Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Aller au contenu
Wikipédial'encyclopédie libre
Rechercher

Polygone régulier étoilé

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Tous les sommets d’unpolygone régulier étoilé sont répartis uniformément sur son cercle circonscrit et ses côtés tangents aucercle inscrit.

Engéométrie, unpolygone régulier étoilé (à ne pas confondre avec unepartie étoilée) est unpolygone régulier non convexe,  souvent appelé plus brièvement “polygone étoilé”, car des polygones étoilés non réguliers ne sont pas formellement définis.

Branko Grünbaum identifie deux notions primaires utilisées parKepler, l'une étant le polygone régulier étoilé avec des arêtes sécantes qui ne génèrent pas de nouveaux sommets, et l'autre étant de simples polygones concaves[1].

Étymologie

[modifier |modifier le code]

Quand le polygone étoilé a des sommets ou des côtés en nombre peu élevé, son nom peut combiner un préfixe numéral, tel quepenta- pour un nombre cinq de sommets ou de côtés, avec le suffixe grec-gone ou bien-gramme (le nom du polygone est alorspentagone, ou bienpentagramme pour un pentagone étoilé). Le préfixe le plus courant vient du grec, maisnona- par exemple vient du latin, dans le nom "nonagramme" d’un polygone à neuf sommets, aussi appelé "ennéagramme".

Polygone régulier étoilé

[modifier |modifier le code]

{5/2}


{7/2}


{7/3}...

Un polygone régulier étoilé est unpolygone équiangle etéquilatéral qui s'auto-intersecte, créé en reliant un sommet d'un polygone régulier àp côtés à un autre sommet non adjacent et en continuant le processus jusqu'à revenir au premier sommet[2]. De manière alternative, pour des entiersp etq, on peut le considérer comme une construction reliant tous lesq-ièmes sommets d'un ensemble dep sommets régulièrement espacés et placés circulairement[3]. Par exemple, dans un pentagone régulier, une étoile à cinq branches peut s'obtenir en dessinant une ligne du premier point au troisième, puis du troisième au cinquième, puis du cinquième au deuxième, puis du deuxième au quatrième, et enfin du quatrième au premier. Bref, un polygone régulier étoilé peut être obtenu enétoilant un polygone régulier convexe.

Un polynôme régulier étoilé est dénoté par sonsymbole de Schläfli {p/q}, oùp etq sontpremiers entre eux etq ≥ 2.

Legroupe de symétrie de {n/k} est legroupe diédralDn d'ordre 2n indépendant dek.

Lespolygones réguliers étoilés ont été étudiés pour la première fois systématiquement parThomas Bradwardine, puis plus tardKepler[4].

Polygone étoilé dégénéré

[modifier |modifier le code]

Sip etq ne sont pas premiers entre eux, on obtient un polygone dégénéré caractérisé par des sommets et/ou des arêtes qui coïncident. Par exemple, {6/2} apparaîtra comme un triangle, mais correspond à deux ensembles de sommets {1,2,3} et {4,5,6}. Il faut voir cela non pas comme deux triangles superposés mais comme un polygone unique rebouclé sur lui-même[5],[6].

Polygone étoilé simple isotoxal

[modifier |modifier le code]

Lorsque les lignes sécantes sont enlevées, les polygones étoilés ne sont plus réguliers, mais peuvent être vu comme des2n-gonessimples concavesisotoxaux. Branko Grünbaum représente ces étoiles par |n/d|. Elles ont la même géométrie que les polygones {n/d} avec une notation {nα} plus générale qui représente une étoile àn branches avec chacune un angle interne de α < 180(1 - 2/n) degrés. Pour |n/d|, les sommets internes ont un angle extérieur β de 360(d-1)/n

Exemples de polygones étoilés simples isotoxaux
|n/d|

{nα}

 

{330°}

 

{630°}

|5/2|

{536°}

 

{445°}

|8/3|

{845°}

|6/2|

{660°}

 

{572°}

α30°36°45°60°72°
β150°90°72°135°90°120°144°
Étoile isotoxale
Polygone associé

 
{n/d}


{12/5}


{5/2}


{8/3}


{6/2}


{10/3}

Ces polygones sont souvent observés dans les modèles de pavages. L'angle paramétrique β peut être choisi pour correspondre aux angles internes des polygones voisins dans de tels modèles.

Exemple de pavages avec des polygones étoilés isotoxaux[7]
Star trianglesStar squaresStar hexagonsStar octagons

(3.3*
α.3.3**
α)


(8.4*
π/4.8.4*
π/4)


(6.6*
π/3.6.6*
π/3)


(6.6*
π/3.6.6*
π/3)


Not edge-to-edge

Intérieurs de polygones étoilés

[modifier |modifier le code]

L'intérieur d'un polygone étoilé peut être interprété de plusieurs manières. Trois de ces interprétations sont illustrés pour un pentagramme. Branko Grünbaum et Geoffrey Shephard considèrent deux d'entre elles comme polygones réguliers étoilés et2n-gones isogonaux concaves[8].

Celles-ci incluent :

  • à l'endroit d'un côté, un côté est traité comme l'extérieur et l'autre comme l'intérieur : il s'agit de l'interprétation de gauche (en rouge) sur l'illustration ;
  • le nombre de fois qu'un polygone recouvre une région donné détermine sa densité. On donne à l'extérieur une densité nulle, et n'importe quelle région possédant une densité non nulle est traitée intérieure ; il s'agit de l'interprétation du milieu (en jaune) ;
  • où une ligne peut être tracée entre deux côtés, la région où se trouve celle-ci est considérée comme intérieure à la figure. Il s'agit de l'interprétation de droite (en bleu).

Chacune des approches ci-dessus mène donne au polygone une aire différente.

Exemples de polygones étoilés

[modifier |modifier le code]

Un octagramme {8/3} rouge construit dansoctogone régulier noir.


Sceau de Salomon (avec le cercle et les points).

Notes et références

[modifier |modifier le code]
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé« Star polygon »(voir la liste des auteurs).
  1. ↑(en) B. Grünbaum et G. C. Shephard,Tilings and Patterns, New York, Freeman,(ISBN 0-7167-1193-1), section 2.5.
  2. ↑(en)H. S. M. Coxeter,Regular Polytopes, New York,Dover Publications,,3e éd., 321 p.(ISBN 978-0-486-61480-9,lire en ligne),p. 93.
  3. ↑(en)Eric W. Weisstein, « Star Polygon », surMathWorld.
  4. ↑(en) H. S. M. Coxeter,Introduction to Geometry,2e éd.,chap. 2.8 (« Star polygons »),p. 36-38.
  5. ↑(en) Branko Grünbaum,« Are Your Polyhedra he Same as My Polyhedra? », dansDiscrete and Computational Geometry,(lire en ligne),p. 461-488.
  6. ↑D'après(en) H. S. M. Coxeter, « The densities of the regular polytopes »,Proc. Camb. Philos. Soc.,vol. 27,‎,p. 201-211,p. 43[réf. à confirmer] : « Si q est impair, la troncature de {p/q} est naturellement {2p/q}. Mais si q est pair, la troncature de {p/q} consiste en deux {p/(q/2)} qui coïncident ; deux, parce que chaque côté provient une fois d'un côté d'origine et une fois d'un sommet d'origine. Puisque 2(q/2) = q, la densité d'un polygone n'est jamais altérée par la troncature.»
  7. ↑(en) Joseph Myers, « Tiling with Regular Star Polygons »,Eureka,vol. 56,‎,p. 20-27(lire en ligne).
  8. ↑(en) Branko Grunbaum et Geoffrey C. Shephard, « Tilings by Regular Polygons »,Mathematics Magazine,vol. 50,‎,p. 227-247(lire en ligne) etno 51, 1978,p. 205-206.
v ·m
Triangles
Quadrilatères
Par nombre de côtés
1 à 10 côtés
11 à 20 côtés
30 côtés et plus
Autres classements que par le nombre des côtés
Polygones réguliers étoilés
Description
Droites et cercles remarquables
Relations entre polygones
Construction
Dissection
Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Polygone_régulier_étoilé&oldid=230881553 ».
Catégories :
Catégories cachées :
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp