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Quaternion

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« Quaternions » redirige ici. Pour legroupe Q8, voirGroupe des quaternions.

Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur lepont de Broom (Dublin).
« Ici, le 16 octobre 1843, alors qu'il se promenait, SirWilliam Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la multiplication des quaternions
i2 = j2 = k2 = ijk = –1
et la grava sur une pierre du pont. »

Enmathématiques, unquaternion est unnombre dans un sens généralisé[1]. Les quaternions englobent lesnombres réels etcomplexes dans un système de nombres plus vaste où la multiplication n'est cette fois-ci plus uneloi commutative. Les quaternions furent introduits par lemathématicienirlandaisWilliam Rowan Hamilton en 1843[2],[3]. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, enphysique, eninformatique et ensciences de l'ingénieur.

Les quaternions sont ainsi le premier exemple denombres hypercomplexes. D'après lethéorème de Frobenius ce sont aussi les derniers, au sens où il n'existe pas de système de nombres plus général à moins de renoncer à l'associativité de la multiplication. Mathématiquement, l'ensemble des quaternionsH{\displaystyle \mathbb {H} } est une algèbre associativeunifère sur lecorps des nombres réelsR{\textstyle \mathbb {R} } engendrée par trois élémentsi{\displaystyle i},j{\displaystyle j} etk{\displaystyle k} satisfaisant lesrelations quaternioniques :

i2=j2=k2=ijk=−1{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}.

C'est unealgèbre à division : tout quaternion non nul admet un inverse. La multiplication des quaternions n'étant pascommutative,H{\displaystyle \mathbb {H} } est le premier exemple decorps non commutatif.

Dans une publication sur lesoctonions, le mathématicienJohn Baez rappelle une perte progressive de propriétés : les réels sont complets et ordonnés, les complexes ne sont pas ordonnés, mais se comportent « algébriquement bien », les quaternions ne sont pluscommutatifs, et les octonions ne sont même plusassociatifs[4].

Histoire

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Les quaternions furent « découverts » parHamilton en1843. D'importants précurseurs de ses travaux sont l'identité des quatre carrés d'Euler (1748) et laformule d'Euler-Rodrigues (1840).Gauss « découvrit » également les quaternions en 1819, mais ses travaux ne furent publiés qu'en 1900[5].

Hamilton savait que les nombres complexes pouvaient être représentés dans le plan à deux dimensions, et il chercha longtemps une opération dans l'espace à trois dimensions qui généraliserait lamultiplication complexe.Frobeniusmontrera en 1877 que cette recherche était vaine, il fallait introduire une dimension supplémentaire. D'après les dires de Hamilton, l'étincelle se produisit le, alors qu'il marchait le long du Royal Canal àDublin en compagnie de son épouse. La solution lui vint à l'esprit sous la forme des relations :i2=j2=k2=ijk=−1{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}. Il grava cette formule dans une pierre dupont de Brougham. Cette inscription, aujourd'hui effacée par le temps, est remplacée par une plaque à sa mémoire. Il donna leur nom aux quaternions et consacra le restant de sa vie à les étudier et à les diffuser.

Dans le sillage de Hamilton, d'autres « nombres » comme les octonions furent découverts, qualifiés denombres hypercomplexes. Les quaternions et autres hypercomplexes furent toutefois délaissés au profit de l'analyse vectorielle à la fin duXIXe siècle. Ils ont connu un regain d'intérêt depuis la fin duXXe siècle, notammentdans certaines sciences de l'ingénieur en raison de la représentation qu'ils offrent des rotations spatiales, qui évite de s'encombrer de matrices.

Définition

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Table de multiplication
×1ijk
11ijk
ii−1k−j
jj−k−1i
kkj−i−1
(les cases colorées montrent la non-commutativité de la multiplication)

L'ensembleH{\displaystyle \mathbb {H} } des quaternions peut être décrit comme l'algèbre associative unifère sur lecorps des nombres réelsR{\displaystyle \mathbb {R} } engendrée par trois élémentsi{\displaystyle i},j{\displaystyle j} etk{\displaystyle k} satisfaisant lesrelations quaternioniquesi2=j2=k2=ijk=−1{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}[6].

Concrètement, tout quaternionq{\textstyle q} s'écrit de manière unique sous la formeq=a+bi+cj+dk{\displaystyle q=a+bi+cj+dk} oùa{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c}, etd{\displaystyle d} sont des nombres réels eti{\displaystyle i},j{\displaystyle j} etk{\displaystyle k} sont trois symboles.

Les quaternions s'ajoutent et se multiplient comme d'autres nombres (associativité de la multiplication et de l'addition,distributivité de la multiplication sur l'addition, etc.), en prenant garde à ne pas s'autoriser de changer l'ordre des facteurs dans un produit (la multiplication n'est pas commutative), sauf pour un facteur réel[6]. Lorsque des produits des symbolesi{\displaystyle i},j{\displaystyle j} etk{\displaystyle k} sont rencontrés, ils sont remplacés par leurs valeurs :

i2=−1,ij=k,ji=−k,j2=−1,jk=i,kj=−i,k2=−1,ki=j,ik=−j,{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}i^{2}&=-1,&\qquad ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\j^{2}&=-1,&\qquad jk&=i,&kj&=-i,\\k^{2}&=-1,&\qquad ki&=j,&ik&=-j,\end{alignedat}}}

La formulei2=j2=k2=ijk=−1{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1} condense toutes ces relations.

Par exemple, multiplions les quaternionsq1=3i−k{\displaystyle q_{1}=3i-k} etq2=2+j+k{\displaystyle q_{2}=2+j+k} :

q1q2=(3i−k)(2+j+k)=3i(2+j+k)−k(2+j+k)=6i+3ij+3ik−2k−kj−k2=6i+3k−3j−2k+i+1=1+7i−3j+k.{\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}\,q_{2}&=(3i-k)(2+j+k)\\&=3i(2+j+k)-k(2+j+k)\\&=6i+3ij+3ik-2k-kj-k^{2}\\&=6i+3k-3j-2k+i+1\\&=1+7i-3j+k\,.\end{aligned}}}alors que:q2q1=(2+j+k)(3i−k)=2(3i−k)+j(3i−k)+k(3i−k)=6i−2k+3ji−jk+3ki−k2=6i−2k−3k−i+3j+1=1+5i+3j−5k.{\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}\,q_{1}&=(2+j+k)(3i-k)\\&=2(3i-k)+j(3i-k)+k(3i-k)\\&=6i-2k+3ji-jk+3ki-k^{2}\\&=6i-2k-3k-i+3j+1\\&=1+5i+3j-5k\,.\end{aligned}}}

En tant qu'espace vectoriel réel,H{\displaystyle \mathbb {H} } est canoniquementisomorphe àR4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}, unebase deH{\displaystyle \mathbb {H} } étant donnée par le quadruplet(1,i,j,k){\displaystyle (1,i,j,k)}.

Comme toutealgèbre unitaire,H{\displaystyle \mathbb {H} } contient le corps de baseR{\displaystyle \mathbb {R} } dans soncentre ; il y a en fait égalité des deux : les réels sont les uniques quaternions qui commutent avec tous les autres.H{\displaystyle \mathbb {H} } contient également lecorps des complexesC{\displaystyle \mathbb {C} } : l'expressionz=a+bi{\displaystyle z=a+bi} peut désigner indifféremment un nombre complexe ou un quaternion (c'est une manière commode de représenter le fait qu'il existe un unique morphisme d'algèbresC↪H{\displaystyle \mathbb {C} \hookrightarrow \mathbb {H} } qui envoie le nombre complexe usuellement notéi{\displaystyle i} sur le quaternioni{\displaystyle i}). En particulierH{\displaystyle \mathbb {H} } est naturellement unC{\displaystyle \mathbb {C} }-espace vectoriel de dimension 2. En tant qu'algèbre,H{\displaystyle \mathbb {H} } peut être représentée comme une sous-algèbre des algèbres de matricesM4(R){\displaystyle {\mathcal {M}}_{4}(\mathbb {R} )} etM2(C){\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )} (voir plus bas).

À l'instar de tout nombre réel ou complexe non nul, tout quaternion non nul admet un inverse (unique, nécessairement).H{\displaystyle \mathbb {H} } est donc uncorps non commutatif, en l'occurrence uneR{\displaystyle \mathbb {R} }-algèbre à division. Lethéorème de Frobenius assure que c'est l'uniqueR{\displaystyle \mathbb {R} }-algèbre à division de dimension finie associative et unifère hormis le corps des nombres réelsR{\displaystyle \mathbb {R} } et le corps des nombres complexesC{\displaystyle \mathbb {C} }. Si l'on autorise la perte de l'associativité de la multiplication, on trouve également l'algèbre des octonions.

Parties réelle et imaginaire, conjugaison, norme et inverse

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Soitq=a+bi+cj+dk{\displaystyle q=a+bi+cj+dk} un quaternion (oùa{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c}, etd{\displaystyle d} sont des nombres réels).

Le nombre réela{\displaystyle a} est appelépartie réelle (ou scalaire) deq{\displaystyle q} et est notéRe⁡(q){\displaystyle \operatorname {Re} (q)}. Le quaternionbi+cj+dk{\displaystyle bi+cj+dk}, qualifié d'imaginaire pur, est appelépartie imaginaire (ou vectorielle) deq{\displaystyle q} et est notéIm⁡(q){\displaystyle \operatorname {Im} (q)}. On peut donc écrireq=Re⁡(q)+Im⁡(q){\displaystyle q=\operatorname {Re} (q)+\operatorname {Im} (q)}.

Le quaternionRe⁡(q)−Im⁡(q){\displaystyle \operatorname {Re} (q)-\operatorname {Im} (q)} est appeléconjugué (quaternionique) deq{\displaystyle q} et est notéq¯{\displaystyle {\overline {q}}} (d'autres notations sont utilisées, par exempleq∗{\displaystyle q^{*}} etqt{\displaystyle q^{t}}). La conjugaison quaternioniqueq↦q¯{\displaystyle q\mapsto {\overline {q}}} est unantiautomorphisme involutif deH{\displaystyle \mathbb {H} } : elle estR{\displaystyle \mathbb {R} }-linéaire,involutive, et renverse les produits : on a toujoursq1q2¯=q2¯q1¯{\displaystyle {\overline {q_{1}\,q_{2}}}={\overline {q_{2}}}\,\,{\overline {q_{1}}}}.

Le nombre réel positif‖q‖{\displaystyle \Vert q\Vert } défini par‖q‖2=a2+b2+c2+d2=qq¯{\displaystyle \Vert q\Vert ^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=q\,{\overline {q}}} est appelénorme deq{\displaystyle q}. C'est lanorme euclidienne associée au produit scalaire usuel surR4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}. Les propriétés de la conjugaison quaternionique rendent cette norme multiplicative : on a toujours‖q1q2‖=‖q1‖‖q2‖{\displaystyle \Vert q_{1}\,q_{2}\Vert =\Vert q_{1}\Vert \,\Vert q_{2}\Vert }.

Tout quaternion non nulq{\displaystyle q} admet un inverse (unique) donné parq−1=1‖q‖2q¯{\displaystyle q^{-1}={\frac {1}{\Vert q\Vert ^{2}}}{\overline {q}}}. Cela permet la division d'un quaternionq1{\displaystyle q_{1}} par un quaternion non nulq2{\displaystyle q_{2}}, mais cette division peut être effectuée à gauche ou à droite (en ne produisant pas le même résultat en général) :q2−1q1{\displaystyle {q_{2}}^{-1}\,q_{1}} ouq1q2−1{\displaystyle q_{1}\,{q_{2}}^{-1}}. Pour cette raison la notationq1q2{\displaystyle {\frac {q_{1}}{q_{2}}}} est ambiguë et ne doit pas être utilisée.

Représentations matricielles

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De même qu'il est possible d'associer à un nombre complexez=a+ib{\displaystyle z=a+ib\,} la matrice(a−bba){\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\,}, on peut associer des matrices aux quaternions. Il y a deux manières standard de le faire, la première est d'utiliser des matrices réelles de dimension 4×4, la seconde des matrices complexes de dimension 2×2. Ces associations permettent respectivement d'identifierH{\displaystyle \mathbb {H} } comme une sous-algèbre deM4(R){\displaystyle {\mathcal {M}}_{4}(\mathbb {R} )} etM2(C){\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}.

Représentation des quaternions comme matrices 4×4 de nombres réels

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Faisons agirH{\displaystyle \mathbb {H} } sur lui-même par multiplication à gauche. Cette action estR{\displaystyle \mathbb {R} }-linéaire et fidèle, elle définit donc un morphisme d'algèbres injectifH↪EndR⁡(H)≈M4(R).{\displaystyle \mathbb {H} \hookrightarrow \operatorname {End} _{\mathbb {R} }(\mathbb {H} )\approx {\mathcal {M}}_{4}(\mathbb {R} ).} La matrice associée au quaternionq=a+bi+cj+dk{\displaystyle q=a+bi+cj+dk\,} est la matrice suivante(a−b−c−dba−dccda−bd−cba){\displaystyle {\begin{pmatrix}\quad a&\quad -b&\quad -c&\quad -d\\\quad b&\quad a&\quad -d&\quad c\\\quad c&\quad d&\quad a&\quad -b\\\quad d&\quad -c&\quad b&\quad a\end{pmatrix}}\,}

Représentation des quaternions comme matrices 2×2 de nombres complexes

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Choisir la base(1,j){\displaystyle (1,j)} deH{\displaystyle \mathbb {H} } en tant queC{\displaystyle \mathbb {C} }-espace vectoriel permet d'identifierH{\displaystyle \mathbb {H} } àC2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}. Pour des raisons de non-commutativité, il est préférable ici de considérerH{\displaystyle \mathbb {H} } comme unC{\displaystyle \mathbb {C} }-espace vectorielà droite. Ainsi le quaternionq=a+bi+cj+dk{\displaystyle q=a+bi+cj+dk\,} est identifié au couple(z1,z2)∈C2{\displaystyle (z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}} tel queq=z1+jz2{\displaystyle q=z_{1}+jz_{2}}, à savoirz1=a+bi{\displaystyle z_{1}=a+bi} etz2=c−di{\displaystyle z_{2}=c-di}.

Faisons agirH{\displaystyle \mathbb {H} } surH≈C2{\displaystyle \mathbb {H} \approx \mathbb {C} ^{2}} par multiplication à gauche. Cette action estC{\displaystyle \mathbb {C} }-linéaire (ce qui ne serait pas le cas si on considéraitH{\displaystyle \mathbb {H} } comme unC{\displaystyle \mathbb {C} }-espace vectoriel à gauche). Elle est également fidèle, donc définit un morphisme d'algèbres injectifH↪EndC⁡(H)≈M2(C).{\displaystyle \mathbb {H} \hookrightarrow \operatorname {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {H} )\approx {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} ).} La matrice associée au quaternionq=a+bi+cj+dk{\displaystyle q=a+bi+cj+dk\,} est la matrice :Mq=(a+ib−c−dic−dia−ib){\displaystyle M_{q}={\begin{pmatrix}a+ib&-c-di\\c-di&a-ib\end{pmatrix}}}

soit encoreMq=a1+bI+cJ+dK{\displaystyle M_{q}=a\mathbf {1} +bI+cJ+dK}, où les matrices1=(1001){\displaystyle \mathbf {1} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}},I=(i00−i){\displaystyle I={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}},J=(0−110){\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}} etK=(0−i−i0){\displaystyle K={\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}} sont les matrices complexes associées aux quaternions1{\displaystyle 1},i{\displaystyle i},j{\displaystyle j} etk{\displaystyle k} respectivement. Ces matrices sont étroitement liées auxmatrices de Pauli enphysique quantique.

Quaternions unitaires et forme polaire

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Lesquaternions unitaires sont, par définition, les quaternions de norme 1.

Forme polaire

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Tout quaternion non nulq{\displaystyle q} peut s'écrire de manière unique sous la formeq=ρu{\displaystyle q=\rho \,u}, oùρ=‖q‖{\displaystyle \rho =\Vert q\Vert } est un nombre réel strictement positif etu=1‖q‖q{\displaystyle u={\frac {1}{\Vert q\Vert }}q} est un quaternion unitaire.

De manière analogue auxnombres complexes de module 1, tout quaternion unitaireu{\displaystyle u} peut s'écrire sous la formeu=eθs=cos⁡(θ)+sin⁡(θ)s{\displaystyle u=e^{\theta s}=\cos(\theta )+\sin(\theta )s}, oùθ{\displaystyle \theta } est un nombre réel ets{\displaystyle s} est un quaternion unitaire imaginaire pur. La notationeθs{\displaystyle e^{\theta s}} peut être considérée comme une simple notation désignant le quaternioncos⁡(θ)+sin⁡(θ)s{\displaystyle \cos(\theta )+\sin(\theta )s}, mais on peut définir lafonction exponentielle dans les quaternions par la série exponentielle usuelle.

Finalement, tout quaternion s'écrit sous la formeq=ρeθs=ρ(cos⁡(θ)+sin⁡(θ)s){\displaystyle q=\rho e^{\theta s}=\rho \left(\cos(\theta )+\sin(\theta )s\right)}, oùρ=‖q‖{\displaystyle \rho =\Vert q\Vert } est un nombre réel positif,θ{\displaystyle \theta } est un nombre réel ets{\displaystyle s} est un quaternion unitaire imaginaire pur. On peut noter que la décomposition de l'argument quaternioniqueθsi{\displaystyle \theta s \over i} n'est pas unique, à moins d'imposer par exemple‖s‖=1{\displaystyle \Vert s\Vert =1} (donc de le choisir sur la sphère unitaire à partie réelle nulle, c'est-à-dire ni 1 ni -1) et d'imposer de choisir le réelθ{\displaystyle \theta } dans un intervalle semi-ouvert de largeur2π{\displaystyle 2\pi }).

Notamment, on reconnait l'identité d'Euler dans cette écriture du quaternion−1=eπi{\displaystyle -1=e^{\pi i}}, où la décomposition donne le module uniqueρ=1{\displaystyle \rho =1} et l'argument complexeθsi=π{\displaystyle {\theta s \over i}=\pi } se décompose par exemple enθ=1,s=πi{\displaystyle \theta =1,s=\pi i}, mais seulement enθ=π,s=i{\displaystyle \theta =\pi ,s=i} si on imposes{\displaystyle s} unitaire etθ{\displaystyle \theta } par exemple dans]−π,π]{\displaystyle ]-\pi ,\pi ]}.

Le groupe Sp(1)

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Les quaternions unitaires forment un groupe multiplicatif (sous-groupe deH×=H∖{0}{\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }=\mathbb {H} \setminus \{0\}}). C'est ungroupe de Lie notéSp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}.

Topologiquement,Sp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} est lasphère de dimension 3S3{\displaystyle S^{3}} puisqu'il s'agit de la sphère unité dans(H,‖⋅‖)≈R4.{\displaystyle (\mathbb {H} ,\Vert \cdot \Vert )\approx \mathbb {R} ^{4}.}

L'action deSp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} par multiplication à gauche surH{\displaystyle \mathbb {H} } représente tous les automorphismes deH{\displaystyle \mathbb {H} } en tant queH{\displaystyle \mathbb {H} }-espace vectoriel à droite de dimension 1 qui sont des isométries, pour cette raisonSp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} peut être appelégroupe hyperunitaire de rang 1 et peut également être notéU⁡(1,H){\displaystyle \operatorname {U} (1,\mathbb {H} )}.

Plus bas il est expliqué queSp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} est unrevêtement double dugroupe spécial orthogonalSO⁡(3){\displaystyle \operatorname {SO} (3)}, ce qui montre en particulier queSO⁡(3){\displaystyle \operatorname {SO} (3)} a pourgroupe fondamentalZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } etrevêtement universelSp⁡(1)≈S3{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\approx S^{3}}.Sp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} est donc également legroupe spinorielSpin⁡(3){\displaystyle \operatorname {Spin} (3)}.

Par ailleurs, l'identification deH{\displaystyle \mathbb {H} } comme une sous-algèbre deM2(C){\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )} identifieSp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} augroupe spécial unitaireSU⁡(2){\displaystyle \operatorname {SU} (2)}.

Quaternions et géométrie de R3

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Parties scalaire et vectorielle, produit de Hamilton

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NotonsIm⁡H{\displaystyle \operatorname {Im} \mathbb {H} } l'ensemble des quaternionsimaginaires purs, de sorte queH=R⊕Im⁡H{\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} \oplus \operatorname {Im} \mathbb {H} }. Muni de la base(i,j,k){\displaystyle (i,j,k)} et de la norme euclidienne induite,Im⁡H{\displaystyle \operatorname {Im} \mathbb {H} } est unespace euclidien de dimension 3 canoniquement isomorphe àR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Sous cet isomorphisme, un vecteurv→∈R3=(b,c,d){\displaystyle {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}=(b,c,d)} est identifié au quaternion imaginaire purbi+cj+dk∈Im⁡H{\displaystyle bi+cj+dk\in \operatorname {Im} \mathbb {H} } et on peut s'autoriser à noter le quaternionq=a+bi+cj+dk{\displaystyle q=a+bi+cj+dk\,} commeq=a+v→{\displaystyle q=a+{\vec {v}}}. Lorsque cette notation est utilisée, il est usuel d'appelera{\displaystyle a} lapartie scalaire deq{\displaystyle q} etv→{\displaystyle {\vec {v}}} sapartie vectorielle.

Leproduit de Hamilton(c'est à-dire le produit de quaternions) deq1=a1+v1→{\displaystyle q_{1}=a_{1}+{\vec {v_{1}}}} etq2=a2+v2→{\displaystyle q_{2}=a_{2}+{\vec {v_{2}}}} est alors donné par :q1q2=(a1+v1→)(a2+v2→)=a+v→{\displaystyle q_{1}q_{2}=(a_{1}+{\vec {v_{1}}})(a_{2}+{\vec {v_{2}}})=a+{\vec {v}}}où :a=a1a2−v1→⋅v2→etv→=a1v2→+a2v1→+v1→∧v2→.{\displaystyle a=a_{1}a_{2}-{\vec {v_{1}}}\cdot {\vec {v_{2}}}\qquad \mathrm {et} \qquad {\vec {v}}=a_{1}{\vec {v_{2}}}+a_{2}{\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{1}}}\wedge {\vec {v_{2}}}\,.}Iciv1→⋅v2→{\displaystyle {\vec {v_{1}}}\cdot {\vec {v_{2}}}} dénote leproduit scalaire dansR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} etv1→∧v2→{\displaystyle {\vec {v_{1}}}\wedge {\vec {v_{2}}}} leproduit vectoriel. En particulier (prendrea1=a2=0{\displaystyle a_{1}=a_{2}=0}), le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs dansR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} peuvent être "récupérés" respectivement comme la partie scalaire (au signe près) et la partie vectorielle de leur produit de Hamilton.

Quaternions unitaires et rotations spatiales

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Article détaillé :Quaternions et rotation dans l'espace.

Considérons l'action deSp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} surH{\displaystyle \mathbb {H} }par conjugaison : l'action d'un quaternionu∈Sp⁡(1){\displaystyle u\in \operatorname {Sp} (1)} est donnée parq∈H↦cu(q):=uqu−1{\displaystyle q\in \mathbb {H} \mapsto c_{u}(q):=uqu^{-1}}. Cette action préserve la décompositionH=R⊕Im⁡H{\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} \oplus \operatorname {Im} \mathbb {H} }. Le noyau de l'action est l'intersection deSp⁡(1){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)} avec le centre deH{\displaystyle \mathbb {H} } (qui estR{\displaystyle \mathbb {R} }), à savoir{±1}{\displaystyle \{\pm 1\}}. De plus, cette action est isométrique par multiplicativité de la norme, et on peut vérifier qu'elle préserve l'orientation. L'action induite surIm⁡H≈R3{\displaystyle \operatorname {Im} \mathbb {H} \approx \mathbb {R} ^{3}} définit donc un morphisme de groupesc:Sp⁡(1)→SO(Im⁡H)≈SO(3)u↦(cu:q↦uqu−1){\displaystyle {\begin{aligned}c\colon \operatorname {Sp} (1)&\to SO(\operatorname {Im} \mathbb {H} )\approx SO(3)\\u&\mapsto (c_{u}:q\mapsto uqu^{-1})\end{aligned}}}dont le noyau est{±1}{\displaystyle \{\pm 1\}}. Il n'est pas difficile de vérifier que si on noteu∈Sp⁡(1){\displaystyle u\in \operatorname {Sp} (1)} sous forme polaireu=eθs=cos⁡(θ)+sin⁡(θ)s{\displaystyle u=e^{\theta s}=\cos(\theta )+\sin(\theta )s}, alorscu{\displaystyle c_{u}} est la rotation d'axe dirigé (et orienté) pars{\displaystyle s} et d'angle2θ{\displaystyle 2\theta }. En particulier, le morphismec:Sp⁡(1)→SO⁡(3){\displaystyle c:\operatorname {Sp} (1)\to \operatorname {SO} (3)} estsurjectif, donc induit un isomorphismeSp⁡(1)/{±1}→∼SO⁡(3){\displaystyle \operatorname {Sp} (1)/\{\pm 1\}{\stackrel {\sim }{\to }}\operatorname {SO} (3)}.

Généralisations

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Articles connexes :Nombre hypercomplexe,Biquaternion,Algèbre de quaternions,Octonion etAlgèbre de Clifford.

Applications

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En sciences de l'ingénieur

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Article connexe :Quaternions et rotation dans l'espace.

Les quaternions et autres hypercomplexes furent délaissés au profit de l'analyse vectorielle à partir de la fin duXIXe siècle. Ils ont connu un regain d'intérêt depuis la fin duXXe siècle pour le calcul dans l'espace à trois dimensions, surtout en raison de la représentation qu'ils offrent des rotations spatiales. Celle-ci est plus performante d'un point de vue calculatoire que les représentations matricielles (car plus compacte, efficace et numériquement stable), et n'a pas l'inconvénient dublocage de cardan desangles d'Euler. Elle donne également un moyen commode de calculer une interpolation entre deux rotations (en suivant unegéodésique surS3{\displaystyle S^{3}}).

Ils sont utilisés notamment eninfographie,robotique,théorie du contrôle,traitement du signal,dynamique moléculaire,mécanique spatiale,théorie de la commande. Par exemple, il est fréquent que les systèmes de commande de déplacement d'un vaisseau spatial soient régis en termes de quaternions.

En physique

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En physique, les quaternions apparaissent encristallographie, enmécanique quantique et encosmologie.

En mathématiques

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En mathématiques, ils trouvent des applications notamment enthéorie des nombres et engéométrie différentielle.

Références

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  1. ↑Hors champ des mathématiques, le terme apparaît en français auXVIe siècle, signifiant alors « ensemble de quatre » (cfCNRTL).
  2. ↑Lettre àJohn T. Graves (en),On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra, 17 octobre 1843.
  3. ↑(en)B. A. Rosenfeld,A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space, Springer,, 471 p.(ISBN 978-0-387-96458-4,lire en ligne),p. 385.
  4. ↑(en) John Baez, « The Octonions »,Bull. Amer. Math. Soc.,‎(lire en ligne) :

    « The real numbers are the dependable breadwinner of the family, the complete ordered field we all rely on. The complex numbers are a slightly flashier but still respectable younger brother: not ordered, but algebraically complete. The quaternions, being noncommutative, are the eccentric cousin who is shunned at important family gatherings. But the octonions are the crazy old uncle nobody lets out of the attic: they are nonassociative »

  5. ↑(en) Jose Pujol,Hamilton, Rodrigues, Gauss, quaternions and rotations : a historical reassessment, sur leProjet Euclide, 2012.
  6. ↑a etb« Nombres imaginaires, quaternions », survillemin.gerard.free.fr.

Voir aussi

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Articles connexes

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Bibliographie

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(en)B. L. van der Waerden, « Hamilton's Discovery of Quaternions »,Mathematics Magazine,vol. 49,no 5,‎,p. 227-234(DOI 10.1080/0025570X.1976.11976586)

Lien externe

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(en)[PDF]Nombres hypercomplexes enAPL

v ·m
Notion denombre
Ensembles usuelsMathématiques
Extensions
Propriétés particulières
Exemples
Articles liés
v ·m
Associatifs,
commutatifs
1D
2D
4D
n D
2n D
Associatifs,
non commutatifs
4D
8D
2n D
Non associatifs,
non commutatifs
4D
8D
16D
Surℤ
2D
4D
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).
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