Une définition, plus abstraite, mais équivalente, est celle d'un référentiel par rapport auquel le temps est uniforme, l'espace homogène et isotrope[R 1]. Il s'agit en pratique d'une idéalisation, larecherche d'un référentiel inertiel étant un sujet délicat, et sa détermination concrète toujoursapproximative.
Tout référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen : il existe donc une infinité de référentiels galiléens, les formules de passage de l'un à l'autre se faisant partransformation de Galilée, qui laisse inchangée la forme des lois du mouvement de Newton. Enmécanique relativiste, le passage d'un référentiel galiléen à l'autre fait intervenir latransformation de Lorentz, qui se ramène à celle de Galilée pour des vitesses faibles devant celle de la lumière dans le vide.
Les lois de la mécanique sont invariantes par changement de référentiel galiléen : ce postulat constitue le principe de larelativité galiléenne, qui toutefois n'est pas valable pour l'électrodynamique classique. En effet, les formules de passage d'un référentiel galiléen à un autre prévoient une dépendance de la vitesse de la lumière dans le videc selon le référentiel par composition des vitesses,ce qui n'est pas observé. La prise en compte de cette invariance dec par changement de référentiel galiléen est à la base de la théorie de larelativité restreinte[R 2].
Dans unréférentiel non inertiel, qui est animé d’unmouvement accéléré par rapport à un référentiel galiléen, il faut faire intervenir lesforces d’inertie. Ces forces se distinguent de celles prises en compte dans un référentiel galiléen, car elles ne sont pas associées à une interaction entre le corps dont on étudie le mouvement et un autre corps.
Enphysique classique comme enrelativité restreinte, l'espace de l'observateur est assimilé à unespace affine à trois dimensions auquel est associé un temps utilisé pourparamétrer les mouvements des corps observés. L'association d'un tel repère d'espace, qui implique l'existence d'un «solide de référence» auquel on rapporte l'étude des mouvements, et d'un repère de temps ou « horloge », constitue unréférentiel.
En effet, pour un référentiel quelconque, l'espace n'apparaîtra pas nécessairementhomogène et/ouisotrope, ni le tempsuniforme. Par exemple, l'étude du mouvement d'un corps par rapport au référentiel lié à un wagon en mouvement accéléré par rapport aux voies fera apparaître une direction privilégiée, celle du vecteur accélération, donc uneanisotropie de l'espace. Il en sera de même pour un référentiel lié à un corps en mouvement de rotation autour d'un axe, qui fera apparaître à la fois une direction privilégiée, celle de l'axe de rotation (anisotropie), et des effets « centrifuges » dépendant de la distance à l'axe (non-homogénéité de l'espace), voire du temps si la vitesse de rotation n'est pas constante (non-uniformité du temps). Ces deux exemples sont détaillés plus bas.
Une telle situation conduirait à devoir écrire les équations de la physique, notamment celles de la mécanique, d'une façon distincte selon le référentiel d'étude, c'est-à-dire sous une formenon covariante, à moins de définir une classe de référentiels particuliers, ditsgaliléens, par rapport auxquels ces équations prennent justement une forme covariante.
Les considérations précédentes conduisent à définir de façon générale[R 1] un référentiel galiléen comme un référentiel pour lequel l'espace esthomogène (tous les points sont équivalents) etisotrope (toutes les directions de l'espace sont équivalentes), et le temps uniforme (tous les instants sont équivalents[N 1]).
Une autre définition, historique, et souvent donnée à un niveau élémentaire, est celle d'un référentiel dans lequel est vérifié leprincipe d'inertie :tout[N 2]point matériel libre (c.-à-d., qui n'est soumis à aucuneforce) est animé d'un mouvement rectiligne uniforme, l'immobilité étant un cas particulier.
Cette définition estrigoureusement équivalente à la précédente : dans un référentiel où le temps est uniforme, et l'espace homogène et isotrope, un corps libre ne subira aucun changement dans les conditions auxquelles il est soumis durant son déplacement, tous les points de l'espace étant équivalents, et ce quelle que soit la direction de son mouvement, du fait de l'isotropie, et à tout instant, du fait de l'uniformité du temps. Dès lors, il persistera dans son mouvement avec un vecteur vitesse constant, donc rectiligne et uniforme, ou son état de repos, ce qui correspond à l'énoncé du principe d'inertie.
Enfin une dernière définition, également équivalente aux deux précédentes, mais plus adaptée au cadre particulier de la mécanique newtonienne, est celle d'un référentiel par rapport auquel larelation fondamentale de la dynamique s'écrit sous une forme ne faisant intervenir que des forces réellement appliquées, c'est-à-dire traduisant une interaction, à distance ou de contact, du corps considéré avec d'autres corps, à l'exclusion de toutesforces d'inertie[R 3],[R 4].
Dans la pratique, un référentiel lié à des corps réels ne peut être qu'approximativement, localement et momentanément galiléen.
Il a déjà été indiqué que par rapport à un système de référence quelconque, l'espace est physiquement non-homogène et anisotrope, et le temps non uniforme, et dans ce cas la description d'un phénomène même simple peut prendre une forme très compliquée, comme il est possible de le montrer simplement en détaillant les deux exemples de référentielsnon inertiels déjà évoqués plus haut.
Soit un wagon en mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré d'accélération, par rapport à un référentiel lié aux voies, approximativement galiléen. Le mouvement accéléré du wagon se traduit par l'existence, du point de vue d'un observateur lié à un tel référentiel, d'une force d'inertie s'appliquant à tout point matériel. Cette force d'inertie est localementéquivalente[N 3] à unchamp de gravitation[N 4] uniforme et constant, de valeur, non lié à la présence d'un corps physique, mais constituant une propriété intrinsèque de ce référentiel.
Donc dans un référentiel lié au wagon, le temps sera uniforme, le champ étant constant, et l'espace sera homogène (tous les points seront équivalents, le «champ» étant uniforme) maisnon isotrope, la direction de étant privilégiée. Dès lors, le référentiel ne sera pas galiléen, les corps auront tendance à se déplacer dans la direction opposée à celle de l'accélération, et ceci sans qu'aucune force« réelle » ne leur soit appliquée : le principe d'inertie n'y sera donc pas vérifié[N 5].
Comparaison des points de vue entre deux observateurs, l'un lié à un référentiel supposé inertiel (en vert) et l'autre à un référentiel tournant (en rouge).
Soit un objet lié à l'axe d'un disque en rotation par un fil supposé totalement rigide (exemple d'un manège). Un observateur lié au référentiel en rotation associé au disque constatera l'existence d'une force d'inertie radiale[R 4], étant lavitesse angulaire de rotation etr la distance à l'axe. Tout se passe comme s'il existait dans ce référentiel un champ de gravitation non uniforme[N 4] (et en général non constant), intrinsèquement lié au référentiel, de valeur.
Par rapport à un tel référentiel, l'espace ne sera ni homogène (la valeur du «champ» varie selonr, tous les points ne sont pas équivalents) ni isotrope (l'axe de rotation constitue une direction privilégiée), et le temps ne sera pas non plus homogène (sauf si). Là encore le principe d'inertie ne sera pas vérifié : par rapport à un tel référentiel, un corps libre aura tendance à se déplacer vers l'extérieur, ce que constatera l'observateur si le fil est rompu par exemple[N 6].
Du point de vue de la deuxième loi de newton appliquée à l'objet sur le disque pris comme système, chacun des deux observateurs décrira la situation de façon différente (cf. figure ci-contre). L'observateur lié au disque comme celui d'un objetau repos, soumis à deux forces, la tension du fil et la force d'inertie. Celui lié au sol, référentiel supposé galiléen, décrira la situation comme celle d'un objet enmouvement circulaire, subissant comme seule force la tension du fil, et donc ayant une accélération centripète : clairement les deux points de vue ne sont pas équivalents[N 7].
Cependant, l'expérience nous apprend que l'on peut toujours trouver un référentielgaliléen : l'espace y est (approximativement) homogène et isotrope, et le temps uniforme. En pratique on se contente d'un référentiel approximativement inertiel, approximation jugée satisfaisante pour l'expérience considérée. Ainsi, leréférentiel terrestre peut être supposé galiléen, sauf si les effets de la rotation de laTerre ne sont pas négligeables : pour uneexpérience de courte durée en laboratoire, cela sera généralement accepté ; pour le calcul de la trajectoire d'unmissile balistique, non.
Il convient de souligner cependant que dans ce référentiel il est fait usage d'une force, lepoids, traduisant l'action de laTerre sur un corps placé dans son voisinage, qui dans sa définition prend en compte des effetsnon-inertiels, à savoir celui de la rotation de la Terre, et (dans une bien moindre mesure) leseffets différentiels de marée, liés principalement auSoleil et à laLune. Toutefois, les effets de l'accélération de Coriolis ne seront pas pris en compte par le poids.
Un «meilleur» référentiel pourra être leréférentiel géocentrique, lié au centre de laTerre, et dont les directions du repère d'espace associé pointent vers troisétoiles lointaines pouvant être considérées comme fixes. Dans ce référentiel, la Terre est en rotation, ce qui élimine l'effet non inertiel («axifuge») lié à celle-ci, toutefois il persistera l'effet de l'accélération de la Terre sur sonorbite, entre autres, donc le référentiel ne sera pas rigoureusement galiléen. Toutefois pour des observations d'une durée faible devant lapériode de rotation de la Terre l'approximation est très bonne. Des référentiels encore «meilleurs» seront constitués par ceux deKepler ou deCopernic, liés respectivement au centre duSoleil et aucentre d'inertie dusystème solaire, pour lesquels les effets non-inertiels, liés entre autres au mouvement du Soleil par rapport au centregalactique, ne seront perceptibles que pour des périodes de plusieurs millions d'années.
Ces exemples montrent le caractère idéal de la notion de référentiel galiléen. Il est évident que le choix du référentiel dépend aussi du problème étudié. Les référentiels de Copernic ou de Kepler sont sans doute pratiques pour l'étude du mouvement des corps du système solaire, beaucoup moins pour celle de la trajectoire d'unsatellite et encore moins pour celle d'un avion... Le référentiel géocentrique et le référentiel terrestre, respectivement, seront beaucoup plus appropriés, bien que non rigoureusement galiléens.
Il est aussi possible de noter que le référentiel lié au centre de masse d'unsatellite artificiel, dont le repère d'espace associé est défini par les directions de trois étoiles« fixes » définit un référentiel « quasi galiléen », comme en témoigne le fait que dans lacapsule spatiale les objets flottent enimpesanteur (pas deforces d'inertie). En fait, ce type de référentiel, qui peut être considéré en première approximation comme enchute libre[N 8], peut être qualifié comme « localement » galiléen. Toutefois ce « caractère galiléen » ne sera approximativement valable que dans un voisinage de l'origine de ce référentiel, contrairement à un « vrai » référentiel inertiel. Cette notion de référentiel «localement inertiel»[R 5] a un intérêt particulier dans la théorie de larelativité générale[N 9].
Représentation du mouvement de translation rectiligne et uniforme des repères d'espace associés à deux référentiels.
Étant donné un référentiel supposé galiléen tout autre référentiel, en mouvement de translation[N 10] rectiligne et uniforme (cf. figure ci-contre), constituera un référentiel galiléen. Il existe ainsi une infinité de référentiels galiléens, les formules de passage des uns aux autres étant données par latransformation de Galilée (ou deLorentz dans le cas de la relativité restreinte), comme décrit plus bas.
La notion de référentiel galiléen est fondamentale en physique, particulièrement en mécanique. De fait, postuler l'existence d'un tel référentiel est indispensable pour pouvoir énoncer des lois physiques générales, qui ne varient ni au cours du temps ni selon la position dans l'espace ou la direction considérée. En physique classique notamment, newtonienne ou relativiste (restreinte), les référentiels galiléens constituent une «classe privilégiée» de référentiels, pour lesquels les lois physiques sont invariantes lors d'un passage d'un de ces référentiels à un autre : ce postulat constitue leprincipe de relativité[R 1]. Ce principe s'exprime différemment dans le cadre de la mécanique newtonienne et de la relativité restreinte.
Enmécanique newtonienne, tous les référentiels galiléens sont équivalents : leslois du mouvement sont invariantes par changement de référentiel galiléen, le temps s'écoulant, par hypothèse, au même rythme pour tous les observateurs. Cela signifie qu'une horloge calibrée dans un référentiel continuera à mesurer les mêmes durées dans tout autre référentiel (galiléen ou non d'ailleurs), ou encore que deux évènements simultanés par rapport à ce référentiel le seront dans tous les autres. Le temps est ditnewtonien ouabsolu. Le principe de relativité galiléenne sera limité dans son domaine d'application à la mécanique newtonienne, c'est-à-dire aux vitesses faibles devant celle de la lumière dans le vide et/ou aux champs gravitationnels de faible intensité[R 5].
Dans le cadre de larelativité restreinte, l'équivalence des référentiels galiléens est aussi supposée valide, mais lavitesse de la lumière dans levide est également postulée commeinvariante par changement de référentiel galiléen[R 5],[R 6]. Il est facile de montrer que ceci est incompatible avec le caractère absolu de la simultanéité[R 5],[R 7] et donc du temps de la mécanique newtonienne. Il n'y a plus alors, comme en mécanique newtonienne, d'invariances distinctes de la durée et de la distance entre deux événements lors d'un changement de référentiel galiléen, mais invariance de l'intervalle d'espace-temps, par suite des observateurs situés dans des référentiels différents vont obtenir une séparation en temps et en espace différente entre deux mêmes évènements.
Lamécanique newtonienne permet toutefois de raisonner dans tout référentiel, les effets non-inertiels étant pris en compte en utilisant la notion de force d'inertie, bien que l'utilisation de référentiels (approximativement au moins) galiléens soit généralement privilégiée afin de simplifier les analyses. En revanche, larelativité restreinte ne s'applique que dans les référentiels galiléens, les autres référentiels sont étudiés enrelativité générale.
Deux expériences demécanique newtonienne, ouclassique, faites identiquement dans deux référentiels inertiels distincts s'y déroulent de manière identique. En relativité restreinte, il s'agit de tous types d'expériences physiques (hormis lagravitation qui n'y est pas définie), et pas seulement de mécanique.
Par exemple, en mécanique classique, en considérant le sol terrestre comme un référentiel galiléen dans lequel les corps ne subissent que l'influence de lagravitation (en première approximation), le référentiel lié à un train en mouvement de translation rectiligne à vitesse constante par rapport au sol est lui aussi inertiel (sous l'influence aussi de la gravitation). Soit deux personnes, la première immobile par rapport au sol, et la seconde par rapport au train. Si ces deux personnes lâchent, sans vitesse initiale, un objet en tous points identique, à une même distance du sol ou du plancher du train, elles observeront chacune une chute de leur objet suivant une droite verticale, parfaitement identique aux observations de l'autre (les mesures faites par l'une et l'autre personne sont identiques).
Une expérience observée depuis deux référentiels galiléens distincts (supposés en mouvement relatif de translation rectiligne uniforme) suit une loi identiquement écrite dans les deux référentiels. La différence entre les deux lois n'étant que la valeur numérique d'un paramètre (sous forme vectorielle, en général) qui change d'un référentiel à l'autre du fait de la vitesse relative des deux référentiels. Ce paramètre change les observations et mesures de l'expérience faites depuis l'un ou l'autre référentiel. Dans l'exemple cité ci-dessus, si une des personnes regarde la chute de l'objet de l'autre, elle ne verra pas une chute identique : en plus du mouvement vertical, elle y verra un mouvement horizontal rectiligne uniforme, le tout formant à ses yeux une trajectoire à la forme parabolique.
Un changement de référentiel est l'ensemble des lois à appliquer pour convertir lesgrandeurs physiques d'un référentiel à un autre. Dans le cas où la conversion porte sur les distances et les durées, on parle detransformation.
Il a déjà été indiqué qu'un référentiel animé d'un mouvementrelatif de translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel, supposé inertiel, est lui-même inertiel, et qu'il existe donc une infinité de référentiels inertiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres[N 11].
Schéma de la situation considérée.
Soient(R) et(R') deux référentiels inertiels en mouvement de translation rectiligne uniforme l'un rapport à l'autre de vitesse relative, tels que les axes des repères d'espace associés soient deux à deux parallèles[N 12], les origines de ceux-ci coïncidant à l'origine commune des dates cf. figure ci-contre). En notant et les vecteurs position d'un pointM du corps observé par rapport respectivement à(R) et(R'), ett ett' le temps dans chaque référentiel, les formules de changement de référentiel s'écrivent :
.
La première équation traduit en fait l'hypothèse dutemps absolu, c'est-à-dire de l'invariance des durées et entre deux mêmes évènements lors du changement de référentiel. Il s'agit d'un exemple detransformation propre de Galilée.
Dans le cas particulier où les axes des référentiels sont deux à deux parallèles et la vitesse relative est parallèle à l'axe des, ces formules deviennent :
Dans cette théorie aussi, on admet comme hypothèse que tous les référentiels galiléens sont en translation spatiale rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. Toutefois, et contrairement à la mécanique non relativiste le caractère invariant de la vitesse de la lumière dans le vide conduit à devoir abandonner l'hypothèse du temps absolu. Par suite, le temps doit être traité sur le même plan que l'espace, conduisant au concept d'espace-temps, qui peut être représenté par un espace (pseudo-)euclidien quadridimensionnel appeléespace de Minkowski à quatre dimensions.
Courbe représentant la variation du facteur de Lorentzγ en fonction de la vitessev.
Par suite, et par contraste avec la mécanique newtonienne, où le changement de référentiel galiléen suppose les invariancesséparées de la durée () et de la distance () entre deux évènements, c'est l'intervalle d'espace-temps qui est invariant lors du changement de référentiel, ceci constituant en fait la traduction mathématique de l'invariance dec[R 2],[R 5].
Les formules de transformations précédentes sont remplacées par la transformation de Lorentz, qui dans le cas de la dernière situation considérée se met sous la forme :
Une des principales conséquences de ces formules est que la vitesse de la lumière dans le vide est unevitesse limite : en effet le facteur de Lorentz diverge quand (cf. figure plus haut).Pour des vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière dans le vide cette transformation coïncide avec la transformation de Galilée.
Enrelativité générale, toutemasse et touteénergie cinétique impliquent unecourbure de l'espace-temps et donc une déviation des trajectoires possibles dans l'environnement de la masse : cet effet est lagravitation. Au voisinage d'aucune masse l'espace est homogène et isotrope, donc il ne peut y avoir de véritable référentiel galiléen au sens où cela est compris en relativité restreinte ou en physique classique.
Toutefois, il a déjà été indiqué qu'un référentiel en chute libre dans un champ de gravitation est localement inertiel[R 5]: d'après leprincipe d'équivalence, au voisinage immédiat d'unegéodésique tout corps suit une géodésiqueparallèle et à la même vitesse, donc dans ce référentiel, et très localement (mathématiquement : en un point), tout corps vérifie le mouvement inertiel. Bien sûr, il faut pour accepter cela parler de corpsquasi virtuel aux énergies et masses trop petites pour avoir un effet perceptible sur l'espace-temps.
Plus précisément, la recherche d'un référentiel localement inertiel consiste à considérer la métrique de l'espace-temps en un point d'univers donné, ce qui implique que les sont constants, et de rechercher la transformation permettant de ramener la matrice de ces coefficients à une forme diagonale[R 5].
Dans cette théorie, du fait duprincipe d'équivalence, les référentiels galiléens ne sont pas tous entranslation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres ; et en toute rigueur, l'espace étant courbe, cette notion de « translation rectiligne uniforme » ne peut avoir le même sens que dans unespace affine. Une des utilités des référentiels galiléens est que les égalitéstensorielles y sont plus simples à établir que dans le cas général d'un référentiel quelconque et qu'une fois établie pour un type de référentiel, une égalité tensorielle est vraie pour tout type de référentiel (donc est toujours vraie).
Toutefois, la relativité générale peut coïncider à peu près avec la relativité restreinte sur des petites régions de l'espace-temps où les effets de courbure sont moins importants, auxquels cas les raisonnements liés aux référentiels galiléens peuvent de nouveau être appliqués.
Déjà, ce savant mettait en cause l'a priori que l'espace physique est un espace euclidien à trois dimensions, bien qu'il ait conclu qu'« Aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec lepostulatum d'Euclide ; en revanche aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec le postulatum de Lobatchevsky »[N 13].
Poincaré articule sa réflexion comme suit. Un référentiel galiléen est défini comme unrepère cartésien, de l'espace supposé affine, dans lequel le mouvement de tout corps non influencé par uneforce est rectiligne uniforme : il faut savoir ce qu'est une force avant de poser cette définition. Une force ne peut être mesurée -donc définie- que par le fait qu'elle rend le mouvement non rectiligne-uniforme[N 14] : la notion de force présuppose que celle de référentiel galiléen est bien définie. La force et le référentiel inertiel sont définis l'un par l'autre. Ce qui ressemble dès lors à une définition circulaire trouve sa justification dans les expériences : en observant des systèmesà peu près isolés (c'est-à-dire loin de tout corps pouvant l'influencer de manière significative), on arrive toujours à définir des référentiels dans lesquels les mouvements descentres de gravité des systèmes sontà peu près rectilignes et uniformes[N 15]. Enfin, Henri Poincaré insiste : la mécanique est une science expérimentale où lanature des notions utilisées importe peu, seul compte le fait que ces notions soient « commodes » du point de vue de leur formulation mathématique, qu'elles soientmesurables et permettent de prédire des résultats d'expériences renouvelées.
↑Plus précisément l'uniformité du temps signifie qu'il s'écoulede la même manière... au fil du temps. On comprend intuitivement ce que cela signifie : le laps de temps que l'on appelle « une seconde » dure le même temps qu'il s'écoule aujourd'hui ou demain. De manière plus formelle, cela peut signifier qu'il y a invariance des équations par translation dans le temps de l'ensemble de l'expérience, ou bien qu'ayant deux horloges identiques et les faisant démarrer à des instants différents quelconques, ils compteront le même nombre de secondes entre deux événements quelconques.
↑Cette précision est fondamentale: un référentiel en chute libre dans un champ de gravitation, et donc accéléré par rapport à un "vrai" référentiel galiléen, dans un voisinage de son origine "se comporter" comme un référentiel galiléen, du fait de la compensation du champ de gravitation. On parle de référentiel "localement" galiléen (ou inertiel), concept souvent utile en relativité générale. Toutefois ceci ne sera pas vrai pour tous les corps, puisque le champ de gravitation n'est pas constant dans tout l'espace, et donc un tel référentiel ne sera pas vraiment galiléen.
↑Ceci est une conséquence de l'identité de la masse grave et de la masse inerte.
↑a etbIl est important de souligner une différence fondamentale entre ce "champ de gravitation équivalent" et un champ de gravitation "réel", créé par un corps massif. Ce dernier s'annule à l'infini, et ne peut pas, par aucun choix de référentiel, être éliminé dans tout l'espace, tout au plus localement, au voisinage de l'origine, pour un référentiel "localement inertiel", alors que le premier ne possède pas cette propriété, et disparaît par un choix approprié de repère, cf.Lev Landau etEvgueni Lifchits,Physique théorique,t. 2 :Théorie des champs[détail des éditions], §82.
↑En revanche, dans le référentiel (approximativement) galiléen lié aux voies, il est parfaitement possible de comprendre le fait qu'un corps, initialement immobile par rapport au wagon, par exemple un voyageur se tenant debout, sera "projeté" dans le sens se l'accélération du wagon. Dans le référentiel des voies, le voyageur persiste dans le mouvement de translation rectiligne et uniforme qu'il avait avant que ne débute la phase d'accélération du wagon... Il (ou elle) finira bien sûr par être "rattrapé(e)" par les parois du wagon bien sûr...
↑C'est bien ce qui est observé lorsqu'une pierre est lancée avec une fronde.
↑Si les référentiels étaient galiléens, un corps au repos dans l'un des référentiels ne pourrait être dans l'autre qu'au repos ou en mouvement rectiligne et uniforme.
↑Dans le cadre de cette théorie, un tel référentiel peut être déterminé en considérant un point d'espace-temps donné, et en recherchant la transformation permettant de ramener à lamétrique de Minkowski la métrique de l'espace-temps courbe, évaluée au point considéré,cf.Lev Landau etEvgueni Lifchits,Physique théorique,t. 2 :Théorie des champs[détail des éditions],op. cit., §82.
↑C'est-à-dire que le mouvement du second référentiel se fait sans changement de direction des axes du repère d'espace associé.
↑Il convient de souligner que leprincipe d'équivalence d'Einstein permet de construire des référentiels inertiels en chute libre dans un champ de gravitation, qui seront "localement inertiels", voir plus bas.
↑Cette condition est indispensable pour ne pas avoir à tenir compte de la rotation des axes dans les formules: cf. l'articletransformation de Galilée pour une situation plus générale.
↑Ce qui signifie que comme l'espace euclidien etcelui de Lobatchevsky peuvent être plongés l'un dans l'autre (voir par exemple ledemi-plan de Poincaré), toute propriété due aux particularités de l'un de ces espaces peut être traduite comme une propriété physique dans l'autre.
↑Henri Poincaré examine aussi le problème de la comparaison des forces, et en déduit qu'elle ne peut se faire sans des hypothèses fortes (telle leprincipe de l'action et de la réaction) et en déduit que la gravitation ne peut pas non plus servir d'étalon pour la définition de la notion de force.
↑Henri Poincaré traite aussi de la définition de la masse du corps, qui se trouve dans une situation aussi délicate.
