Le pourcentage est donc unnombre sans dimension (unnombre pur), mais pour en rappeler l'origine on le fait généralement suivre du signe « % », ou parfois de « /100 », de « pour cent » ou de l'abréviation « p.c. ». Un rapport de 0,052 correspond ainsi à un pourcentage de 5,2 % (ou « 5,2/100 », « 5,2 p.c. » voire « 5,2 pour cent »).
La notation des pourcentages semble tirer son origine de l'italien. Dans les textes du Moyen Âge, on peut voir des notations comme « per cento ». ou « per c. » ou « p. cento ». SelonDavid Eugene Smith[1], la première trace d'un symbole voisin de celui utilisé actuellement, se trouve dans un manuscrit italien anonyme écrit vers 1425 sous la forme Le p s'est ensuite perdu et la barre est devenue oblique. Les deux « o » ont ensuite été assimilés aux deux zéros de 100 ce qui a conduit à noter ‰ le symbole « pour mille ».
On compare une valeur particulière à une valeur de référence, et on cherche à déterminer ce que vaudrait cette valeur particulière si la valeur de référence était ramenée à 100 tout en respectant les proportions.
Avec un vocabulaire destatistique descriptive, on peut écrire qu'on compare unepopulation partielle à une population totale, et qu'on cherche à déterminer ce que vaudrait cette population partielle si la population totale était ramenée à 100 tout en respectant les proportions.
Exemple : 56 personnes parmi 400 (population de référence) ont une particularité P. Pour exprimer cette proportion sur une population de 100, il faut diviser 400 par 4, et faire de même avec 56 pour conserver la proportion. Or 56 / 4 = 14. Donc 14 % ont une particularité P.
Le calcul de ce pourcentage revient à trouver le numérateur d'unefraction dont le dénominateur serait 100 et qui serait égale àC'est ainsi que l'on confond souvent la fraction de dénominateur 100 avec le pourcentage et donc le pourcentage avec le nombre décimal 0,14. Cette confusion, très pratique en mathématiques, induit parfois des incompréhensions dans le domaine technique puisque l'on rencontre souvent l'indication de calcul suivante :pourcentage de personnes ayant la particularité P :
Dans une assemblée de 50 personnes, il y a 31 femmes. Celles-ci représentent 62 % de l'assemblée car :
On peut aussi voir le problème comme la recherche d'une quatrième proportionnelle. Il s'agit de trouver p tel que :
soit
Quand on compare une valeur particulière à une valeur de référence, il est possible d'obtenir des pourcentages dépassant 100 %.Si le coût d'un produit passe de 30 euros à 48 euros et si on considère que le premier prix est une valeur de référence, le second prix représente 160 % du premier prix car :
Cet aspect du pourcentage est particulièrement utilisé en économie dans la notion d'indice.
Appliquer un pourcentage[4], c'est retrouver la valeur étudiée (ou la population partielle) connaissant le pourcentage et la valeur (ou la population) de référence.Cette valeur étudiée se détermine en multipliant la valeur de référence par le décimal associé au pourcentage.
Si une assemblée de 120 personnes compte 15 % de femmes, alors il y a 18 femmes dans cette assemblée car :
On peut aussi voir le problème comme la recherche d'unequatrième proportionnelle : il faut trouver n tel que :
On peut être amené à multiplier entre eux des pourcentages. C'est le cas par exemple des pourcentages de pourcentage.Dans cette assemblée, il y a 36 % de femmes et 25 % de ces femmes sont âgées de plus de 50 ans. Il y a donc 9 % de femmes âgées de plus de 50 ans dans l'assemblée car :
On peut voir le problème en se ramenant à une assemblée de 100 personnes. Parmi celles-ci 36 seraient des femmes et 25 % de ces 36 femmes seraient âgées de plus de 50 ans. Or 25 % de 36 correspond à 9 donc dans une assemblée de 100 personnes, il y aurait 9 femmes de plus de cinquante ans.
Comment parvenir au résultat d'une multiplication de nombres représentant des pourcentages ? Une des façons simples d'y arriver est la suivante. Reprenons l'exemple ci-dessus : dans cette assemblée, il y a 36 % de femmes et 25 % de ces femmes sont âgées de plus de 50 ans. Ajoutons, maintenant, que 50 % de ces femmes âgées de plus de 50 ans sont des femmes nord-américaines. On se retrouve ici avec une multiplication impliquant trois nombres :. En fraction cela donne donc :. Ce qui, ramené en notation décimale, donne : : 4,5 % des personnes de cette assemblée sont des femmes nord-américaines âgées de plus de 50 ans.
On pourrait, aussi, ajouter que 45 % de ces femmes sont divorcées. La procédure reste inchangée : : dans l'assemblée étudiée, il y a 2,025 % de femmes divorcées, nord-américaines et âgées de plus de 50 ans.
Puisque la multiplication est, ici aussi,commutative, l'ordre des nombres à multiplier peut être interverti, conduisant évidemment au même résultat, il n'en est pas de même pour les énoncés verbaux. Reprenons, à nouveau, l'exemple utilisé: dire que 36 % des personnes de cette assemblée sont des femmes et que 25 % d'entre elles sont âgées de plus 50 ans n'est pas équivalent à dire que 25 % des personnes de cette assemblée sont des femmes et que 36 % de ces femmes sont âgées de plus 50 ans. Dans les deux cas, on aboutit bien à un pourcentage de 9 % mais la composition des personnes de l'assemblée diffère et ce, même si l'énoncé final est le même, à savoir que 9 % des personnes de cette assemblée sont des femmes âgées de plus de 50 ans. Ce qui peut paraître contre-intuitif. Il y a pourtant bien deux façons différentes d'aboutir à ce résultat. En fait, il y en a bien plus. Toutes les compositions possibles dans la multiplication des deux pourcentages donnent 9 % comme résultat.
En économie et dans lestaux d'intérêt, l'étude porte sur des variations en pourcentage, des augmentations ou des réductions. On peut tout à fait décomposer le calcul en deux temps : calcul de l'augmentation ou de la réduction, puis calcul de la valeur finale en effectuant une addition ou unesoustraction. Mais il est préférable de voir ces augmentations ou ces réductions comme issues de l'application d'un coefficient multiplicateur. Seul cet aspect des choses permet de retrouver efficacement une valeur de référence ou d'appliquer des augmentations successives.
Uneaugmentation dep % se traduit par une multiplication par
car.
De même, unediminution dep % par une multiplication par
Des variations successives à taux fixe conduisent à desprogressions géométriques. Ainsi, augmenter 35 fois de 2 % revient à multiplier par 1,0235, c'est-à-dire 1,99989, soit quasiment par 2. Et diminuer 35 fois de 2 % revient à multiplier par 0,9835, c'est-à-dire à diviser par 2,028, soit un peu plus de 2.
Coefficients multiplicateur ou diviseur et pourcentages
Si un prix par exemple a été multiplié par un coefficient C ceci correspond à une augmentation de p % telle que. Soit. De telle sorte que si un prix a été multiplié par 8 en 10 ans cela correspond à une augmentation de, soit une augmentation de 700 % en 10 ans et non pas 800 % comme on pourrait le croire. De même un prix multiplié par 2 correspond à une hausse de 100 %.
Pour une baisse, si un prix a été divisé par un coefficient D ceci correspond à une baisse de p % telle que, soit encore, d'où. Ainsi, si un prix a été divisé par 2 cela correspond à une baisse de, soit une baisse de 50 %. Pour un prix divisé par 4 la baisse est de, soit une baisse de 75 %.
Retrouver la valeur de référence (pourcentage « indirect »)
Enstatistique, la population étudiée est découpée en classe d'individus vérifiant le même critère (même nombre d'enfants, même préférence politique, même tranche de revenu...). Lorsque la taille de la population est trop grande, ou lorsqu'on veut comparer deux populations, travailler sur les effectifs des classes rend l'interprétation des résultats parfois difficile. Se ramener alors à une population de 100, revient à présenter la répartition sous forme de pourcentages. On parle alors de fréquences.
On rencontre les pourcentages dans les sondages d'opinion alors que la population interrogée est rarement de 100 personnes. On les rencontre aussi dans les résultats d'élections.
Dans les finances, on rencontre les pourcentages dans les calculs de TVA : uneTVA de 19,6 % consiste à ajouter à un prix hors taxes (prix HT) une taxe correspondant à 19,6 % du prix HT. On obtient alors un prix toutes taxes comprises (prix TTC) qui correspond au prix HT multiplié par 1,196.
On les rencontre aussi dans les taux d'intérêt : une somme placée ou empruntée pendant un an à un taux d'intérêt de p % a été multipliée en fin d'année par.
Les taux d'imposition qui représentent une fraction du revenu d'un ménage sont aussi exprimés sous forme de pourcentage.
En économie, un indice est la valeur d'une grandeur économique par rapport à une valeur de référence. Par exemple, si, en 2004, le prix moyen des appartements aumètre carré dans une ville a augmenté de 22 % par rapport à l'année 2000, servant de référence (indice 100), on dira que l'indice du prix moyen des appartements est de 122 en 2004. L'indice est donc une présentation particulière d'un pourcentage.
Enmétrologie, les mesures ne peuvent pas être connues avec une précision absolue. Lescalculs d'erreur ou lescalculs d'incertitude sont souvent présentés en pourcentage. Quand on dit que le poids d'une conserve est connu à 5 % près, cela signifie que, si le poids de la conserve est supposé valoir 500 grammes, il peut se glisser une erreur de 25 grammes en excès ou défaut.
Le terme de degré pris à la place de pourcentage provient de l'ancienne unité utilisée : ledegré Gay-Lussac (GL). Un degré GL correspondant à un pourcentage d'alcool pur de 1 %.
La place des pourcentages dans les données statistiques, leur présence dans les résultats de sondage et dans les indicateurs économiques leur confèrent un crédit argumentaire élevé qui risque de conduire à des erreurs de raisonnement, leur manipulation étant loin d'être aussi simple que leur formulation chiffrée peut le faire supposer[a].
En raison de l'utilisation du signe %, on pourrait croire que le pourcentage est une unité de mesure, alors qu'il s'agit d'un rapport, d'un nombre sans dimension. C'est pourquoi il ne faut pas ajouter une multiplication par cent dans les formules dont on veut un résultat en pourcentage, car l'ajout du pourcentage derrière le résultat équivaut strictement à une division par cent. Par exemple, 0,62 = 62 %.
La représentation du pourcentage sous forme d'une fraction, sa transformation en décimal, lui confère un statut apparent de nombre, mais il n'a pas les qualités normalement attribuées à un nombre : il n'est pas possible d'effectuer des sommes de pourcentages dans l'absolu.
On ne peut pas faire de sommes de pourcentage et leur donner un sens, sauf si ces pourcentages correspondent à deux populations partielles disjointes associées à la même population de référence. En particulier deux augmentations successives de 10 % ne donnent pas une augmentation de 20 % mais de 21 %.
Quant au produit de pourcentages, il obéit à des règles très restrictives. De même, comparer des pourcentages peut mener à des contresens si la population de référence change dans les deux comparaisons.
Méconnaissance de l'univers de référence ou population totale
Le fait de ramener l'effectif ou population totale à 100 tend à réduire l'importance de cette population, à faire oublier cette population de référence qui peut même disparaître de l'exposé, source de divers contresens.
L'augmentation d'un pourcentage, valeur relative, peut résulter de deux variations qui peuvent se conjuguer : l'augmentation envaleur absolue de la population partielle et la diminution de la valeur absolue de la population totale : par exemple, l'augmentation du nombre des locataires dans une commune dont la population diminue.
Un mauvais choix ou une mauvaise identification de l'univers de référence amène le lecteur à une mauvaise interprétation du pourcentage. Sylviane Gasquet cite l'exemple du redoublement dans une classe. Dans l'expression, il y a 50 % de redoublement dans cette école, l'univers de référence a disparu. Il serait préférable de dire « 50 % des élèves sont amenés à redoubler », étant donné qu'attendu que la moitié de l'effectif étant déjà formée de redoublants qui, on l'espère ne vont pas tripler, c'est que 100 % des non-redoublants sont condamnés à redoubler.
Un taux de TVA s'applique au prix hors taxe et non au prix TTC.
Quand une population partielle est passée de 10 % à 12 %, il est délicat de parler de l'augmentation. Une erreur fréquente est de dire que la population a augmenté de 2 %. En effet, en supposant que la population de référence soit de 100 individus et ne change pas entre la première et la seconde mesure (ce qui est rarement le cas), la population partielle passerait de 10 individus à 12 individus, soit une multiplication par 1,2 c'est-à-dire une augmentation de 20 %. Or pourtant, il est utile de chiffrer cette variation : premier pourcentage 10 %, second 12 %. On parle alors d'une augmentation de 2 points.
Lesmathématiques financières, qui parlent fréquemment de variations de taux de plus faible ampleur, définissent le point de base comme le centième de pourcentage. Ainsi on dit d'un taux d'intérêt qui passe de1,5 % à1,7 % qu'il a augmenté de 20 points de base[6].
Lors de hausses et de baisses successives, la tentation est grande d'ajouter et soustraire les pourcentages d'augmentation, comme de penser qu'une augmentation de 10 % suivie d'une baisse de 10 % ramène à la valeur initiale. Pourtant ces pourcentages ne correspondent pas à la même population de référence. En reprenant la technique du coefficient multiplicatif et l'appliquant à une quantité Q on s'aperçoit que les 10 % d'augmentation reviennent à multiplier la quantité Q par 1,1 et que la réduction, s'appliquant à revient à multiplier cette quantité par 0,9.Or ce qui correspond à une baisse de 1 %.
↑Sylviane Gasquet-More, dans son livrePlus vite que son nombre[5], après avoir commenté la part toujours croissante des pourcentages dans la communication et son utilisation comme argument d'autorité (pages 14-15), consacre près des trois-quarts de son ouvrage à mettre en évidence les erreurs possibles dans la manipulation et l'interprétation des pourcentages.
