifie les interversions séries-intégrales :

\oint _{C_{T}}{\frac {f(z)}{z^{k+1}}}\,\mathrm {d} z=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(f,S)\oint _{C_{T}}{\frac {1}{z^{k+1-n}}}\,\mathrm {d} z+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(f,s)\oint _{C_{T}}{\frac {1}{z^{k+1+n}}}\,\mathrm {d} z

Dans l'article « Intégrale curviligne », le lecteur trouvera le résultat suivant :

\oint _{C_{T}}{\frac {1}{z^{q}}}\,\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \delta _{q,1}

Par conséquent :

{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C_{T}}{\frac {f(z)}{z^{k+1}}}\,\mathrm {d} z={\begin{cases}a_{n}(f,S)&{\text{ si }}k=n~;\\b_{n}(f,s)&{\text{ si }}k=-n.\end{cases}}

De fait, cette formule montre que les coefficients

a_{n}(f,S)

b_{n}(f,S)

ne dépendent pas des et deS. Quand on fait variers etS entre les limitesr etR, il est en effet possible de fixer un rayon intermédiaire, du moins pour de petites variations. Par conséquent,