« Point de libration » et « Point d'Euler » redirigent ici. Pour les autres significations, voirLibration etEuler (homonymie).
Alors que lesrésonances orbitales sont généralement déstabilisatrices, le cas des points stables de Lagrange, dit enrésonance 1:1, est une des exceptions. Pour le système Soleil-Jupiter, ceux-ci sont occupés par lesastéroïdes troyens (sur le schéma :Grecs etTroyens). Les astéroïdesHilda sont en résonance 3:2.
Unpoint de Lagrange (noté L1 à L5), ou, plus rarement,point delibration, est une position de l'espace où leschamps de gravité de deux corps en mouvementorbital l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, fournissent exactement laforce centripète requise pour que ce point de l'espace accompagne simultanément le mouvement orbital des deux corps. Dans le cas où les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps, de masse négligeable, resterait immobile par rapport aux deux autres, au sens où il accompagnerait à la mêmevitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux n'évolue.
Au nombre de cinq, ces points se scindent en deux points stables dénommés L4 et L5, et en trois points instables notés L1, L2 et L3. Ils sont nommés en l'honneur du mathématicienfrançaisJoseph-Louis Lagrange[1]. Ils interviennent dans l'étude de certaines configurations d'objets duSystème solaire (principalement pour les points stables) et dans le placement de diverssatellites artificiels (principalement pour les points instables). Ce sont les points remarquables de la « géométrie deRoche[2] » (points-col et extrema), laquelle permet notamment de classer les différents types d'étoiles binaires.
Les trois points L1, L2 et L3 sont parfois appelés lespoints d'Euler, en l'honneur deLeonhard Euler, l'appellation depoints de Lagrange étant alors réservée aux deux points L4 et L5[3].
Les points L4 et L5, en raison de leur stabilité, peuvent naturellement attirer ou retenir longtemps des objets et sont donc peu utilisables à cause du risque de collision, alors qu'au contraire, les points L1, L2 et L3, étant instables, ne peuvent pas maintenir naturellement des objets, mais peuvent être utilisés par des missions spatiales moyennant des corrections d’orbite peu coûteuses en termes de carburant.
Enmécanique céleste, leproblème à trois corps a passionné de nombreux mathématiciens.Newton, après avoir énoncé en 1687 saloi universelle de la gravitation, qui affirme que « les corps massifs s'attirent entre eux par une force proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance de leurs centres de gravité », chercha à décrire le comportement de trois corps sans y parvenir. Le mathématicienJoseph-Louis Lagrange étudia en 1772 le cas d'un petit corps, de masse négligeable (ce qu'on appelle aujourd'huicorps d'épreuve ouparticule test), soumis à l'attraction de deux plus gros : le Soleil et, par exemple, uneplanète. Il découvrit qu'il existait des positions d'équilibre pour le petit corps, des endroits où toutes les forces se compensent (en tenant compte de l'effet centrifuge du référentiel d'observation utilisé).
Les cinq points sont mis en évidence dans le cadre d'une simplification du problème à trois corps. Le problème simplifié est ditrestreint,circulaire etplan[4]. Il est restreint car un des trois corps, lecorps d'épreuve, est demasse négligeable par rapport aux deux autres, lescorps primaires[5],[6]. Il est circulaire car les deux corps primaires sont enorbite circulaire autour de leur centre de masse commun[5],[7]. Enfin il est plan car le corps d'épreuve se meut dans leplan de l'orbite précitée[5],[8]. C'est dans ce cadre queLeonhard Euler découvre les trois premiers points (L1, L2 et L3) en[9],[10],[N 1].Joseph-Louis Lagrange découvre les deux autres (L4 et L5) en[9],[12],[17],[N 2].Joseph Liouville établit l'instabilité linéaire des trois premiers (L1, L2 et L3) en[9],[19],[20].Gabriel Gascheau établit la condition de stabilité linéaire des points L4 et L5 en[9],[19],[21],[22].Edward J. Routh la redécouvre en[19],[21],[23] et sa valeur numérique est nommée en son honneur[19],[24]. J. M. Anthony Danby en[25] et Arthur Bennett en[26] étudient les points L4 et L5 dans le cas elliptique[19],[21].
Dans leSystème solaire, la condition de stabilité linéaire des points L4 et L5 s'est avérée satisfaite pour toutes les planètes[24], sauf pour lesystème Pluton-Charon[24],[27]. C'est l'une des raisons qui ont conduit l'Union astronomique internationale (UAI) à adopter en, pour le Système solaire, unedéfinition des planètes et une autre desplanètes naines, catégorie dont relève désormaisPluton. En effet, la condition de stabilité des points L4 et L5 est reliée à la notion de« nettoyage du voisinage d'une orbite », qui figure dans la définition précitée des planètes[28]. D'autre part, pour l'UAI, la condition de stabilité linéaire des points L4 et L5 est, depuis, l'un des éléments de la« définition de travail » d'une planète (au sens large,exoplanètes comprises)[29],[28],[30].
Trois des points de Lagrange sont situés sur l'axe reliant les deux corps. Dans le cas d'une grande dissymétrie de masse entre ceux-ci, deux points sont situés proches et de part et d'autre du corps peu massif, alors que le troisième est quasiment situé à l'opposé du corps peu massif par rapport au corps massif.Les deux derniers points de Lagrange forment avec les deux corps des triangles équilatéraux.
Un objet de faible masse, situé en ces points, ne bouge plus relativement aux deux autres corps, et tourne de concert avec eux (par exemple uneplanète et leSoleil). Si l'on donne en exemple les points de Lagrange du systèmeSoleil-Terre, ces cinq points sont notés et définis comme suit (échelle non respectée) :
L1 : sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci, la position exacte dépendant du rapport de masse entre les deux corps ; dans le cas où l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible que l'autre, le point L1 est situé nettement plus près du corps peu massif que du corps massif ;
L2 : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite. Dans le cas où l'un des deux corps a une masse beaucoup plus faible, la distance de L2 à ce corps est comparable à celle entre L1 et ce corps ;
L3 : sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande. Dans le cas où l'un des deux corps est notablement moins massif que l'autre, la distance entre L3 et le corps massif est comparable avec celle entre les deux corps ;
L4 et L5 : sur les sommets des deux triangles équilatéraux, dont la base est formée par les centres de gravité des deux masses en question. L4 étant celui des deux points qui se trouve sur l'orbite de la plus petite des masses autour de la grande, et placé le plus en avant dans le sens du déplacement de cette petite masse, et L5 étant lui en retard, symétriquement[31]. Ces points sont parfois appeléspoints de Lagrange triangulaires, oupoints troyens et grecs, du fait que ce sont les lieux où ont été initialement repérés lesastéroïdes troyens du système Soleil-Jupiter. Contrairement aux trois premiers points, ces deux derniers ne dépendent pas des masses relatives des deux autres corps.
Le calcul de la position des points de Lagrange se fait en considérant l'équilibre d'un corps de masse négligeable entre le potentiel gravitationnel créé par deux corps en orbite et laforce centrifuge. La position des points L4 et L5 peut être obtenue analytiquement. Celle des trois autres points L1 à L3 s'obtient en résolvant numériquement, ou éventuellement à l'aide d'undéveloppement limité, une équation algébrique. La position de ces trois points est donnée dans le tableau ci-dessous, dans le cas où la masse d'un des deux corps (en l'occurrence lenuméro 2) est négligeable devant l'autre, situé à une distanceR du précédent. Les positions sont données le long de l'axe reliant les deux corps, dont l'origine est identifiée aucentre de gravité du système, et dont l'orientation va ducorps 1 aucorps 2. Les quantitésr2 =(1-q)R etq dénotent respectivement la position ducorps 2 sur l'axe et le rapport de la masse du corps le plus léger à la masse totale des deux corps. Enfin, on utilise la quantitéε définie parε = (q/3)1/3.
Point
Position par rapport au centre de gravité du système
L1
L2
L3
Dans la littérature, on trouve parfois des expressions quelque peu différentes, du fait que l'origine de l'axe est prise ailleurs que sur le centre de gravité, et que l'on utilise comme terme à la base du développement limité le rapport entre les deux masses plutôt que le rapport de la plus petite à la masse totale, c'est-à-dire que l'on utilise parfois la quantitéq' définie par
Détail du calcul — Introduction
Préliminaires
On noteM1 etm2 la masse des deux corps, la masse du premier étant supposée supérieure ou égale à celle du second. Les deux corps sont supposés être enorbite circulaire, leur séparation étantR. Les deux corps orbitent autour de leurcentre de gravité commun. On noter1 etr2 les distances algébriques des deux corps par rapport au centre de gravité commun selon un axe orienté ducorps 1 aucorps 2 (c'est-à-dire quer1 va être négatif etr2 positif). Le centre de gravité est défini par l'équation
avec par définition de la distanceR,
Ces deux équations ont pour solution
où on a notéM = M1 + m2 la masse totale du système.
Si l'on se place dans le référentiel tournant avec les deux corps, c'est-à-dire à la vitesse angulaireω, un corps immobile sera soumis, outre aux forces gravitationnelles des deux corps, à laforce centrifuge. Si on noter le rayon vecteur de ce corps, la force centrifuge par unité de massefc à laquelle il sera soumis s'écrit
Équation fondamentale
La définition d'un point de Lagrange est que la somme des forces gravitationnelles et inertielles s'annule en ces points. En notantr le rayon vecteur du ou des points en question, on a ainsi
les doubles barres indiquant que l'on prend lanorme des vecteurs considérés. On remplace ensuite la vitesse angulaireω par sa valeur issue de la troisième loi de Kepler, ce qui donne
que l'on simplifie immédiatement par la constante de gravitation
C'est la résolution de cette équation qui donne les différents points de Lagrange.
Les deux cas à considérer
La projection de cette équation perpendiculairement au plan de l'orbite, dont la normale est donnée par un vecteur noté donne immédiatement
ce qui implique que l'ensemble des points de Lagrange est situé dans le plan de l'orbite. La résolution de l'équation se fait donc dans le plan orbital. Deux cas sont à considérer :
celui où l'on cherche un point le long de l'axe formé par les deux corps,
celui où l'on cherche un point en dehors de cet axe.
Le second cas s'avère être le plus simple à étudier.
Détail du calcul — Les points L4 et L5
Cas des points L4 et L5
Les points L4 et L5 sont un cas particulier du problème des trois corps. C'est Lagrange qui a démontré que trois corps de masses placés au sommets d'un triangle équilatéral orbitaient à vitesse angulaire constante autour de leur centre de masse.
Étudions l'accélération centripète au point. C'est la somme des deux accélérations gravitationnelles dues aux masses et :
avec la distance entre les trois masses.
En décomposant et en calculant à partir de l'équation ducentre de masse
on obtient
C'est précisément cette accélération, égale àqui permet de maintenir le corps sur sa trajectoire circulaire autour de.
Le même raisonnement peut être fait en échangeant et ou et, avec la même vitesse angulaire.
Dans le cas particulier où la troisième masse est négligeable devant la masse de l'astre principal et la masse de l'astre secondaire, l'orbite de l'astre secondaire se trouve à la distance du centre de masse, et le point de Lagrange peut être en avance sur l'astre secondaire (L4) ou en retard (L5).
En utilisant lethéorème de Pythagore, la distance de ces points de Lagrange au centre de masse s'écrit
ce qui donne
ou, au premier ordre,
L'orbite des points de Lagrange L4 et L5 se trouve donc au delà de l'orbite du corps secondaire.
Détail du calcul — Les points L1 à L3
Cas des points L1 à L3
Dans le cas où l'on considère des points de Lagrange situés sur l'axe reliant les deux corps, trois sous-cas sont à considérer :
Le cas où le ou les points sont entre lescorps 1 et 2 ;
Le cas où le ou les points sont à l'opposé ducorps 2 par rapport aucorps 1 ;
Le cas où le ou les points sont à l'opposé ducorps 1 par rapport aucorps 2.
Dans ces trois cas, l'équation fondamentale se réécrit de la façon suivante :
Cas 1 : la projection des deux forces sur l'axe a des signes opposés (la projection de la force exercée par lecorps 1 est négative, celle de la force exercée par lecorps 2 est positive), ce qui donne
avec
Cas 2 : la projection des deux forces sur l'axe est négative, ce qui donne
avec
Cas 3 : la projection des deux forces sur l'axe est positive, ce qui donne
avec
Chacune de ces trois équations peut se ramener à uneéquation polynomiale du cinquième degré, pour laquelle il n'existe pas de solution analytique exacte, sauf cas particulier (comme celui des deux masses identiques, par exemple).
L'unicité des solutions dans chacun des trois cas se déduit du fait que l'équation à résoudre sur l'équilibre des forces dérive d'unpotentielU, donné par
Ce potentiel représente des pôles enr1 etr2, et correspond en dehors de ces valeurs à la somme de trois termesconcaves et est donc localement concave. Il ne possède donc qu'un seul extrême local dans chacun des domaines où il est défini, c'est-à-dire dans chacun des trois cas cités plus haut.
Solutions pour L1 à L3 dans le cas où le rapport entre les masses est faible
Forme réduite et solution dans le cas où le rapport entre les masses est faible
Quand le rapport entrem2 etM1 (ou entrem2 et M) est faible, on peut trouver une solution approchée pour la position de chacun des points en effectuant un développement limité à partir d'une solution approchée facile à trouver. Pour simplifier les notations, on effectue un changement d'échelle afin d'exprimer toutes les longueurs en unité de la séparationR et les masse en unité de la masse totaleM. On pose ainsi
et
et on définit le petit paramètreq par
à partir de quoi on peut exprimer
Dans ce cas là, les trois équations écrites ci-dessus prennent la forme plus simple
Cas 1 :
avec
Cas 2 : la projection des deux forces sur l'axe est négative, ce qui donne
avec
Cas 3 : la projection des deux forces sur l'axe est positive, ce qui donne
avec
Le point L1
Quand la masse ducorps 2 est négligeable, l'attraction de celui-ci est négligeable sauf si la particule d'épreuve est très proche. Or, quand l'attraction ducorps 2 est négligeable, l'équilibre entre l'attraction ducorps 1 et la force centrifuge est tel que la distance du point d'équilibre est de l'ordre deR. Quand le point d'équilibre est situé à l'opposé ducorps 2, on est dans le cas du point de Lagrange L3, qui est donc, en gros, situé à l'opposé ducorps 2 par rapport aucorps 1. Dans le cas contraire, on va donc supposer que le point d'équilibre est plutôt proche ducorps 2 (et donc à nouveau situé à la distanceR ducorps 1), mais néanmoins suffisamment éloigné pour que l'attraction ducorps 2 exercée sur la particule d'épreuve reste petite par rapport à celle ducorps 1. On pose donc à partir de la forme réduite
où iciε' est une quantité petite et négative (on suppose ici que le point est entre les deux corps). L'équation réduite se transforme alors en
On effectue un développement limité au premier ordre de l'attraction produite par lecorps 1 :
Les termes en 1 - q se simplifient, et il reste
Toujours en ne gardant que les termes d'ordre le plus bas enq, il vient
On peut par la suite continuer le calcul, en développant l'écart du point aucorps 2 en puissances deε'. On pose ainsi
L'équation fondamentale réduite donne alors
On peut factoriser le second terme avecq / ε'2, que l'on peut remplacer par sa valeur, soit -3 ε'. On obtient alors
On effectue ensuite un développement limité des deux premiers termes, au second ordre pour le premier et au premier ordre pour le suivant, ce qui donne
,
d'où on déduit quex vaut un tiers, ce qui donne
Le développement peut ensuite être continué suivant la même procédure. À l'ordre suivant, on a ainsi
Le point L2
Le cas du point L2 se résout exactement comme dans la section précédente, si ce n'est que le signe du second terme de l'équation fondamentale est négatif. On pose donc
ε étant cette fois-ci supposé petit et positif, et on a ainsi
La résolution à l'ordre le plus bas donne
qui après annulation des termes donne
soit
Cela correspond au signe près au même résultat que précédemment. La suite du développement de la solution se fait de même que précédemment. On part de
et on injecte ce résultat dans l'équation fondamentale
Comme précédemment, on transforme cette expression selon
ce que l'on résout en
soit
Cette expression est identique à celle du premier point de Lagrange en remplaçantε' parε, mais ces deux points sont dissymétriques : comme le signe deε,ε' change entre le point L1 et le point L2, la correction du second ordre, toujours positive, rapproche le point L1 ducorps 2 alors qu'elle éloigne le point L2 : les deux points ne sont plus à égale distance ducorps 2. Pour la Terre, le rapport de masse est de1⁄300 000, etε est de l'ordre 0,01, ce qui place les deux points par rapport à la Terre à une distance d'environ un centième de la distance Terre-Soleil, soit dans les 1 500 000 kilomètres. Le terme de second ordre est de l'ordre d'un trente-millième de la distance Terre-Soleil, soit dans les 5 000 km. Le point L1 est donc environ 10 000 km plus près de la Terre que ne l'est L2.
Enfin, on peut poursuivre le développement à l'ordre supérieur, ce qui donne, tous calculs faits
Le point L3
Dans le cas 3, qui va correspondre au point L3, l'équation fondamentale s'écrit
Comme le point est supposé au-delà ducorps 1 par rapport aucorps 2, il est plus proche du corps le plus massif, dont l'attraction va être prépondérante par rapport à l'autre corps. Dans la situation où l'on se place, le point recherché a donc sa position approximée par
La solution approchée de cette équation est, bien sûr
Pour trouver les écarts à cette valeur, on écrit dans l'équation fondamentale
et on résout l'équation en prenant en compte les premiers termes enq. On obtient ainsi
Les quantités etq étant petites devantR, le premier terme s'écrit
Le second terme étant négligeable par rapport au précédent (il est proportionnel àq), il peut s'approximer en
En combinant l'ensemble de ces termes, on obtient
ce qui donne
c'est-à-dire
On peut sans difficulté continuer ce calcul en posant désormais
étant cette fois proportionnel àq2. L'équation fondamentale devient alors
c'est-à-dire
En développant cette expression au second ordre enq, on trouve
,
c'est-à-dire que est au plus enq3. En refaisant le calcul dans ce cadre là, on trouve finalement
Il est rarement utile de pousser le calcul jusque-là : dans une configuration Soleil-Planète, le dernier terme correctif est au mieux de l'ordre 10-9, puisque le plus grand rapport de masse Planète-Soleil, dans le cas deJupiter est de l'ordre d'un millième. Le termeq3 est donc, pour Jupiter, de l'ordre d'un milliardième, ce qui, au vu de la taille de son orbite, correspond à une correction d'une cinquantaine de mètres, étant donné que la fraction en facteur deq3 est de l'ordre d'un vingtième. Pour le système Terre-Soleil (distance de l'ordre de150 millions de kilomètres, rapport de masse de l'ordre de1⁄300 000), la dernière correction est une fraction de micromètre.
Les points L4 et L5, bien que situés à desmaxima du potentiel, sont paradoxalement stables. L1, L2 et L3 qui sont despoints-col sont instables.Visualisation de la relation entre les points de Lagrange (rouge) d'une planète (bleue), en orbite autour d'une étoile (jaune) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et lepotentiel effectif dans le plan contenant l'orbite (modèle de feuille de caoutchouc grise avec des contours violets d'égal potentiel)[32].
Le calcul ci-dessus n'indique en rien si les points de Lagrange sont stables. La stabilité ou non de ces points est du reste peu intuitive. Dans le référentiel tournant avec les deux corps, une particule d'épreuve peut être vue comme soumise à un potentiel incluant la contribution gravitationnelle et celle de la force centrifuge. Ce potentiel, noté Ω, s'écrit ainsi
Tous les termes de ce potentiel sont négatifs et décroissent à mesure que l'on s'éloigne des masses (pour les deux premiers termes) ou du centre de gravité du système (pour le troisième). On peut ainsi montrer que les points de Lagrange L4 et L5 sont des maxima locaux du potentiel Ω (voir ci-dessous) et que les trois autres points sont despoints selles. D'ordinaire, une position d'équilibre (déterminée par l'annulation des dérivées du potentiel) est stable uniquement si on se situe dans des minima locaux du potentiel. Cependant, étant donné que l'on est dans un référentiel tournant, le référentiel estnon inertiel. Un objet se déplaçant dans ce référentiel, par exemple au voisinage d'une position d'équilibre, va être soumis à laforce de Coriolis, et son mouvement ne dépend pas uniquement de la forme du potentiel. Pour étudier la stabilité des points de Lagrange, il faut donc tenir compte de la force de Coriolis.
Pour calculer la stabilité des points de Lagrange, il faut ainsi étudier l'équation du mouvement d'un objet situé au voisinage d'un de ces points. En notantδR le vecteur de coordonnéesδX etδY donnant l'écart d'un tel objet à un des points de Lagrange (que l'on suppose confiné au plan orbital), l'équation du mouvement s'écrit
oùδf représente la force par unité de masse exercée sur l'objet. Cette force est petite du fait qu'au point de Lagrange la force (constituée d'une composante gravitationnelle et de la force centrifuge) est nulle et que l'on se place à proximité d'un tel point. Cette force peut se calculer en termes d'un développement limité. Par exemple, pour la composanteX, on a
Le premier terme correspond à la force s'exerçant au point de Lagrange, force qui est nulle par construction. Par ailleurs, la force dérivant d'un potentiel, on peut exprimer les dérivées de la force en termes de dérivées secondes du potentiel :
On peut ainsi exprimer l'équation du mouvement en termes des composantes selon
Ce groupe d'équations peut être mis sous la forme d'un système de quatreéquations différentielles du premier ordre :
où les dérivées partielles du potentiel Ω ont été notées en indice précédé d'une virgule (par exemple, Ω,xx correspond à).
La stabilité du point de Lagrange considéré est obtenue en recherchant les solutions de cette équation. Pour cela, il suffit de trouver des solutions de typeexponentielle, en On va ainsi procéder à la diagonalisation de la matrice ci-dessus, que l'on noteraA. Lesvaleurs propres trouvées vont correspondre aux quantités Γ ci-dessus, les écarts à la position d'équilibre étant alors une certaine combinaison d'au plus quatre exponentielles. La stabilité du système est assurée par le fait que les exponentielles ne croissent pas au cours du temps, c'est-à-dire que les quantités Γ sont soit négatives, soit complexes àparties réelles négatives. En fait, il n'est pas nécessaire de diagonaliser complètement la matrice, il suffit d'en trouver les valeurs propres, c'est-à-dire les solutions de l'équation
Ce déterminant s'écrit
et il vaut
Cette équation peut se ramener à une équation polynomiale du second ordre enλ2. Les solutions de l'équation de départ sont donc deux couples de nombres opposés deux à deux. Pour que deux nombres opposés soient négatifs ou nuls ou alors de partie réelle négative ou nulle, il faut obligatoirement qu'ils soient des nombres imaginaires purs, donc que les solutions de l'équation enλ2 soient réelles et négatives. Pour que ces solutions soient réelles, il faut donc que lediscriminant soit positif, soit ici
Une fois ceci obtenu, il faut que les deux solutions réelles soient négatives, ce qui implique que simultanément leur somme soit négative et leur produit positif, ce qui implique
La stabilité d'un point de Lagrange est soumise à la réalisation de ces trois contraintes. Parmi ces contraintes, la dernière a une interprétation simple : le signe de la quantité détermine si la position considérée est un extrémum local ou un point selle. En l'occurrence, la positivité de cette quantité implique qu'elle doive être un extrémum local, condition nécessaire mais non suffisante à la stabilité du point de Lagrange. Quand cette quantité est négative, on a un point selle et le point de Lagrange est instable. Par contre, de façon plus surprenante, un point de Lagrange peut être stable s'il correspond à un maximum local du potentiel, c'est-à-dire queΩ,xx + Ω,yy peut être négatif, pourvu que cette quantité ne dépasse pas la valeur critique de-4ω2. En pratique, c'est ce qui se produit dans certains cas pour les points de Lagrange L4 et L5. L'interprétation physique de cette situation est que la stabilité est alors assurée par la force de Coriolis. Un objet légèrement décalé d'un tel point va s'en éloigner dans un premier temps en façon radiale, avant de voir sa trajectoire incurvée par la force de Coriolis. Si le potentiel est partout décroissant autour du point, alors il est possible que la force de Coriolis force l'objet à tourner autour du point de Lagrange, à l'instar desnuages dans unedépression qui ne se dirigent pas vers le cœur de la dépression, mais sont contraints à une trajectoire circulaire autour de celui-ci.
Suite du calcul
Préliminaire
Pour étudier la stabilité des points de Lagrange, on va être amené à calculer les dérivées successives du potentiel. Ce potentiel fait intervenir la distance |r - r1|. Il faut donc connaître les dérivées des différentes puissances d'une telle quantité. Encoordonnées cartésiennes, cette quantité s'écrit
Sa dérivée par rapport à l'une des coordonnéesx,y,z, collectivement notéesxi s'écrit donc
La dérivée d'une puissancep quelconque de cette grandeur est donc
En adaptant ce résultat aux dérivées secondes des quantités intervenant dans le potentiel, on a
ce qui, pour le potentiel complet, donne
oùδij représente lesymbole de Kronecker. C'est la valeur de ces dérivées partielles qu'il faut calculer pour déterminer la stabilité des différents points de Lagrange. C'est pour les points de Lagrange L4 et L5 que ce calcul est le plus simple.
Cas des points de Lagrange L4 et L5
Ces points se caractérisent par le fait que leur distance aux deux corps est identique et égale àR :
Par ailleurs, on peut utiliser la troisième loi de Kepler pour passer des quantités du typeG M / R3 àω, et on connaît les coordonnées exactes des points de Lagrange. En évaluant les dérivées du potentiel aux points de Lagrange L4 ou L5, on a
et
le signe + s'appliquant pour L5 et le signe - pour L4. Finalement, la matrice recherchée a pour composantes
Le déterminant de cette matrice vaut
qui est toujours positif puisqueq est confiné entre 0 et 1. Cette première condition de stabilité est établie. La seconde condition de stabilité s'écrit
quantité là encore positive. Enfin, le discriminant donne
La stabilité des deux points est, finalement, déterminée par la positivité de la quantité Les zérosqa,qb de ce polynôme sont donnés par la formule usuelle, qui ici indique
Ce polynôme a ainsi des valeurs négatives sur la plageAinsi, la stabilité de ces deux points de Lagrange n'est assurée que si la plus petite masse n'excède pas 3,852 % de la masse totale, ou, de façon équivalente, que le rapport des deux masses n'excède pas 4,006 %[33].
Cette condition est vérifiée pour toutes les configurations de type Soleil-Planète (oùq n'excède pas environ un millième pour Jupiter), ou pour le système Terre-Lune (oùq est de l'ordre de 1/80, soit 1,25 %).
Cas des points de Lagrange L1 à L3
Les trois points de Lagrange L1 à L3 sont situés sur l'axe reliant les deux corps. Dans la formule qui donne les dérivées secondes, les quantitésyi - y1i sont nulles, alors que leurs analogues enx s'identifient aux distances entre un des corps et le point de Lagrange considéré. En conséquence, la matrice des dérivées secondes s'écrit
Le terme Ω,xx est manifestement négatif. Le signe du déterminant de la matrice est déterminé par celui de Ω,yy : si ce dernier est positif, alors le point de Lagrange est un point selle et il est instable. On peut réécrire ce terme en utilisant la troisième loi de Kepler :
Cas de L1
Le point de Lagrange L1 est situé entre les deux corps. Sa distance à ceux-ci, |r - r1| et |r - r2| est donc, à chaque fois, strictement inférieure àR. On a ainsi
Cette quantité est donc strictement positive, ce qui assure que le déterminant est négatif, c'est-à-dire que L1 est un point selle, ce qui en fait un point instable.
Cas de L2 et L3
On pose, pour simplifier les notations,
On s'intéresse donc au signe de la quantité
soit
sachant queu1 etu2 sont reliés entre eux par le fait que leur différence est égale à 1 et qu'ils définissent un point de Lagrange, soit la relation
La distance du point de Lagrange au centre de gravité du système peut s'écrire, pour le point L2,
relations que l'on peut combiner en
La position du point L2 est donc donnée par
On pose alors
On a donc, d'une part
et, d'autre part
Autrement dit,
Le premier terme du membre de droite est nul en vertu de la relationA + B = 0. Il reste donc
Or, pour le point L2, on est situé plus près ducorps 2 que ducorps 1. Par conséquent,u2 est plus petit queu1, et, par conséquent, est positif. Le signe de la dérivée seconde correspond donc à celui deB, qui lui-même est déterminé par la valeur deu2 : si cette quantité est supérieure à 1, alorsB est négatif, alors que, dans le cas contraire,B est positif, ce qui implique que le point est instable. Le point de Lagrange L2 est situé au-delà ducorps 2. La force totale (gravitationnelle plus centrifuge) s'exerçant dans cette région est d'abord tournée vers lecorps 2 quand on est proche de celui-ci, puis s'annule en L2 et est après dirigée à l'opposé de L2. Au point tel queu2 vaut 1, la composante de cette force, selon l'axe reliant les deux corps, est donnée (à une constante multiplicative positive près) par
avec, ici,
soit
Cette quantité étant strictement positive, le pointu2 = 1 de l'axe est situé au-delà du point L2. En conséquence, au point L2,u2 est inférieur à 1, doncB est positif, donc le point est bien un point selle, ce qui assure de son instabilité. Une démonstration strictement analogue peut être faite pour le point L3, ce qui achève la démonstration de leur instabilité du fait de leur caractère de point selle.
Temps caractéristiques en L1 et L2 pour les systèmes à grande hétérogénéité de masse
Une des applications les plus importantes de l'instabilité des points de Lagrange, L1 et L2, réside dans le fait que dessatellites artificiels peuvent être envoyés en ces points du système Terre-Soleil (voir ci-dessous). Pour de tels satellites, des corrections de trajectoires régulières doivent être appliquées afin de conserver le satellite au voisinage du point. Ce temps caractéristique peut être évalué dans le cas où le rapport de masse des deux corps du système est élevé. Dans ce cas, le temps caractéristiqueγ-1 d'instabilité est donné par
oùT est lapériode orbitale du système. Dans le cas du système Terre-Soleil, oùT est légèrement supérieur à365 jours, le temps caractéristique d'instabilité est alors de23 jours et4 heures.
Par ailleurs, la composante stable de la trajectoire se fait à la pulsation
soit, de façon équivalente, avec la période
ce qui, dans le même cas de figure que ci-dessus, donne une période de176 jours.
Démonstration
L'équation donnant les valeurs propres du système est toujours
avec, pour les points L1 et L2,
en se restreignant aux termes d'ordre le plus bas enq,u1 vaut 1, etu2 est déterminé par la relation donnée par le premier tableau de cette page. On a ainsi
L'équation polynomiale devient alors
dont les solutions sont
La solution positive à cette équation indique que les écarts au point d'équilibre croissent exponentiellement au cours du temps selon la relation
avec
Le temps caractéristique associé est donc
soit, comme annoncé, un temps caractéristique de l'ordre de23 jours pour les points de Lagrange de la Terre.
De la même façon, il existe des trajectoires périodiques dont la pulsation est donnée par les racines complexes de l'équation, soit
c'est-à-dire une période de
ce qui correspond à un temps de presque six mois pour les points de Lagrange de la Terre.
Une fois les valeurs propres d'un point instable connues, une trajectoire au voisinage d'un point de Lagrange va être unecombinaison linéaire desvecteurs propres associés aux valeurs propres. En notantλi l'une de ces valeurs propres, le vecteur propre associé a pour composantes
avec
et une trajectoire est de la forme
où les quantités sont des nombres quelconques déterminés par la valeur desδX,δY et de leur dérivée à un instant donné. Dans le cas des trois points de Lagrange instables, le déterminant de la matrice des dérivées secondes est négatif, ce qui implique que le discriminant de l'équation du second degré enλ2 possède des racines réelles de signes opposés, et que, au terme, les valeurs propres recherchées sont deux nombres imaginaires purs opposés et deuxnombres réels opposés. Une trajectoire générique comprend donc, dans le plan orbital, une composante périodique (liée aux racines imaginaires pures), une composante amortie (liée à la racine réelle positive), et une composante instable. Pour une positionδX,δY donnée, il est toujours possible de choisir une vitesse telle que les deux vecteurs propres aux racines réelles ne contribuent pas à la solution correspondante. La trajectoire obtenue est alors périodique, la période étant donnée par la racine complexe. Une telle solution n'est cependant pas stable. Un écart de trajectoire infime va en réalité rajouter à la trajectoire une composante instable, qui va peu à peu éloigner et faire diverger la trajectoire de sa composante périodique. On dit que la trajectoire obtenue n'est pas dynamiquement stable. Ceci est une généralisation du fait qu'un objet situé exactement sur un point de Lagrange instable est dans une situation instable : un petit écart à cette position d'équilibre, inéluctablement généré par les perturbations causées par les autres corps du système, finira par éloigner l'objet de sa position initiale. La même chose se produit pour des trajectoires situées autour du point d'équilibre instable.
Le calcul ci-dessus fait référence à une configuration où les deux corps du système sont en orbite circulaire. Néanmoins, le concept de point de Lagrange vaut pour tout type d'orbite, y compris elliptique. On peut donc définir ces points dans tout système à deux corps liés gravitationnellement. En revanche, les trajectoires, stables ou instables, autour des différents points de Lagrange dépendent explicitement de la circularité ou non de l'orbite des deux corps du système.
L'étude mathématique des points de Lagrange, ainsi que de leurs propriétés mathématiques, telles que lesVariétés invariantes(en) associées, a été exploitée pour concevoir des missions desondes spatiales dans lesystème solaire. Pour des missions commeRosetta,Voyager ouGalileo, la vitesse relative de la sonde par rapport aux corps considérés est suffisamment élevée pour que l’approximation, considérant que lesorbites képlériennes ne sont que peu perturbées par les autres corps au sein de lasphère d’influence, soit valide. Cependant, dès qu’on considère des vitesses et des poussées faibles, une approximation plus fine est nécessaire.
Le théorème de Liapounov-Poincaré assure de l’existence d’une famille d’orbites périodiques[Quoi ?] autour de ces points d’équilibre. Les orbites périodiques planaires sont alors appelées « orbites de Liapounov », alors que dans le cas tridimensionnel, elles sont appelées en fonction de leurs propriétés topologiques, soit « orbites de halo », soit « orbites de Lissajous ». Ce type d’orbites périodiques autour des points de Lagrange a déjà été utilisé dans la construction de missions réelles telles que la missionSoHO.
De ces orbites périodiques autour des points de Lagrange sont issues des variétés invariantes (tubes de Conley-McGee) qui sont desséparatrices de la dynamique et qui en ce sens peuvent être considérées comme descourants gravitationnels. De plus en plus, ces courants sont utilisés pour la conception de missions, notamment leréseau de transport interplanétaire (ITN)[34].
Orbite du télescope spatial JWST autour du point de Lagrange L2 : la distance Terre-Soleil n'est pas à l'échelle (150 millions de kilomètres, alors que L2 est distant de la Terre de 1,5 million de kilomètres)[35].
Les Points de Lagrange sont utilisés pour répondre à des besoins spécifiques de certaines missions spatiales.
Le point de Lagrange L1 dusystèmeTerre-Soleil, situé entre la Terre et le Soleil (bien que beaucoup plus proche de notre planète), permet d'observer le Soleil sans interférence ni ombrage de la Terre et de la Lune. Il est possible d'y mesurer l'activité solaire (éruptions, cycles, vent solaire) sans que celle-ci ne soit affectée par lamagnétosphère terrestre. C'est la position idéale pour des missions de météorologie spatiale comme celles remplies parSoHO etACE.
C'est également le point L1 qui est choisi pour positionner le futur télescopeNEO Surveyor pour pouvoir observer une grande portion de l'espace dans lequel circulent lesgéocroiseurs.
Le point de Lagrange L2 du systèmeTerre-Soleil permet de bénéficier d'une grande stabilité thermique tout en étant situé suffisamment près de la Terre (1,5 million de kilomètres) pour que les données collectées puissent y être transférées avec un débit élevé. Il est utilisé en particulier par les grands observatoires astronomiques spatiaux lancés dans les décennies 2010 et 2020 :Planck[35],James Webb[35],Herschel[35],WMAP[35],Gaia,Euclid.
En ce qui concerne le télescope James-Webb, le point L2 est idéal pour observer lesobjets célestes eninfra-rouge, car privés de lumière et de chaleur du Soleil, de la Terre et de la Lune, ses instruments d'observation sont toujours laissés à−233°C, ce qui est nécessaire pour sa fonction[35].
Le point de Lagrange L2 du systèmeTerre-Lune a été utilisé pour la première fois en 2018, comme un intermédiaire Terre-Lune, par le satellite chinoisQueqiao. Ce satellite de télécommunication peut ainsi retransmettre vers la Terre les données collectées par la sonde spatialeChang'e 4 posée sur laface cachée de la Lune.
Tracé en bleu, un exemple d'orbite autour du point de Lagrange L2 (précédé du transit entre la Terre et celui-ci) dans le cas dutélescope spatialJames Webb.
dans le système Saturne-Dioné, Hélène et Pollux occupent ces points.
Il semblerait que le système Soleil-Saturne ne soit pas en mesure d'accumuler des troyens du fait des perturbationsjoviennes.
Dans le système Soleil-Terre, on connait depuis le un troyen au point L4, l'astéroïde(706765) 2010 TK7, qui mesure300 mètres de diamètre[36],[37],[38]. Un deuxième troyen,(614689) 2020 XL5, a été découvert en décembre 2020, d'un diamètre de l'ordre du kilomètre[39]. Certains astronomes soulignent que cet objet pourrait représenter un risque comparable aux géocroiseurs[40]. Ces auteurs proposent également que l'impacteur géant supposément à l'origine de la Lune (Théia) aurait stationné un temps sur le point L4 ou L5 et accumulé de la masse avant d'en être éjecté sous l'action des autres planètes.
Les points L1 et L2 sont des équilibres instables, ce qui les rend utilisables dans le cadre de missions spatiales : on n'y trouve pas ou peu de corps naturels, et un équilibre dynamique peut y être maintenu pour une consommation de carburant raisonnable (le champ gravitationnel étant faible dans leur voisinage).
Les principaux avantages de ces positions, en comparaison des orbites terrestres, sont leur éloignement de la Terre et leur exposition au Soleil constante dans le temps. Le point L1 se prête particulièrement à l'observation du Soleil et duvent solaire. Ce point a été occupé pour la première fois en 1978 par le satelliteISEE-3, puis par le satelliteLISA Pathfinder[41] en 2016 (fin de mission en 2017). Le point est actuellement occupé par les satellitesSoHO (fin de mission prévue fin 2025),DSCOVR (mission de laNOAA en cours depuis 2015) etAdvanced Composition Explorer (fin de mission prévue fin 2024).
Le point L2 est à l'inverse particulièrement intéressant pour les missions d'observation du cosmos, qui embarquent des instruments de grande sensibilité devant être détournés de la Terre et de la Lune, et fonctionnant à très basse température. Son orbite a été utilisée par les satellitesHerschel (fin de mission en 2013),Planck (fin de mission en 2013),WMAP (fin de mission en 2010). Il est actuellement occupé par les télescopes spatiauxGaia (mission en cours jusqu'à fin 2025[42]),James Webb (depuis[43]) etEuclid (juillet 2023) que doit rejoindreNancy-Grace-Roman (vers 2025).
Dans le cadre de la mission chinoiseChang'e 4, sonde spatiale lunaire ayant atterri en 2019 sur laface cachée de la lune, un satellite relaisQueqiao a été placé au point L2 afin d'assurer les communications entre la Terre et la sonde.
Il a été un temps envisagé de placer un télescope spatial au point L4 ou L5 dusystème Terre-Lune, mais cette option a été abandonnée après que desnuages de poussière y ont été observés.
En science-fiction, de par leur stabilité, les points L4 et L5 du système Terre-Lune abritent souvent de gigantesques colonies spatiales, comme dans le romanVendredi, deRobert A. Heinlein, où ceux-ci sont mentionnés dès l'introduction sous le nom deEll-4 etEll-5.
Les auteurs descience-fiction et debande dessinée aiment également placer uneAnti-Terre au point L3. Cette idée est cependant irréaliste : les points de Lagrange n'ont de sens que pour un objet de masse négligeable par rapport aux deux éléments du système, ce qui n'est pas le cas d'une planète jumelle.
Parmi les auteurs ayant utilisé ces points dans leurs récits,John Varley envisage dans plusieurs de ses romans et nouvelles l'installation de colonies aux points de Lagrange de l'ensemble Terre-Lune, tirant parti du fait qu'un objet de faible masse n'aurait besoin d'aucune énergie pour maintenir sa position relative aux deux astres. C'est le cas notamment dans sa série dite de laTrilogie de Gaïa où certains personnages principaux des deux derniers tomes viennent d'une de ces colonies, « le Covent ».
On les trouve aussi, de manière souvent secondaire, dans les récits (romans et nouvelles) qui se situent dans le contexte de la sérieLes Huit Mondes. Dans le romanGens de la Lune notamment, le point L5 est le lieu d'assemblage du vaisseau spatialRobert Anson Heinlein censé se lancer dans un voyage intersidéral, avant que le projet soit abandonné et la carcasse du vaisseau remisée dans une décharge sur la Lune.
Dans les diverses œuvres des univers deGundam, les colonies spatiales sont souvent situées aux points de Lagrange[44], ce qui en fait des positions stratégiques importantes dans ces conflits orbitaux.
DansRupture dans le réel, dePeter F. Hamilton, un vaisseau spatial traqué par plusieurs vaisseaux ennemis leur échappe via un point de Lagrange pour pouvoir faire un saut (de typehyperspatial même si le terme n'est pas utilisé) car c'est le seul endroit proche où la gravité est quasi nulle. Son capitaine Joshua Calvert est par la suite surnommé Lagrange Calvert à la suite de cet exploit.
Dans le jeu vidéoStar Citizen, des stations relais qui permettent de se ravitailler et de faire du commerce sont situées aux points de Lagrange de chaque planète[45].
Dans l'une des fins deCyberpunk 2077, on apprend que la luxueuse station spatiale touristique Crystal Palace se trouve au point de Lagrange L1 entre la Terre et la Lune.
↑Il est parfois affirmé que Leonhard Euler aurait découvert les trois premiers points en ou vers[11],[12],[13]. Ses trois communications, de, et, sont publiées respectivement en, et[14],[15],[16].
↑Il est parfois affirmé que Joseph-Louis Lagrange aurait découvert les deux autres points en ou vers[11]. Son mémoire de est publié en[18].
↑Si l'on définitq comme le rapport de la plus petite masse à la totale, seules les valeurs deq inférieures à 0,5 ont un sens, puisque les valeurs plus grandes correspondent au rapport de la plus grande masse à la masse totale.
↑PhilippeRibeau-Gésippe, « Un nouveau satellite pour la Terre : Le premier satellite troyen de la Terre a été découvert »,Pour la Science,no 407,,p. 6(lire en ligne, consulté le).
