De nombreuses formules dephysique, d’ingénierie et bien sûr demathématiques impliquentπ, qui est une des constantes les plus importantes de cette discipline[3].
Le nombreπ estirrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deuxnombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même unnombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas depolynôme non nul à coefficients entiers dontπ soit uneracine[c].
La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise deπ, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.
L’usage de la lettre grecque π, première lettre deπεριφέρεια /περιφέρεια, « périphérie, circonférence », n’est apparu qu’auXVIIIe siècle à l'initiative du mathématicienWilliam Jones (et ensuite adopté et popularisé parEuler). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.
Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes[4],π est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est leplan euclidien, entre lacirconférence d’uncercle et sondiamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sontsemblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude. Par suite, pour tout réel positifk, si un cercle possède un rayonr (ou un diamètred = 2r)k fois plus grand qu’un autre, alors sonpérimètreP sera aussik fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport.
.
Par ailleurs, cette même similitude multipliera l’aireA par le carré dek, ce qui prouve maintenant que le rapportA/r2 est constant. On peut montrer, par exemplepar la méthode des indivisibles, que cette constante vaut égalementπ.
.
Le dessin ci-contre illustre une autre méthode[5], essentiellement due à Archimède (voirinfra) : le périmètre dupolygone vaut à peu près2πr alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire vaut à peu prèsπr2. Pour formaliser le « à peu près », il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » deπ.
La définition géométrique ci-dessus, historiquement la première et très intuitive, n'est pas la plus directe pour définirπ mathématiquement en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés, par exemple[6]définissentπ par l'analyse réelle, parfois à l'aide desfonctions trigonométriques, mais introduites sans référence à la géométrie :
Un choix fréquent est de définirπ comme le double du plus petit nombre positifx tel quecos(x) = 0, oùcos peut être définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe[7],[8], ou comme lasolution d'un problème de Cauchy.
Une autre définition est envisageable en considérant les propriétés algébriques de la fonctionexponentielle complexe qui découlent de sa définition par unesérie entière et qui font que l’applicationt↦ exp(it) est unmorphisme de groupescontinu etsurjectif de (ℝ, +) vers legroupe (𝕌, ×) des complexes de module1. On démontre alors que l’ensemble des nombres réelst tels queexp(it) = 1 est de la formeaℤ oùa est un réel strictement positif[9]. On pose alorsπ =a/2. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de lagéométrie euclidienne.
Legroupe Bourbaki propose une autre définition très voisine en démontrant[10] l’existence d’un morphisme degroupes topologiquesf de (ℝ, +) vers (𝕌, ×), périodique depériode 1, tel quef(1/4) = i. Il démontre[11] quef estdérivable et que sadérivée en0 est de la formeαi pour un certain réelα > 0, qu'il note2π.
Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonctiont↦ exp(it), ou la fonctiont↦ exp(2iπt).
Mais on peut aussi définirπ grâce au calcul intégral en posant[12]
, ce qui revient à calculer (par exemple comme limite desommes de Riemann) l’aire d’un demi-disque derayon 1, ou encore
, ce qui revient (par résolution de l'équation différentiellex' = –√1 –x2) à la définition ci-dessus deπ/2 comme le premierzéro decos. On retrouve également cette intégrale quand on cherche à calculer lalongueur du quart de cercle de rayon 1 paramétré par[13]. On peut également poser[14]
, en relation avec lethéorème des résidus, oùπ est l'unique valeur telle que, pour toutlacetγ rectifiable à un tour autour dez0,.
Ou bien à l’aide du dénombrement, en notantφ(n) le nombre de couples d’entiers naturels(k,p) tels quek2 +p2 ≤n2 et en définissant : , ce qui est une autre méthode pour calculer l'aire du quart de disque.
En 2024, unenouvelle façon[C'est-à-dire ?] d'exprimerπ a été découverte par hasard, à l'occasion d'une étude des interactions de particules à haute énergie dans le cadre de lathéorie des cordes[15],[16].
Orsous certaines hypothèses — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quandx est un rationnel non nul,tanx est irrationnel. Or,tan π vaut0 ; c’est un rationnel. Parcontraposition, cela prouve queπ n’est pas rationnel.
Une conséquence historiquement importante de la transcendance deπ est que celui-ci n'est pasconstructible. En effet, lethéorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant seconstruire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, laquadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un disque donné[25].
De façon plus anecdotique, le fait queπ soit transcendant a permis à Don Coppersmith de montrer que lorsqu'on partitionne un disque parn ≥ 4 droites concourantes formant toutes entre elles des angles deπ/nradians, les deux sommes d'aires obtenues en considérant une part sur deux sont différentes si et seulement sin est impair[26],[27],[e].
Les 16 premiers chiffres de l'écriture décimale deπ sont 3,141 592 653 589 793 (pour davantage de décimales, voir les liens externes[1],[2],[28]). En 2013 on connaît plus de douze mille milliards de décimales deπ[29], en 2022 cent mille milliards (1014)[30].
Les applications concrètes, telles que l'estimation de lacirconférence d'un cercle, n'ont généralement pas besoin de plus d'une dizaine de chiffres. En 1881,Simon Newcomb explique ainsi que« dix décimales suffisent à calculer la circonférence de la Terre à une fraction de pouce près ; trente décimales, pour obtenir celle de l'univers visible... »[31]. Dans les années 1990, la représentation décimale deπtronquée à 39 décimales était estimée suffisante pour calculer la circonférence d'un cercle d'undiamètre du mêmeordre de grandeur que la taille de l'univers observable avec un degré de précision comparable à celle d'unatome d'hydrogène[32],[33], compte tenu des estimations alors en vigueur.
En 2014, Donald Byrd, chercheur en informatique, revenait sur l'assertion de Newcomb pour l'actualiser à la lumière des avancées de la science depuis 1881 : il en concluait que pour un univers observable de 100 Ga.l. (soit 9,46 × 1026m) et une précision de lalongueur de Planck, il suffit d'environ 60 décimales[34].
Malgré les importants travaux d'analyse et les calculs effectués, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire cette suite de chiffres[36]. Les premières décimales sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels qui peuvent en calculer des milliards et qu'on peut installer sur unordinateur personnel.
Par ailleurs, le développement décimal deπ ouvre le champ à d'autres questions, notamment celle de savoir siπ est unnombre normal, c’est-à-dire que sessuccessions finies de chiffres en écriture décimale sont équiréparties. A fortiori,π serait alors unnombre univers, ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres. En 2006, il n'existait pas de réponse à ces questions[37].
Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approcherπ dans des calculs (nombre de chiffres significatifs exacts entre parenthèses) :
On peut trouver une valeur approchée deπ de façonempirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée àArchimède, consiste à calculer lepérimètrePn d’unpolygone régulier àn côtés et à mesurer le diamètred de soncercle circonscrit, ou celui de soncercle inscrit[38]. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur deπ.
Archimède a utilisé cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Il a réussi, avec un polygone à96 côtés, à déterminer[39] que3 +10/71 < π < 3 +1/7.
On peut également obtenir des valeurs approchées deπ en mettant en œuvre des méthodes plus modernes. La plupart des formules utilisées pour calculerπ se basent sur latrigonométrie et lecalcul intégral. Cependant, certaines sont particulièrement simples, comme la « formule de Leibniz »[40] (voirinfra) :
Cette série converge si lentement que pour calculerπ avec une précision de six décimales il faut presque deux millions d'itérations.Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge versπ beaucoup plus rapidement, en posant :et en définissant :
Le calcul deπ10,10 demande alors un temps similaire à celui requis pour calculer les150 premiers termes de la série initiale, mais la précision est bien meilleure carπ10,10 = 3,141592653… approcheπ avec neuf décimales exactes[f]. On trouveraplus loin des méthodes de calcul plus élaborées, donnant des convergences bien plus rapides encore.
Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du rayon. Dans les textes mathématiques mésopotamiens, c’est l’approximation π = 3 qui est utilisée. Néanmoins, lestablettes de Suse (fin de la première dynastiebabylonienne) datant de 1 595av. J.-C. et découvertes en 1936[42] présentent une attestation unique conduisant à une valeur deπ de 3;7:30 en notation sexagésimale, soit 3,125[43],[44]. Dans ce cas, l’erreur relative commise est de l’ordre de 0,53 %.
Ce recouvrement imparfait de l'aire du disque par unoctogone peut conduire à une approximation de l'aire du disque, et donc du nombreπ.
L’égyptien ancien ne connaissait pas davantage π, mais pour calculer l’aire d’un disque, il soustrayait un neuvième à son diamètre et élevait le résultat au carré ; l’erreur relative commise est de l’ordre de 0,6 %. Ce procédé est exploité dans une demi-douzaine de problèmes sur différents payprus[45]. Une justification possible de celle-ci s'appuie sur un schéma, figurant dans le problème 48 dupapyrus de Rhind, copié auXVIe siècle avant notre ère par lescribe égyptienAhmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore, et découvert en 1858[46]. On peut interpréter ce problème comme le schéma ci-contre[47]. Si le disque a pourdiamètre 9, l'aire du disque est légèrement supérieure à l'aire de l'octogone (irrégulier) obtenu en rognant les coins du carré decôté 9. Cet octogone a pouraire 63 ; l'aire du disque est alors évaluée à 64, soit l'aire d'un carré decôté 8. Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2)2, c'est-à-dire 256/81. Ce problème ne comporte pas d’énoncé, mais pour Spalinger il aurait peut-être été rédigé par un maitre en tant que complément pédagogique[48].Annette Imhausen, historienne des mathématiques de l'Égypte antique, considère que l'on ne peut rien tirer de ce schéma, présent dans ce qui s’apparente à un manuel scolaire et non à une note de recherche[49].
Vers 700av. J.-C., le texteindienShatapatha Brahmana donne une approximation deπ : 25/8 (= 3,125) et leBaudhāyana Sulbasūtra en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20)[50]. Des calculs d'astronomie ont ensuite conduit à une autre approximationvédique : 339/108 (≈ 3,139)[51]. Au début duVIe siècleapr. J.-C.,Aryabhata donne une approximation plus précise :62 832/20 000 = 3,1416. Comme|π – 3,1416| < 0,0000075, il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10−5 près.
Archimède (287 à 212av. J.-C.) démontre dans le traitéDe la mesure du cercle que l'aire d'un disque est égale à l'aire du triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal aurayon du disque et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à lacirconférence de ce même disque. Il démontre ainsi qu'une même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre[53].
Cette démonstration s'appuie sur laméthode d'exhaustion et unraisonnement par l'absurde[54]. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.
Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit.
Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit.
Découpage du cercle en huit portions.
Sa démonstration exploite l'idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon ; la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l'aire est alors de 1/2 de la base multipliée par la hauteur, c'est-à-dire 1/2 du périmètre multiplié par le rayon.
Déroulement des huit portions.
Dans le même traité[53], Archimède établit un encadrement du périmètre du cercle à l'aide des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant 96 côtés[55]. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d'hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d'un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Son calcul revient à démontrer que 3 + 10/71 <π < 3 + 1/7[55]. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3,14185. Archimède s'arrête à 96 côtés car les calculs qu'il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l'époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui permet en théorie une précision aussi grande que souhaitée. Il faut cependant une précision toujours plus grande dans les premiers calculs à chaque fois que l'on double le nombre de côtés du polygone.Ptolémée, scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de, qu'il a pu obtenir grâce àApollonios de Perga[56], ou bien en utilisant sa table trigonométrique et en multipliant par 360 la longueur de la corde sous-tendue par un angle d'un degré[57].
Formules d'Archimède
Propriété de la bissectrice.
Archimède utilise une propriété liant le pied d'une bissectrice aux côtés adjacents : dans la figure ci-contre, SS′ est la bissectrice de l'angle de sommet S
Polygone circonscrit.
Pour le polygone circonscrit. Dans la figure ci-contre, et sont les demi-côtés de deux polygones circonscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant la propriété précédente, queet réitère 4 fois l'opération à partir de l'hexagone.
Polygone inscrit.Pour le polygone inscrit. Dans la figure ci-contre, et sont les côtés de deux polygones inscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant les triangles semblables et la propriété de la bissectrice, que
On peut montrer ainsi que les périmètres et des polygones inscrit et circonscrit obtenus au bout den étapes (soit, dans le cas d'Archimède qui commence avec un hexagone, des polygones à 6×2n côtés) vérifient les relations de récurrence suivantes :.Les identités trigonométriques permettent également d'obtenir rapidement ces relations (voirinfra).
La démonstration d'Archimède revient ainsi au calcul et à la justification à chaque étape de valeurs rationnelles par défaut et par excès du périmètre du cercle pour conclure, au bout den = 4 étapes (96 côtés), à l'encadrement souhaité.
Encadrement de Liu Hui.
Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation deπ, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. AuIIIe siècle, en Chine,Liu Hui, commentateur desNeuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et fournit une approximation deπ de 3,1416[58]. Le mathématicien chinoisZu Chongzhi donne une approximation rationnelle encore plus précise deπ[59] :π ≈ 355/113 (dont les développements décimaux sont identiques jusqu'à la6e décimale,π ≈ 3,141 592 6 et355/113 ≈ 3,141 592 9) et montre que3,141 592 6 < π < 3,141 592 7[60], en utilisant l'algorithme de Liu Hui appliqué à un polygone à 12 288 côtés. Cette valeur demeure la meilleure approximation deπ au cours des 900 années qui suivent.
Le cas particulierx = 1/√3 :converge bien plus vite, ce qui a permis à Madhava de donner une valeur approchée deπ de 3,141 592 653 59, qui a 11 décimales correctes. Mais ces travaux restèrent inconnus en dehors duKerala jusqu'auXIXe siècle, à la suite de laconquête de l'Inde par les Britanniques. Le record de Madhava a été battu en 1424 par le mathématicienperseAl-Kashi (Traité de la circonférence), qui a réussi à donner 16 décimales, en appliquant la méthode d'Archimède à un polygone de3×228 côtés.
La première contribution importante venant d’Europe depuis Archimède a été faite parFrançois Viète, qui en donne douze décimales, avec un encadrement du reste dans sonCanon mathématique en1579. Il est suivi parAdrien Romain, qui donne 15 décimales en1591, et l’AllemandLudolph van Ceulen (1540-1610), qui a utilisé la même méthode géométrique afin de donner une estimation deπ correcte à 35 décimales près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu’il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale[63].
Il est immédiatement suivi parWillebrord Snell, son élève, qui trouve des méthodes plus rapides pour obtenir la même approximation. Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits infinis pour des quantités géométriques ont commencé à émerger enEurope. La première formule de ce type est laformule de Viète :
exposée par Vièteen 1579 dans sonCanon mathématique et à nouveau[réf. souhaitée] en 1593, dans sesProblèmes variés. Un autre résultat célèbre est leproduit de Wallis :
que l’on doit àJohn Wallis, qui l’a mis en évidence en 1655.Isaac Newton lui-même a utilisé le développement en série deπ/6 = arcsin(1/2)[64] pour calculer 15 décimales deπ ; bien plus tard, il a déclaré :« J’ai honte de vous dire combien de décimales j’ai trouvées grâce à ces calculs, n’ayant aucune autre occupation à l’époque[65]. »
En 1706,John Machin a été le premier à trouver 100 décimales deπ, en utilisant la formule :et le développement ci-dessus en série entière dearctan.
Première approximation deπ calculée par William Shanks en 1853, incluant les 80 décimales incorrectes.
Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom deformules de Machin, ont été utilisées pour battre plusieurs records de décimales connues deπ (par exempleThomas Fantet de Lagny en calcule 112 en 1719), et demeurent aujourd’hui les formules les plus connues pour calculerπ grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par lecalculateur prodigeZacharias Dase qui, en 1844, à l’aide d’une formule de Machin, a calculé 200 décimales deπ, à la demande deGauss. La meilleure valeur obtenue à la fin duXIXe siècle est due àWilliam Shanks, qui a passé quinze ans à calculer 607 décimales puis 707 décimales deπ, bien que, à cause d’une erreur, seulement les 527 premières aient été correctes. De nos jours, il est aisé d’éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l’ordinateur, et en utilisant deux formules différentes pour éliminer les risques d’erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.
Alors que quelques dizaines de décimales deπ sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu’effectue un physicien, la conquête des décimales du nombreπ n’a pas cessé avec l’arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales (l'intérêt étant, outre le test de nouveaux algorithmes, le contrôle d'erreurs matérielles en effectuant par plusieurs méthodes différentes un calcul dont on sait à l'avance qu'il doit donner toujours le même résultat[67]).
En 1949, à l’aide de l’ENIAC,John von Neumann a obtenu 2 037 décimales deπ, à la suite d'un calcul qui a duré 70 heures[68],[69]. Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l’étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n’ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L’une des avancées les plus significatives a été la découverte de latransformation de Fourier rapide dans lesannées 1960, qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.
Au début duXXe siècle, le mathématicien indienSrinivasa Ramanujan a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenirπ ; certaines d’entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique[70]. L’une de ces formules est la série suivante, donnant 8 nouvelles décimales à chaque nouveau terme[71] :
La formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte parDavid et Gregory Chudnovsky en 1987 :
Cette formule donne 14 nouvelles décimales deπ à chaque terme[70]. Vers la fin desannées 1980, les frères Chudnovsky l’ont utilisée pour battre plusieurs records de décimales deπ calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculerπ sur des ordinateurs personnels.
Alors que les séries permettent d’obtenir des valeurs approchées deπ avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l’inconvénient que chaque étape demande généralement un calcul « coûteux ». Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsqueRichard Brent etEugene Salamin(en) ont découvert indépendamment laformule de Brent-Salamin, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape[72]. Il s’appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré parGauss. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre lamoyenne arithmético-géométrique M(1,√2) de 1 et√2 — la longueur de lalemniscate de Bernoulli — etπ. La longueur de la lemniscate estL = 2ϖr oùr représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et oùϖ est la constante de la lemniscate. Si on noteG, laconstante de Gauss, c’est-à-dire l’inverse de M(1,√2) alors :Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l’algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales deπ va alors avancer conjointement avec celle des décimales de√2[73].
L’algorithme consiste à poser :,puis à définir les relations de récurrence suivantes :et enfin à calculer ces valeurs jusqu’à ce quean etbn soient assez proches. On a alors une valeur approchée deπ donnée par :.
En utilisant cet algorithme, seules 25 itérations sont nécessaires pour calculer 45 millions de décimales. Un algorithme similaire qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein[74]. C'est grâce à ces méthodes que, de 1981 à 1999,Yasumasa Kanada et ses associés ont battu le record du nombre de décimales deπ à onze reprises (plus de 2×1011 décimales en 1999)[75].
En 1997, laformule BBP, découverte parSimon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance deπ[76]. La formule,est remarquable car elle permet de calculer n’importe quel chiffre de l’écriture deπ en basehexadécimale oubinaire, sans calculer les précédents[76]. Entre 1998 et 2000, le projet decalcul distribuéPiHex a utilisé une variante de la formule BBP due àFabrice Bellard pour calculer le 1 000 000 000 000 000e chiffre en binaire deπ, qui s’est révélé être 0[77].
Si une formule de la forme :était trouvée, avecb etc des entiers positifs etp etq des polynômes de degrés fixés à coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l’un des moyens les plus efficaces pour calculer n’importe quel chiffre dans l’écriture deπ en basebc (et donc en baseb) sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant uniquement de l'indice du terme calculé et du degré des polynômes.
Le 14 mars 2019, jour du Pi Day, Google rend public le nouveau record de décimales calculé par une de ses employées,Emma Haruka Iwao, au moyen de puissantes machines. Le nouveau record du monde s'établit à 31 415 milliards de décimales. Il a fallu 121 jours[79] de calculs ininterrompus àEmma Haruka Iwao pour l'obtenir et ainsi entrer dans le livre Guinness des records[80].
Le 9 juin 2022, ce record est à nouveau battu par Emma Haruka Iwao, calculant cette fois cent mille milliards de décimales[81].
Les deux suites définies parsn = nsin(π/n) ettn = ntan(π/n) représentent, pourn ≥ 3, les demi-périmètres des polygones réguliers àn côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique poursn, exinscrit pourtn. On les exploite par des suites extraites dont l’indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenirπ par passage à la limite d’expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et laracine carrée. Ainsi, on peut déduire de la méthode d'Archimède (voirsupra) une définition par récurrence des suites extraites de termess2k+1 ett2k+1 (à partir des4 = 2√2 ett4 = 4) ou encores3×2k ett3×2k (à partir des3 = 3√3/2 ett3 = 3√3) :.
Il résulte de cette définition que les deux suites extraites correspondantes de la suitecn :=sn/tn = cos(π/n) vérifient : et.
(Alternativement, on peut démontrer, pour toutn ≥ 2, les deux premières relations à l'aide des identités trigonométriques (cf. « Formules de l'arc moitié ») et (cf. « Formules de l'angle double ») et les deux dernières, directement, en utilisant les identités trigonométriques2sin(x/2) =√2 – 2cos(x) et2cos(x/2) =√2 + 2cos(x) pourx ∈ [0, π].)
On peut donc exprimers2k+1 ets3×2k (pourk ≥ 1), puisπ (par passage à la limite) sous forme deformules où s'emboîtent des racines carrées : (k est le nombre de racines carrées)ou encore :
Une autre expression des2k+1, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par√2+√…), conduit auproduit infini suivant (formule deFrançois Viète, 1593) :
Soit(xn) la suite des itérés de lafonction logistique de paramètreμ = 4 appliquée à un réelx0 choisi dans l’intervalle[0, 1] (c’est-à-dire qu’on définit, pour toutn ≥ 0,). La suite(xn) quitte l’intervalle [0, 1] et diverge pour quasiment toutes les valeurs initiales.
Les deux formules suivantes, tirées de l’analyse, trouvent des applications pratiques en probabilités. L’une permet de montrer la convergence de laloi binomiale vers laloi normale et l’autre permet de calculer la densité d’une loi de Gauss.
D’autre part, il existe diverses expériences probabilistes oùπ intervient dans la probabilité théorique. Elles peuvent donc servir, en effectuant un grand nombre d’épreuves, à déterminer une approximation deπ.
Cette formule peut être utilisée pour déterminer une valeur approchée deπ :oùn est le nombre d’aiguilles lancées, etx celui d’aiguilles qui sont sur deux lattes à la fois.
Cette méthode présente rapidement ses limites ; bien que le résultat soit mathématiquement correct, il ne peut pas être utilisé pour déterminer plus que quelques décimales deπ expérimentalement. Pour obtenir seulement une valeur approchée de 3,14, il est nécessaire d’effectuer des millions de lancers[86], et le nombre de lancers nécessairescroît exponentiellement avec le nombre de décimales voulu. De plus, une très faible erreur dans la mesure des longueursL eta va se répercuter de façon importante sur la valeur trouvée deπ. Par exemple, une différence de mesure d’un seulatome sur une aiguille de longueur de 10 centimètres va se retrouver dès la neuvième décimale deπ. En pratique, les cas où l’aiguille semble toucher exactement la limite entre deux lattes va accroître l’imprécision de l’expérience, de sorte que les erreurs apparaîtront bien avant la neuvième décimale.
Évaluation deπ par la méthode de Monte Carlo.
Laméthode de Monte-Carlo[89] est une autre expérience probabiliste qui consiste à prendreau hasard un point dans un carré decôté1, la probabilité que ce point soit dans le quart de disque derayon1 estπ/4 ; cela peut se comprendre facilement étant donné que l'aire du quart du disque estπ/4 alors que celle du carré est1.
Commeπ est transcendant, il n’existe pas d’expression de ce nombre qui fasse uniquement appel à des nombres et des fonctions algébriques. Les formules de calcul deπ utilisant l’arithmétique élémentaire impliquent généralement les sommes infinies. Ces formules permettent d’approcherπ avec une erreur aussi petite que l’on veut[90], sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le résultat sera proche deπ.
Par conséquent, les calculs numériques doivent utiliser des approximations deπ.
La première approximation numérique deπ fut certainement 3[55]. Dans les cas où une situation ne demande que peu de précision, cette valeur peut servir d’approximation convenable. Si 3 est une estimation par défaut, c’est parce qu’il est le rapport entre le périmètre d’unhexagone régulier inscrit dans uncercle et le diamètre de ce cercle.
Dans de nombreux cas, les approximations 3,14 ou22/7 suffisent, bien que les ingénieurs aient longtemps utilisé 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec respectivement 3 et7 chiffres significatifs, sont obtenues à partir de l’écriture enfraction continue deπ. Cependant c’est le mathématicien chinoisZu Chongzhi (祖沖之 ensinogrammes traditionnels, 祖冲之 en sinogrammes simplifiés,Zǔ Chōngzhī en piyin) (429-500) qui a découvert la fraction 355/113 en utilisant la méthode d’Archimède pour calculer le périmètre du polygone régulier à 12 288 côtés inscrit dans un cercle. Aujourd'hui, les approximations numériques le plus souvent utilisées par les ingénieurs sont celles de constantes informatiques prédéfinies.
L’approximation deπ en 355/113 est la meilleure qui puisse être exprimée avec uniquement3 chiffres au numérateur et au dénominateur. L’approximation 103 993 / 33 102 (qui fournit 10 chiffres significatifs) en exige un nombre beaucoup plus important : cela vient de l’apparition du nombre élevé 292 dans le développement en fraction continue deπ[91].
Dans les calculs numériques usuels sur ordinateur, on utilise plutôt une constante correctement arrondie mais prédéfinie avec une précision d’au moins 16 chiffres significatifs (c’est la meilleure précision représentable par un nombre en virgule flottante au format standardIEEE 754 sur 64 bits, un type généralement désigné « double précision ») et choisie afin que le calcul de sonsinus retourne 0 exactement par une fonction définie dans cette même précision. Ainsi le fichier d’entête standard<math.h> utilisé en langageC ouC++ définit la constanteM_PI en double précision (le type flottant utilisé par défaut dans de nombreuses fonctions des bibliothèques mathématiques standards) à la valeur de 3,141592653589793 (parfois avec des chiffres supplémentaires si la plateforme supporte une précision plus étendue pour le typelong double). La même valeur est utilisée enlangage Java, qui s’appuie sur la même norme IEEE 754, avec la constante standardjava.lang.Math.PI[92]). On retrouve cette constante définie ainsi dans de nombreux langages de programmation, avec la meilleure précision possible dans les formats de nombres en virgule flottante supportés, puisque le type « double précision » de la norme IEEE 754 s'est imposé comme une référence de précision minimale nécessaire dans de nombreux langages pour d’innombrables applications.
Sur desmicroprocesseurs de la famillex86, les unités de calcul matérielles (FPU) sont capables de représenter des nombres flottants sur 80 bits (utilisables avec cette précision en langage C ou C++ avec le typelong double mais sans garantie de support matériel), ce qui porte la précision deπ à 19 chiffres significatifs. La dernière révision publiée en 2008 de la norme IEEE 754 comporte aussi la définition de nombres en virgule flottante en « quadruple précision » (ouquad) codés sur 128 bits, ce qui permettrait de définir une approximation de la constanteπ avec une précision de 34 chiffres significatifs (toutefois cette précision n’est pas encore prise en charge nativement par de nombreux langages de programmation car peu de processeurs permettent cette précision directement au niveau matériel sans un support logiciel supplémentaire).
Pour les plateformes ou langages ne supportant nativement que les nombres en « simple précision », codés dans la norme IEEE 754 sur 32 bits utiles, pourront être pris en charge 7 chiffres significatifs (le minimum de précision supporté en langage C par le typefloat), c’est-à-dire la constante correctement arrondie à 3,141593 et équivalente en précision à celle donnée par la fraction 355/113 (cette fraction permet aussi des calculs rapides dans des logiciels pour des systèmes légers ne comportant pas d’unité matérielle de calcul en virgule flottante).
La suite des dénominateurs partiels du développement enfraction continue deπ ne fait apparaître aucun schéma évident[93] :
Cependant :
. En tronquant ce développement juste avant le quotient partiel brusquement plus grand que les précédents (16 539), on obtient la célèbre approximation de Ramanujan[94], qui donneπ à 10–8 près.
De nombreuses questions se posent encore :π ete sont deux nombres transcendants mais sont-ilsalgébriquement indépendants ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple(π, e) soit une solution ? La question est encore en suspens. En 1929,Alexandre Gelfond prouve queeπ est transcendant[73] et en 1996,Youri Nesterenko prouve queπ eteπ sont algébriquement indépendants.
Sans doute en raison de la simplicité de sa définition, le nombre pi et particulièrement son écriture décimale sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique[74]. D’ailleurs, la découverte d’un plus grand nombre de décimales deπ fait souvent l’objet d’articles dans la presse généraliste, signe queπ est un objet familier même à ceux qui ne pratiquent pas les mathématiques[97].
Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fête l’anniversaire deπ dans certains départements mathématiques des universités le14 mars. Le 14 mars qui est noté « 3/14 » en notation américaine, est donc appelé lajournée de pi.
Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombreπ dans les pyramides et, plus précisément, queπ est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides[98]. Il est vrai que lapyramide de Khéops possède une pente de 14/11 et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation deπ, le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin deπ. Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sûr[99] puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les régions et les époques, on trouve des pentes de 6/5 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khéphren) ou 7/5 (pyramide rhomboïdale) qui conduisent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné deπ.
Il est en tout cas certain queπ est présent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dansContact, un roman deCarl Sagan, joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu’il y ait un message enfoui profondément dans les décimales deπ, placé par celui qui a créé l’univers. Cette partie de l’histoire a été écartée de l’adaptation cinématographique du roman.
Sur le plan cinématographique,π a servi de titre au premier long-métrage deDarren Aronofsky, à qui l’on doit notammentRequiem for a Dream.Pi est unthriller mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, révélant ainsi la formule exacte des marchés boursiers deWall Street ou encore le véritable nom deDieu.
Dans le registre musical, l’auteur-compositrice-interprèteKate Bush a sorti en 2005 son albumAerial, qui contenait le morceau « π », dont les paroles sont principalement composées des décimales deπ[100].
Les récentes décennies ont vu une forte augmentation du record du nombre de décimales deπ mémorisées.
Au-delà de la mémorisation deπ, usuellement ses 3 à 6 premiers chiffres ou par la remarquable valeur approchée de la fraction 355/113 (7 chiffres significatifs), la mémorisation d’un nombre record de décimales deπ a longtemps été et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. Le, àOxford, le jeuneautiste AspergerDaniel Tammet récite (en 5 heures, 9 minutes et 24 secondes) 22 514 décimales. Le record de mémorisation deπ reconnu en 2005 par leLivre Guinness des records était de 67 890 chiffres (Lu Chao, un jeune diplômé chinois[101], en 24 heures et 4 minutes[102]). En octobre 2006,Akira Haraguchi, un ingénieur japonais retraité, récite 100 000 décimales deπ en 16 heures et demie[103], mais cet exploit n'est pas validé par leGuinness des records. Le record officiel passe en mars 2015 à 70 000 décimales en 9 h 27 min (Rajveer Meena, un étudiant indien), puis en octobre à 70 030 en 17 h 14 min (Suresh Kumar Sharma, un autre Indien)[104].
Le 17 juin 2009,Andriy Slyusarchuk(en), unneurochirurgien et professeurukrainien, affirma avoir mémorisé 30 millions de décimales deπ, qui ont été imprimées en 20 volumes[105]. Bien qu’il n’ait pas récité les 30 millions de chiffres qu’il a dit avoir retenus (ce qui, au demeurant, lui aurait pris plus d'un an), certains médias prétendent qu’il était en mesure de réciter dix décimales sélectionnées aléatoirement parmi les volumes imprimés[réf. souhaitée]. La comparaison avec les valeurs officiellement retenues par leGuinness des records amène cependant les experts à mettre sérieusement en doute cette affirmation[réf. souhaitée].
Il y a plusieurs façons de retenir les décimales deπ, dont des poèmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de dix lettres représentant un 0. En voici un exemple[106] :
Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! /3.1415926535 Immortel Archimède, artiste, ingénieur, /8979 Qui de ton jugement peut priser la valeur ? /32384626 Pour moi ton problème eut de pareils avantages. /43383279...
Jadis, mystérieux, un problème bloquait Tout l’admirable procédé, l’oeuvre[n] grandiose Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs. Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez Défié Pythagore et ses imitateurs. Comment intégrer l’espace plan circulaire ? Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira Dedans un hexagone ; appréciera son aire Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra : Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l’orbe calculée[o] approchera ; Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur[p] De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle Professeur, enseignez son problème avec zèle.
Cette méthode présente ses limites pour la mémorisation d’un très grand nombre de décimales, où il semble plus opportun d’utiliser des méthodes comme laméthode des loci[107],[108].
En 2001, le mathématicien Robert Palais écrit l'articleπ is wrong!, dans lequel il estime que la constante est mal définie et devrait être posée comme le rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon, amenant sa valeur numérique à 6,2831853071795..., dans un souci de simplification des formules usuelles qui feraient intervenir plus souvent2π queπ[109]. Michael Hartl a repris ses arguments dans leTau Manifesto, dans lequel il propose de privilégier l'usage d'une nouvelle constante,τ=2π[110]. Depuis, des défenseurs deτ ont créé leTau day au 28 juin (6/28) en concurrence avec lePi day du 14 mars (3/14)[111].
↑Pi est appelé parfoisla constante d’Archimède en raison de la contribution d'Archimède au calcul de l'aire d'undisque ou d'unesphère, et parce qu'il a été le premier à donner une méthode d'encadrement de la valeur numérique de Pi.
↑Valeur décimale exprimée sur 16 chiffres significatifs, soit la précision maximale (pour pi) d’un nombre flottant en double précision au format binaire sur 64 bits standard de l'IEEE, qui permet de stocker entre 15 et 17 chiffres décimaux significatifs (selon principalement la valeur du premier chiffre décimal et éventuellement les suivants) ; ce format binaire est utilisé dans de nombreux langages de programmation, par exemple dans le typedouble des langages C, C++, Java, etc. ; il est aujourd’hui pris en charge nativement par la plupart des microprocesseurs modernes et des bibliothèques mathématiques.
↑Reinhold Remmert, « Le nombreπ », dansLes nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle de l’Antiquité aux recherches actuelles, Vuibert(ISBN2-7117-8901-2), p. 124.
↑ Daniel Leborgne,Calcul différentiel complexe, Presses universitaires de France, pp. 9-10« Le nombre pi, une propriété universelle ».
↑1R 7,23 :« Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. »
