Pour les articles homonymes, voirPile ou face (homonymie).
Lepile ou face est unjeu de hasard se jouant avec unepièce de monnaie. Le principe du jeu est de lancer en l'air une pièce équilibrée et de parier sur le côté sorti. La pièce tournoyante tombe au sol et s'y stabilise, ou bien elle est rattrapée d'une main et posée à plat dans l'autre main.
L'origine du nom « pile ou face » vient des noms des deux côtés d'unepièce de monnaie[note 1].
La première utilisation de ce jeu sous cette forme date de la création de la monnaie métallique. Cependant, d'autres formes existaient précédemment en utilisant des objets possédant deux côtés distincts, un coquillage par exemple. Le but est de faire un choixbinaire au hasard. Aujourd'hui encore, jouer à « pile ou face » signifie qu'on laisse une décision se prendre au hasard, en fonction du côté de la pièce qui apparaîtra après le lancer.
Le jeu de pile ou face est toujours utilisé en sport par exemple. Il sert de support à beaucoup de problèmes enprobabilité, certains restent encore ouverts comme leproblème de la Belle au bois dormant.
C'est un outil important dans lathéorie des jeux ainsi que dans lathéorie des probabilités.
Des écrits anciens nomment un jeu d'enfants de laGrèce antique, l'Ostrakinda, où le choix du rôle des deux équipes est fait en jetant une coquille ou un tesson de jarre, blanc d'un côté, noir de l'autre et en criant « nuit ou jour »[1],[2],[3]. Autour duIVe siècle av. J.-C., il y a une grande variété de monnaies, chaque cité possédant un signe distinctif sur le côtéface : une chouette pourAthènes, une tortue pourÉgine, un crabe pourAgrigente, etc. Sur le côtépile, des portraits de Dieux ou de souverains commencent à apparaitre[4].
Dans l'Antiquité romaine, à partir duIIIe siècle av. J.-C., les gravures que l'on trouvait sur les pièces de monnaie (as romain oulivre romaine) représentaient le visage (double visage) deJanus sur un côté de la pièce, et le navire qui l'avait amené en Italie sur l'autre. L'expression « capita aut navia » (« tête ou navire » en latin) était alors usitée[3]. Il existe également plusieurs autres représentations : Dieux, monuments, souverains, etc[4].
En 781,Charlemagne établit une réforme monétaire qui interdit l'utilisation des anciennes monnaies. Des nouvelles pièces sont alors frappées avecson monogramme (en forme de croix) sur le revers et une légende circulaire autour d'une croix sur l'avers[5]. Le revers s'appelantpile, on disait alors, s'agissant d'un choix au hasard, « croix ou pile ». « Croix ou pile » est encore employé auXVIIe siècle, par le chirurgien et flibustierAlexandre-Olivier Exquemelin dans sonJournal de bord, s'agissant alors des « perulero » lespièces de 8 de l'Empire espagnol frappées au Pérou, où la croix d'Espagne figure à l'avers et lescolonnes d'Hercule au revers[6]. L'expression se rencontre également plus tard en 1856 dansLe Père Goriot d'Honoré de Balzac au sujet d'un duel[7]. L'origine du termepile reste incertaine, voir l'articleRevers (numismatique) pour plus de détails. Plus tard, le fils de Charlemagne,Louis le Pieux, refit apparaître une monnaie à son effigie[5].
À partir du début de la renaissance, grâce à une ordonnance[8] d'Henri II du 31 janvier 1548, les souverains profitent du renouveau artistique pour faire représenter leur portrait de manière ressemblante et valorisante[4]. Le côtéface est donc le côté où était inscrit sur la pièce de monnaie le visage du roi, du prince, de l'empereur, ou une allégorie (Marianne, lasemeuse). Ainsi, lors de lafuite manquée deLouis XVI en 1791, àVarennes, il aurait été reconnu par le maître poste grâce à l’effigie royale sur le côtéface d’un écu[9].
| Exemples de pièces avec une croix | |||||||||
| |||||||||
En langagenumismatique,pile se nomme lerevers etface l'avers.Aujourd'hui, le côtépile est celui qui indique la valeur de la pièce de monnaie.
Après la Révolution française, en 1795, un décret prévoit de nouvelles pièces d'or et d'argent, dotées d'un côte figure (Paix et Abondance ou Hercule unissant Égalité et Liberté) et d'un côté revers muni d'une branche de chêne et d'olivier[10].
Des similarités entre les pièces existent sous l'union latine.
| Exemples de pièces en or de 20 unités de l'union latine, de même poids. | ||||||||||||
| ||||||||||||
Depuis 2002, sur les pièces de l'Union européenne, le côtépile est identique pour tous les pays de la zone euro, et le côté face est national. Le côtépile, européen, est le côté des pièces portant les valeurs (sans le nom de l'unité monétaire) 1 (centime), 2 (centimes), 5 (centimes), 10 (centimes), 20 (centimes), 50 (centimes), 1 (euro) ou 2 (euros). Pour le côtéface, national, les pièces françaises de 1, 2 et 5 centimes sont illustrées d'une représentation deMarianne ; les pièces de 10, 20 et 50 centimes représentent lasemeuse, alors qu'un arbre est représenté sur les pièces de 1 et 2 euros. Certains pays européens ont choisi de faire figurer des visages sur les pièces de 1 et 2 euros.
Il existe également des pièces de monnaie dont les deux côtés sont identiques : deuxface ou deuxpile. Elles peuvent être de vraies pièces issues d'une erreur de fabrication[11],[12], dans ce cas elles prennent une grande valeur notamment pour les collectionneurs. La pièce possède alors un côtéavers et unrevers, sans possibilité de distinction. Cependant beaucoup de ces doubles pièces sont de fausses pièces.
La notion étymologique de « pile ou face » et le jeu de « pile ou face » existent également dans d'autres langues. Certaines langues possèdent des termes différents pour la notion et pour le jeu. Voici une liste, non exhaustive.
| Langue | Dénomination | Signification | |
|---|---|---|---|
| Jeu | Notion | ||
| (de) Allemand | Münzwurf | Kopf oder Zahl | tête ou nombre |
| (en) Anglais | Coin flipping | Heads or Tails | tête ou queue |
| (ar) Arabe (Liban) | طرة و نقشة | أرز أو شختور | cèdre ou bateau |
| (ar) Arabe (Maroc) | نجمة ولا راس | نجمة أو رأس | étoile ou tête |
| (ca) Catalan | Cara o creu | face ou croix | |
| (es) Espagnol | Cara o cruz | face ou croix | |
| (ga) Gaélique | Ceann nó Cláirseach | tête ou harpe | |
| (el) Grec | Κορώνα γράμματα | couronne ou lettres | |
| (he) Hébreu | הטלת מטבע | עץ או פלי | arbre ou Palestine (pali comme raccourci de Palestine) |
| (hu) Hongrois | Fej vagy írás | tête ou écriture | |
| (it) Italien | Testa o croce | tête ou croix | |
| (ja) Japonais | コイントス (kointosu) | ||
| (la) Latin | Capita aut navia | les têtes ou le bateau | |
| (lv) Letton | Cipars vai ģerbonis | nombre ou blason | |
| (es) Mexicain | Aguila o sol | aigle ou soleil | |
| (nl) Néerlandais | Tossen | Kruis of munt | tête ou nombre |
| (no) Norvégien | krone eller mynt | couronne ou pièce | |
| (oc) Occitan | Crotz e piela / Testa ò crotz | croix et pile / tête ou croix | |
| (pt) Portugais | Cara ou coroa | face ou couronne | |
| (ro) Roumain | Cap sau pajură | tête ou aigle | |
| (ru) Russe | Орлянка (Orlianka) | Орёл или ре́шка (Oriol ili réchka) | aigle ou visage (étymologie douteuse) |
| (sv) Suédois | Krona eller klave | couronne ou blason | |
| (tr) Turc | Yazı Tura | écriture ou face | |
| (vi) Vietnamien | ngửa hay sấp | face ou revers | |
Le jeu de pile ou face permet d'aider à la décision d'un choix binaire. La méthode la plus courante pour lancer une pièce est de positionner horizontalement sur le bout du pouce et la tranche de l'index[13]. Il suffit alors d'exercer une extension du pouce afin de donner un mouvement de rotation à la pièce[note 2], la pièce doit réaliser au moins une rotation entière en l'air[14]. D'après une étude statistique[15], le nombre moyen de retournements de pièce pour un pile ou face typique est de 19. On laisse la pièce retomber au sol ou alors on la rattrape et la positionne horizontalement sur le dos de l'autre main. Dans tous les cas c'est le côté supérieur de la pièce qui donne le résultat.
Il est courant de parier surpile ou surface avant le lancer de pièce. On peut également parier pendant que la pièce est en l'air, ce qui évite toute tentative de tricherie de la part du lanceur.
Jouer à pile ou face par téléphone esta priori impossible car seule la personne qui lance la pièce voit le résultat du lancer, et peut donc mentir sur son résultat. Il est cependant possible de concevoir une procédure pour jouer équitablement par téléphone, en utilisant unefonction de hachage. La fonction de hachage utilisée doit être telle qu'il n'est pas envisageable à partir d'un haché de calculer unantécédent tel que ; et telle qu'il ne soit pas non plus envisageable de déterminer unecollision, c'est-à-dire deux entrées distinctes et vérifiant[16].SHA-256 est un exemple de fonction de hachage pouvant être utilisée[note 3].
Supposons qu'Alice et Bob veulent jouer à pile ou face équitablement par téléphone[16] :
La robustesse du protocole repose sur le fait qu'Alice est obligée de s'engager sur Pile (0) ou sur Face (1) avant le lancer de la pièce et sans que Bob ne connaisse la valeur de cet engagement[16]. Pour Alice cela suppose que l'on ne puisse pas trouver deux nombres dont les bits de poids fort soient différents mais dont le haché soit identique, ce qui donnerait l'illusion qu'Alice s'est engagée sur le choix (0) ou sur le choix (1) selon sa convenance[16]. Pour Bob cela suppose que l'on ne peut pas déduire à partir de[16].
Une autre manière de procéder est d'utiliser une source de hasard publique, infalsifiable et contrôlable, comme laparité du chiffre des dixièmes de la température relevée parMétéo France sur un lieu et à une date données[17].
Avec le développement de la technologie numérique et de l'internet, la méthode traditionnelle de lancer une pièce pour obtenir "pile" ou "face" a été complétée par l'utilisation de générateurs en ligne[18]. Ces outils numériques, disponibles sur de nombreux sites web et applications, fournissent un résultat aléatoire équivalent à un véritable lancer de pièce.
Le fonctionnement de ces générateurs repose généralement sur un algorithme de génération de nombres aléatoires. Lorsqu'un utilisateur sollicite un lancer de pile ou face, l'algorithme génère un nombre aléatoire qui détermine si le résultat sera "pile" ou "face". Ce processus est conçu pour être équitable, avec une probabilité de 50% pour chaque issue, à l'instar d'un lancer de pièce physique.
Ces générateurs en ligne de pile ou face ont trouvé de nombreux usages, surtout là où un lancer de pièce physique serait difficile ou peu pratique. Ils sont particulièrement utiles pour les prises de décision à distance ou les votes en ligne. De plus, ils peuvent être utilisés dans des situations où la transparence est nécessaire, car le résultat du lancer peut être vérifié par toutes les parties impliquées.
Toutefois, bien que ces outils soient conçus pour être justes et impartiaux, il est toujours important d'évaluer la fiabilité du générateur de pile ou face en ligne avant de l'utiliser pour des décisions importantes. Des sites et applications de confiance utilisent des algorithmes vérifiés pour assurer l'équité et l'aléatoire du résultat.
Dans plusieurs sports tels que lebadminton, lecricket, lefootball américain, lehandball, ou lerugby à XV, avant le coup d'envoi d'une partie, celui qui gagne au pile ou face peut choisir l'équipe qui engage ou le côté du terrain. Le lancer de pièce peut également servir à déterminer un vainqueur ou un qualifié, lorsque toutes les possibilités de départage (comme rejouer un match par exemple) ou autres critères (comme la différence de buts, etc.) prévus par le règlement ont été épuisés et n'ont pas permis de séparer les équipes à égalité.
En 1919, le premier président du club de football espagnolValence CF a été choisi au jeu de pile ou face. Après7 h 35 d'un match de ping-pong,Marin Goldberger a été désigné vainqueur par un pile ou face au championnat du monde en 1936. De 1966 à 1985, lors de laDraft de la NBA, les équipes de basket-ball utilisent des jeux de pile ou face pour l'obtention du premier choix de joueur.
En football, avant l'introduction de la règle destirs au but au début des années 1970, il n'était pas rare de voir des qualifications se décider à la « pièce » lors de rencontres à élimination directe. En 1963, lors des huitièmes de finale de lacoupe des clubs champions disputés en matchs aller-retour, les équipes duGalatasaray et duFC Zurich, après avoir chacune remporté sur le même score son match à domicile, s'affrontent en match d'appui et terminent à égalité à la fin de la prolongation : leFC Zurich se qualifie au pile ou face. Endemi-finale de la coupe de France de 1967, après trois matchs nuls après prolongation entre les équipes deLyon et d'Angoulême, le nombre maximum de matchs rejoués prévu par le règlement étant atteint, c'est à pile ou face que les Lyonnais obtiennent leur qualification. À l'échelon des compétitions majeurs internationales, la Turquie obtient notamment sa qualification pour la Coupe du monde 1954 à pile ou face aux dépens de l'Espagne. En demi-finale du Championnat d'Europe 1968, l'Italie, à domicile, obtient sa qualification pour la finale à pile ou face après un match nul après prolongation contre l'URSS.
On peut jouer au pile ou face en pariant sur une mise, jeu souvent présent dans les exercices deprobabilité. L'étude se porte alors sur des lancers indépendants simultanés ou successifs. Plusieurs règles et stratégies de mises existent.
On considère un jeu de pile ou face classique : un joueur mise une somme surpile ouface, s'il obtient le bon résultat il gagne une fois sa mise (en plus de sa mise), sinon il perd sa mise. On recommence alors un autre lancer de pièce.Il existe une stratégie permettant au joueur d'être toujours gagnant à la longue : le joueur mise 1 euro pour le premier tirage. S'il perd, il mise 2 euros au deuxième lancer, s'il perd, il mise 4 euros au troisième lancer, et ainsi de suite. S'il n'a toujours pas gagné, il mise 2n-1 aun-ième lancer. Le joueur arrête de jouer lorsqu'il gagne.
Ce jeu est gagnant pour le joueur. En effet, S'il gagne aun-ième lancer, il aura misé euros et aura gagné 2n euros. Son gain est donc de 1 euro. De plus le jeu se termine en temps fini. La limite d'utilisation de cette technique est que le jeu n'est pas borné en temps, c'est-à-dire qu'il peut durer très longtemps. Pour être gagnant, il faut ainsi supposer que le joueur ait un porte-monnaie infini, c'est-à-dire qu'il peut miser 2n même pourn grand.
Certains jeux utilisent la notion de hasard binaire (oui/non, accepté/refusé, gagnant/perdant par exemple) pendant leur déroulement. Ce sont généralement desjeux de rôle dans lesquels des actions ou évènements sont laissés au hasard d'un jeu de pile ou face. Citons par exemple le jeuMagic : l'assemblée dans lequel certaines cartes demandent la réalisation d'un jeu de pile ou face[19].
Pour les choix multiples (supérieurs à trois possibilités), desdés multifaces sont généralement utilisés (1d6 signifie jeter un dé à six côtés).1d2 signifie donc faire un jeu de pile ou face. Certains « dés à deux côtés » ont alors la forme d'une pièce[20].
Citons, par exemple, le jeuPrince Valiant qui n'utilise que des pièces.
Les pièces sont considérées équilibrées.
Si on stoppe le jeu avant la fin, les deux joueurs se répartissent la mise du jeu. Mais quelle est la part de chacun en fonction du nombre depile etface déjà apparus ?Pascal a donné une solution par un raisonnement de proche en proche (en utilisant notamment letriangle de Pascal),Fermat a donné la même solution par un raisonnement différent (utilisant des évènementséquiprobables)[21].
L'idée du jeu de pile ou face, c'est-à-dire d'une expérience aléatoire dont le résultat est un succès ou un échec, permet d'illustrer le concept d'un choix aléatoire.Blaise Pascal, dans sesPensées, utilise la métaphore du jeu de pile ou face pour illustrer sonfameux pari :
« Examinons donc ce point et disons : Dieu est, ou il n’est pas. Mais de quel côté pencherons-nous ? La raison n’y peut rien déterminer. Il y a un chaos infini qui nous sépare. Il se joue un jeu, à l’extrémité de cette distance infinie, où il arrivera croix ou pile : que gagerez-vous ? [...] Pesons le gain et la perte, en prenant croix que Dieu est. Estimons ces deux cas : si vous gagnez, vous gagnez tout ; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu’il est sans hésiter ! »
Le jeu de pile ou face est utilisé pour consulter le système de divinationYi Jing. La valeur 2 est assignée àpile et 3 àface[23], on effectue alors la somme des résultats sur trois lancers de pièce. Dans un domaine plus scientifique, les différents pas d'unemarche aléatoire sont donnés par le résultat d'un jeu de pile ou face. Il est utilisé comme métaphore en mécanique quantique : le résultat de l'expérience duchat de Schrödinger est déterminé par « un jeu de pile ou face dont le résultat est inconnu avant l'ouverture de la boîte »[24].
En 1851, un pile ou face détermine si une nouvelle ville dans l'Oregon sera nommée d'aprèsBoston ouPortland,Portland gagne.
En 1939, Bill Hewlett et Dave Packard ont parié à pile ou face si leur société allait s’appelerHewlett-Packard ou Packard-Hewlett[25].
Le soir de leur passage auMonterey Pop Festival en1967, pour savoir qui desWho ou deThe Jimi Hendrix Experience passerait avant l'autre, il fallut tirer à pile ou face, et les Who gagnèrent.
En 1968,Roland Moreno invente une machine à tirer à pile ou face, la « Matapof »[26].
En 1970, l'éleveur Ogden Phipps et le couple Christopher et Penny Chenery jouent à pile ou face le droit de choisir un des trois poulains de l'étalonBold Ruler. Les perdants au jeu deviendront propriétaires d'un des plus grands champions de l'histoire des courses : lepur-sang anglaisSecretariat.
En1987,Corynne Charby interpréta la chanson « Pile ou face » composée par Franck Yvi et Jean-Louis D'Onorio. Cette chanson fut reprise parEmmanuelle Béart en2002 dans le filmHuit femmes deFrançois Ozon. Le thème de la chanson est de « vivre sa vie à pile ou face », c'est-à-dire de laisser le hasard décider.
En 2007, un juge américain a été destitué après avoir décidé à pile ou face qui, du père ou de la mère, avait le droit de passer Noël avec leur enfant[27].
Le guide des circonscriptions duparti démocrate de l'Iowa prévoit que lorsqu'il y a égalité entre deux candidats, le choix devait être fait au pile ou face. Cette situation est apparue six fois en 2016 lors de la primaire de l'élection présidentielle[28].
Certains personnages de film sont associés au jeu du pile ou face, ce dernier devenant parfois même l'identité du personnage. Dans le film américainScarface, sorti en1932 et réalisé parHoward Hawks, le personnage Guino Rinaldo, joué parGeorge Raft, est un gangster jouant constamment à pile ou face. Ce personnage fut parodié parBugs Bunny dans le dessin animéRacketeer Rabbit en1946. George Raft parodia son propre personnage dans la comédieCertains l'aiment chaud deBilly Wilder, avec le personnage de Spats Colombo. Spats rencontre un gangster rival jouant à pile ou face, il lui demande « Où as-tu appris à faire ça ? »[29],[30]. Le personnage schizophrèneDouble-Face ou Pile-ou-faceennemi de Batman créé en 1942 parBob Kane etBill Finger décide de la légalité de ses crimes par un jeu de pile ou face. Il utilise une pièce à deux côtés identiques à l'exception d'une rayure de couteau sur l'une d'elles. C'est une pièce dedollar enargent. Citons également le romanNon, ce pays n'est pas pour le vieil homme et son adaptation cinématographique,No Country for Old Men sorti en2007 deJoel et Ethan Coen, où le tueur à gage psychopathe Anton Chigurh, utilise un lancer de pièce et laisse la destinée décider de la vie de ses victimes[31]. Une parodie a été faite dans l'épisode 19 de lavingtième saison desSimpson,Une adresse chic[32].
Le jeu de pile ou face est également à l'origine de certaines intrigues fictives. À la fin de la nouvelle d'Isaac AsimovLa Machine qui gagna la guerre publiée en1961, le personnage de Lamar Swift révèle à ses collaborateurs que l'ordinateur ne donnait en fait pas toutes les informations et qu'il jouait les grandes décisions à pile ou face. Dans l'épisode 16 de la deuxième saison de lasérie téléviséeLa Quatrième Dimension, le personnage principal obtient des pouvoirs télépathiques après avoir jeté une pièce qui reste mystérieusement sur la tranche. Son don disparaît lorsqu'il fait tomber la pièce restée sur la tranche.
Le concept de jeu infini de pile ou face est utilisé pour illustrer l'absurde comme dans la pièce de théâtreRosencrantz et Guildenstern sont morts de 1966, et dans son adaptation cinématographique de1990du même nom, deTom Stoppard. Les deux personnagesRosencrantz et Guildenstern de la pièce de théâtreHamlet deWilliam Shakespeare assistent à leur propre histoire[33]. Au début de la pièce, Rosencrantz gagne 85 fois de suite au pile ou face, la très faible probabilité de cet évènement montre que la situation dans laquelle se retrouvent les personnages est absurde mais possible.
L'aspect binaire du jeu est illustré dans le dixième épisode de lacinquième saison de la série animéeFuturama deMatt Groening. Leprofesseur Hubert Farnsworth crée un univers parallèle dans lequel le résultat du jeu de pile ou face est inversé :pile dans un univers lorsque le résultat estface dans l'autre (et vice versa).
De manière plus humoristique, dans l'épisode 15 de ladixième saison deFriends (diffusée en2004), Joey perd 57 fois de suite contre Rachel au pile ou face avec les règles suivantes :face elle gagne, etpile il perd[34].
Avant de lancer la pièce de monnaie, un jeu humoristique consiste à lancer à son adversaire la proposition "pile, je gagne, face, tu perds", ce qui permet au lanceur de gagner à tout coup, du moins tant que l'adversaire ne se rend pas compte de la supercherie, ce qu'il ne manque habituellement pas de faire assez vite.
Donnons ici une formalisation mathématique de l'espace et de la loi de probabilité pour un jeu de pile ou face. C'est un cas particulier souvent utilisé en théorie des probabilités puisqu'on peut décrire explicitement les objets mathématiques.
Pour le lancer d'une pièce, l'univers des possibles est, il est composé de deux éléments 0 (ouF) pourface et 1 (ouP) pourpile. On munit cet univers fini de l'ensemble des parties. Intuitivement l'ensemble représente les résultats possibles après un lancer de pièce.
On définit alors uneprobabilité en donnant ses valeurs pour lesévénements {obtenir face} et {obtenir pile}, c'est-à-dire respectivement et : et avec. C'est-à-dire que la probabilité d'obtenirpile estp et celle d'obtenirface est1 –p. (p = 1 –p = 1/2 pour une pièce équilibrée). Ainsi la donnée de définit mathématiquement un lancer de pièce.
Pour deux lancers successifs d'une même pièce (ou de deux pièces avec la même loi), l'univers est dont les éléments correspondent aux résultats dans l'ordre des deux pièces. On définit une probabilité par oùa etb valent 0 ou 1. C'est-à-dire que les lancers sontindépendants et que chaque lancer a la loi d'un jeu de pile ou face.
Pour deux lancers de deux pièces différentes n'ayant pas la même loi ; c'est-à-dire la première a pour loi définie avec le paramètrep et la deuxième avec la loi définie avec le paramètreq ≠p. L'univers est encore et on définit la mesure de probabilité.
Ces définitions se généralisent pour plus de lancers.
Le lancer d'une pièce est uneépreuve de Bernoulli, c'est-à-dire que l'on réalise une épreuve aléatoire dont le résultat est un succès ou un échec. Ce résultat est représenté par unevariable aléatoire de laloi de Bernoulli, ses valeurs possibles sont 0 et 1 (associées àpile etface, ou inversement). Si la pièce est équilibrée, le paramètre de la loi de Bernoulli estp = 1/2, c'est-à-dire quepile etface ont la même probabilité d'apparaître. Si la pièce n'est pas équilibrée, le paramètrep de la loi de Bernoulli ne vaut pas 1/2 et un côté de la pièce a plus de chance d'apparaître que l'autre. Sip > 1/2,. Remarquons que dans lathéorie des probabilités, la pièce est supposée parfaite au sens où la pièce ne peut pas tomber sur la tranche.
Donnons un lien avec la loi binomiale. Lorsque l'on effectue plusieurs lancers de la même pièce, ou de pièces ayant le même équilibrage, les lancers sont supposés indépendants. Le nombre de fois où apparaît le côtépile surn lancers suit uneloi binomialeB(n,p) où le paramètrep est la probabilité que le côté associé au résultat 1 apparaisse.
Il existe également un lien avec la loi géométrique. Si la probabilité d'obtenirpile estp et la probabilité d'obtenirface est1 –p (p = 1 –p = 1/2 dans le cas équilibré), alors la probabilité d'obtenirface pour lesn premiers lancers etpile pour len+1e lancer est égale à(1-p)np. Le nombre de lancers nécessaires pour l'apparition du premier côtépile suit donc uneloi géométrique.
Des liens avec d'autres lois de probabilité sont possibles en utilisant des résultats asymptotiques, laloi normale, par exemple, en faisant tendren vers l'infini (voir laconvergence vers la loi normale).
Faire tendren vers l'infini revient à considérer un nombre de lancers qui tend vers l'infini. Pour une infinité de lancers d'une pièce, le fait qu'une séquence de 100face consécutifs soit réalisée une infinité de fois, est un événement queue, c'est-à-dire que sa probabilité est 0 ou 1. C'est laloi du zéro un de Kolmogorov.
Le jeu de pile ou face permet d'aborder beaucoup de notions probabilistes, il a été inscrit dans la liste des épreuves orales du concours de l'agrégation de mathématiques.
« Le jeu de pile ou face, dont le principe est si simple, possède un très grand caractère de généralité et conduit, lorsqu’on l’étudie en détail, aux mathématiques les plus élevées. »
— Émile Borel, Principes et Formules classiques du Calcul des Probabilités, Chapitre V : Jeu de pile ou face ; 1924[35]
La modélisation mathématique du jeu de pile ou face, ou l'utilisation de laloi de Bernoulli, a été utilisée comme première approche pour des résultats mathématiques applicables à des lois plus générales :
Considérons unjeu classique de pile ou face entre deux joueurs avec une mise de 1 à chaque partie. On s'intéresse au gain d'un des deux joueurs au cours d'une partie contenant une infinité de jeu de pile ou face. On suppose que les joueurs n'ont pas de limite d'argent (fortune infinie) et que la fortune peut éventuellement être négative. D'après un théorème deGeorge Pólya, les deux joueurs retrouveront leurs fortunes initiales une infinité de fois au cours de la partie[37]. Il est à noter que lorsqu’un joueur retrouve sa fortune initiale, l'autre également. Le nombre de parties nécessaires pour revenir à la fortune initiale est une variable aléatoire, cette variable est finie mais son espérance est infinie.
De manière plus mathématique, le gain d'un joueur au cours de la partie est unemarche aléatoire dont chaque pas est +1 pour une victoire du joueur et -1 pour une défaite. Le temps de retour à la fortune initiale est le premier retour en 0 de la marche aléatoire :. Cette variable aléatoire a pour loi[37]
Par un calcul simple, on en déduit que l'espérance est infinie.
Une étude statistique a été réalisée par deux médecins sur des patients enoto-laryngologie àVancouver[38]. Ils ont demandé à treize patients de faire trois cents lancers chacun et d'essayer d'obtenirface. Ces patients ont reçu une formation de manipulation de pièces et ont pu s'exercer quelques minutes avant l'expérience.
Les treize patients ont réussi à obtenir plus deface que depile, dont sept patients de manière statistiquement significative. Le meilleur a obtenu 68 % deface. Il est à noter que les deux meilleurs patients ont été motivés par une récompense (pécuniaire) avant l'expérience.
Différentes explications sont données : on peut biaiser le résultat avec de l'exercice sur la manipulation de pièce (c'est le cas pour certains magiciens qui réalisent une illusion de rotation de la pièce), le résultat peut dépendre de l'orientation de la pièce avant le lancer, de la surface de réception (avec la main ou sur une surface fixe comme une table) et des propriétés intrinsèques de la pièce (la pièce belge de 1 euro tomberait plus de fois surface[38]).
La question que l'on se pose est : « Étant donné une pièce de monnaie, est-elle équilibrée ou non ? » Donnons plusieurs méthodes expérimentales pour y répondre. On suppose ici, par rapport à la sous-section précédente, que le lancer de pièce en lui-même est équiprobable.
| fiabilité (100 % - α) | 1 % | 5 % | 10 % | 50 % | 90 % | 95 % | 99 % | 99,9 % |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| seuil (α) | 99 % | 95 % | 90 % | 50 % | 10 % | 5 % | 1 % | 0,1 % |
| χ2crit | 0,000 2 | 0,004 | 0,02 | 0,45 | 2,71 | 3,84 | 6,63 | 10,83 |
Exemple : on réalisen=100 lancers, et on choisit un seuilα = 5 %
Intuitivement les réponses aux deux questions suivantes semblent être identiques. Mais leur différence est source de bien des erreurs et de paradoxes mathématiques.
La question« Quelle est la probabilité d'obtenirpile au dixième lancer sachant que l'on a obtenuface sur les neuf premiers lancers ? », se pose entre le neuvième lancer et le dixième, sachant donc que l'on connait déjà les résultats des premiers lancers.
La réponse est donc 1/2 puisque les lancers de pièces sont indépendants.
Écriture mathématique :
La question« Quelle est la probabilité d'obtenirpile au dixième lanceret d'obtenirface sur les neuf premiers lancers ? » se pose quant à elle avant le premier lancer, la probabilité concernant les dix lancers.
La réponse est donc (1/2)10≈0,001.
Écriture mathématique :
Notons que la probabilité d'obtenirface au dixième lanceret d'obtenirface sur les neuf premiers lancers (autrement dit d'obtenirface sur 10 lancers consécutifs) est également (1/2)10.
Le paradoxe engendré par la différence entre ces deux questions s'appelle l'erreur du parieur. Des problèmes basés sur le jeu de pile ou face ont souvent été énoncés pour illustrer des paradoxes plus généraux. Certains sont contre-intuitifs, d'autres n'ont toujours pas été résolus. En voici quelques exemples.
Citons un raisonnement fallacieux du mathématicien réputéJean le Rond D'Alembert[40]. La question est de calculer la probabilité d'obtenir au moins une foispile en deux lancers successifs de pièces. D'après son raisonnement, il y a trois cas possibles : « obtenirpile au premier lancer », « obtenirpile au deuxième lancer » et « ne pas obtenirpile sur les deux lancers ». Parmi ces trois issues, deux sont favorables, la probabilité est donc 2/3.
Cependant, les trois cas ne sont paséquiprobables, en effet d'Alembert considérait le cas « obtenir deux foispile » inclus dans le cas « obtenirpile au premier lancer » puisque l'obtention depile au premier lancer finit le jeu. En incluant ce nouvel évènement, on obtient le bon résultat : 3/4.
« L'esprit de d'Alembert, habituellement juste et fin, déraisonnait complètement sur le Calcul des probabilités »
— Joseph Bertrand,Calcul des probabilités, préface
Le termeparadoxe est dans ce cas utilisé dans le senscontre-intuitif (premier sens du wiktionnaire soit la "proposition contraire à l’opinion commune ou à la vraisemblance"), ce n'est pas un vrai paradoxe mathématique (deuxième sens du wiktionnaire soit la "proposition qui contient ou implique une contradiction").
On lance trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que toutes trois retombent du même côté, que ce soitpile ouface ?
La réponse est 1/4.
Le problème de la Belle au bois dormant est unparadoxe probabiliste polémique où deux interprétations contradictoires coexistent.
Le dimanche soir, alors que la Belle au bois dormant est endormie, nous lançons une pièce de monnaie pour un tirage à pile ou face.
Durant l'entretien, qu'il soit uniquement le lundi, ou le lundi et le mardi, on lui pose la question : « Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée surpile ? » La princesse est parfaitement au courant des règles.
Deux raisonnements s'opposent. Le premier consiste à ne voir que la pièce de monnaie et la Belle répond 1/2. Le second consiste à voir l'ensemble des réveils et la Belle répond 2/3.
Ce paradoxe a été énoncé en 1713 parNicolas Bernoulli[41]. Le paradoxe de Saint-Pétersbourg se résume à la question suivante : pourquoi alors que mathématiquement l'espérance de gain à un jeu est infinie, les joueurs refusent-ils de jouer tout leur argent ? Il s'agit donc non d'un problème purement mathématique mais d'un paradoxe du comportement des êtres humains face aux événements d'unevariable aléatoire dont la valeur est probablement petite, mais dont l'espérance estinfinie. Dans cette situation, ne prendre en compte que cette espérance dicte une décision qu'aucun acteurraisonnable ne prendrait : il faut jouer à tout prix.
Cette énigme mathématique a été énoncée en 1969 parWalter Penney[42] puis reprise en détail plus tard parMartin Gardner en 1974[43],[44].
Deux joueursA etB s'affrontent dans une série de lancers de pièce. Chacun d'eux choisit une configuration formée d'une suite de trois piles ou faces. Par exemple, A choisit la configurationPPF = (pile,pile,face), et B la configurationFPP(=face,pile,pile). On lance ensuite une pièce plusieurs fois de suite jusqu'à ce qu'une des deux configurations apparaisse, désignant ainsi le gagnant. Avec les configurations précédentes, le jeu n'est pas équilibré.B a trois fois plus de chance de gagner queA. En effet, distinguons les différents cas :
Ainsi, sur les quatre configurations possibles des deux premiers lancers (FF,FP,PF,PP), trois mènent à la victoire deB tandis qu'une seule permet àA de gagner. Ces quatre configurations étant équiprobables, il en résulte queB a bien trois fois plus de chance de gagner queA.
Un double paradoxe apparaît alors[45] :
Sur les autres projets Wikimedia :
