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Pendule simple

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En physique, lependule simple est unemasse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil sans masse et inextensible[1], et oscillant sous l'effet de lapesanteur. Il s'agit du modèle dependule pesant le plus simple. Il est parfois appelépendule de gravité idéal et, par opposition, tout pendule de gravité réel est appelépendule pesant composé[1]. Par extension, on appelle aussi parfoispendule simple un dispositif dans lequel le fil inextensible est remplacé par une tige rigide de masse nulle pouvant tourner sans frottement dans un plan vertical autour de son extrémité fixe (liaison parfaite).

Pendule simple (laboratoire)
Pendule simple (laboratoire)

Il est possible d'approcher expérimentalement cet objet théorique en suspendant une masse de faible dimension au bout d'un fil (voir illustration). À cause de sa nature relativement simple, il se prête à des études théoriques poussées sur le plan mathématique. Ces études ont trouvé plusieurs applications enphysique théorique, notamment dans lessystèmes harmoniques simples.

Sous l'effet de son poids, lorsque le pendule est écarté de sa position d'équilibre (la verticale), le point matériel de massem se déplace sur un arc de cercle : l'effet du poids tendant constamment à ramener le pendule vers sa position d'équilibre stable, celui-ci se met à osciller.

Équations du mouvement

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Mise en équation

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Dans cette mise en équation, le freinage du pendule dû à l'air ambiant est négligé. On repère la position du pendule simple par l'angleθ{\displaystyle \theta } qu'il fait avec la verticale descendante, en choisissant une orientation positive. On notem{\displaystyle m} la masse du pendule,l{\displaystyle l} la longueur du fil etg→{\displaystyle {\vec {g}}} l'accélération due à la pesanteur (g≈{\displaystyle g\approx } 9,81 m/s2 pour une latitude de 45° et au niveau de la mer[2]).

Bilan des forces

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Dans ce modèle les autres forces sont négligées, notamment les forces de frottement (dans la réalité, le pendule s'arrête d'osciller sous l'action des frottements).

Principe fondamental de la dynamique

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Schéma du pendule simple représentant les forces en jeu et les vecteurs unitaires en coordonnées polaires

Une première façon d'établir l'équation du mouvement du pendule est d'appliquer leprincipe fondamental de la dynamique :ma→=∑F→i{\displaystyle m{\vec {a}}=\sum {\vec {F}}_{i}}.

Projections des forces dans le repère polaire : le poidsP→{\displaystyle {\vec {P}}} a pour intensité‖P→‖=m⋅g{\displaystyle \rVert {\vec {P}}\lVert =m\cdot g} et est orienté verticalement vers le bas. Sa composante normale, selone→l{\displaystyle {\vec {e}}_{l}}, vaut doncmgcos⁡θ{\displaystyle mg\cos \theta } et sa composante tangentielle−mgsin⁡θ{\displaystyle -mg\sin \theta } (car elle est orientée dans le sens opposé àe→θ{\displaystyle {\vec {e}}_{\theta }}).


On se place dans un système decoordonnées polaires avec un vecteur unitairee→l{\displaystyle {\vec {e}}_{l}} de même direction que le fil du pendule et un vecteure→θ{\displaystyle {\vec {e}}_{\theta }}, orthogonal àe→l{\displaystyle {\vec {e}}_{l}}. Dans cesystème de coordonnées, étant donné que la longueur du fill{\displaystyle l} est constante, l'accélération s'écrit[3]

a→=−lθ˙2e→l+lθ¨e→θ{\displaystyle {\vec {a}}=-l{\dot {\theta }}^{2}{\vec {e}}_{l}+l{\ddot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }},

avec:

θ˙=dθdt{\displaystyle \textstyle {\dot {\theta }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}},
θ¨=d2θdt2{\displaystyle \textstyle {\ddot {\theta }}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}}.
En projetant les deux forcesP→{\displaystyle {\vec {P}}} etT→{\displaystyle {\vec {T}}} dans le repère polaire, on obtient :
−mlθ˙2e→l+mlθ¨e→θ=mgcos⁡θe→l−mgsin⁡θe→θ−Te→l{\displaystyle -ml{\dot {\theta }}^{2}{\vec {e}}_{l}+ml{\ddot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }=mg\cos \theta {\vec {e}}_{l}-mg\sin \theta {\vec {e}}_{\theta }-T{\vec {e}}_{l}}

La projection selone→θ{\displaystyle {\vec {e}}_{\theta }} donne ainsi l'équation différentielle décrivant le mouvement :

lθ¨=−gsin⁡θ{\displaystyle l{\ddot {\theta }}=-g\sin \theta }

Soit, en notantω02=gl{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}} :

θ¨+ω02sin⁡θ=0{\displaystyle {\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\sin \theta =0}

Énergie mécanique du pendule

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La même équation peut être obtenue à partir de l'expression de l'énergie mécanique du pendule qui est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle (ici de pesanteur). La vitesse du pendule estv=lθ˙{\displaystyle v=l{\dot {\theta }}} (θ˙{\displaystyle {\dot {\theta }}} étant lavitesse angulaire du pendule). Par ailleurs, si l'on considère l'énergie potentielle nulle au point le plus bas (θ=0{\displaystyle \theta =0}), on peut écrire[4] :

Em=Ec+Ep=12ml2θ˙2+mgl(1−cos⁡θ){\displaystyle E_{m}=E_{c}+E_{p}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl(1-\cos \theta )}

Le pendule est soumis à deux forces : son poids, qui est uneforce conservative, et la tension du fil, qui n’est pas une force conservative mais dont le travail est nul car elle est toujours perpendiculaire au déplacement de la masse. L’énergie mécanique du système se conserve donc au cours du temps. En dérivant l'expression précédente par rapport au temps, on obtient donc :

dEmdt=ml2θ˙θ¨+mglθ˙sin⁡θ=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E_{m}}{\mathrm {d} t}}=ml^{2}{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}+mgl{\dot {\theta }}\sin \theta =0}

On exclut la solution évidente,θ˙=0{\displaystyle {\dot {\theta }}=0}, qui correspond au cas où le pendule est à l'arrêt. On divise alors parml2θ˙{\displaystyle ml^{2}{\dot {\theta }}}, ce qui permet de retrouver l'équation du mouvement vue précédemment :

θ¨+ω02sin⁡θ=0{\displaystyle {\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\sin \theta =0}, avecω02=gl{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}}

Puits de potentiel

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Puits de potentiel du pendule simple

Si on trace en fonction deθ le graphe de l'énergie potentiellemgl(1 − cosθ), on obtient la figure suivante. On a tracé en gris le niveau de l'énergie potentielle maximale2mgl.

Résolution

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Larésolution exacte des équations du mouvement du pendule simple fait appel auxfonctions elliptiques de Jacobi. À un niveau élémentaire, on se contente d'une résolution approchée pour de petites oscillations. Dans ce cas, en effet, on peut confondresin(θ) avecθ et on obtient alors l'équation :

θ¨+ω02θ=0{\displaystyle {\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0} avec, rappelons-le,ω02=gl{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}}

dont une solution (choisie de façon queθ s'annule pourt = 0) est :

θ(t)=θ0sin⁡(ω0t){\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\sin(\omega _{0}t)}, de périodeT0=2πω0=2πlg{\displaystyle T_{0}={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}.

Pour de plus grandes amplitudes, on peut utiliser pour la période laformule approchée de Borda :

T(θ0)=T0(1+θ0216){\displaystyle T(\theta _{0})=T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right)} ; avecθ0{\displaystyle \theta _{0}} en radians.

Pour une énergie mécanique supérieure à2mgl, le pendule tournoie de façon périodique. À grande vitesseV, lapériode de rotation est équivalente à2πlV{\displaystyle 2\pi {\frac {l}{V}}}.

Tension de la tige

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Une quantité physique dépend de la masse du pendule : la tension de la tige (pour sa mesure, on peut coller sur la barre unejauge de déformation étalonnée).

On a vu plus haut que :T=mgcos⁡θ+mlθ˙2{\displaystyle T=mg\cos \theta +ml{{\dot {\theta }}^{2}}} et l'on sait que, dans le cas du pendule oscillant :

mlθ˙2=2mg(cos⁡θ−cos⁡θ0){\displaystyle ml{{\dot {\theta }}^{2}}=2mg(\cos \theta -\cos \theta _{0})} , d'où
T=mg(3cos⁡θ−2cos⁡θ0){\displaystyle T=mg(3\cos \theta -2\cos \theta _{0})\,}

T varie entremg cos(θ0) etmg (3 – 2cos(θ0)). Par exemple, pourθ0 = 90°,T varie entre 0 et 3mg. Si on remplace la tige par un fil, il faut prévoir un fil résistant à3 kgf (kilogramme-force) pour une masse de 1 kg, sinon le fil casse et la masse part ensuite en trajectoire parabolique. L'expérience est facile à montrer et assez spectaculaire mais il faut trouver le fil qui ne s'étire pas trop avant de casser. Une mise en évidence facile de l'augmentation de la tensionT est d'utiliser un fil élastique. Mais il ne s'agit plus du tout du même problème et ce n'est plus du tout élémentaire (cfbotafumeiro).

Boucler la boucle

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T s'annule pour certaines conditions initiales de lancement différentes de celle proposée ci-dessus, voire devient négative, la tige supportant alors la masse. Il est classique de montrer que, lancée du point le plus bas avec une énergie2mgl, la masse arrivera au bout d'un temps infini au sommet du cercle (et le cas est intégrable aisément). On se doute que si la tige est remplacée par un fil (liaison unilatérale), la trajectoire ne sera pas : montée au sommet, puis chute à la verticale ; il y aura décrochage quandT sera nulle, c’est-à-dire pourθ tel quecos⁡(θ)=−23{\displaystyle \cos(\theta )=-{2 \over 3}}, ce qui correspond à un angle d'amplitude 132° et une hauteurh =l + 2/3l. L'expérience est facile à faire avec un pendule dont la masse est une pièce trouée, glissant d'abord sur un demi-cercle rigide, puis se retrouvant "dans l'air" attachée à son fil pour la deuxième partie du mouvement (ou évidemment avec la jauge de contrainte).

Alors que pour une tige, il suffit que l'énergieE dépasse2mgl pour que le pendule se mette à tourner (looping the loop), dans le cas d'un fil il faut uneénergie cinétique initiale supérieure à52mgl{\displaystyle {5 \over 2}mgl} afin que le fil reste tendu.

Grandes amplitudes et non-linéarité

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On introduit progressivement la non-linéarité :

  • d'abord en considérant le deuxième terme du développement du sinus.
  • puis en traitant le cas général, qui nécessite l'utilisation des fonctions elliptiques de JacobiK,sn,cn,dn.

Formule de Borda

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On considère donc l'équation différentielle approchée, dite deDuffing, obtenue en remplaçantsin(θ) parθ−θ36{\displaystyle \theta -{\theta ^{3} \over 6}} :

θ¨+glθ−g6lθ3=0{\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{l}}\theta -{\frac {g}{6l}}\theta ^{3}=0}

On montre alors que la période dépend de l'amplitude. La formule deBorda donne :

T=2πlg(1+θ0216){\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\theta _{0}^{2} \over 16}\right)}

Le terme négligé qui suit est11θ043072+O(θ06){\displaystyle {\frac {11\theta _{0}^{4}}{3072}}+O(\theta _{0}^{6})}. Cette formule suffit jusqu'àπ/2, à 3 % de précision (1 + 10/64 = 1,156 au lieu de 1,18). Il en existe plusieurs démonstrations :

d'où par la formule de Wallis :θ02ω2×12=ω02(θ02×12−θ046×1×32×4){\displaystyle \theta _{0}^{2}\omega ^{2}\times {\frac {1}{2}}=\omega _{0}^{2}\left(\theta _{0}^{2}\times {\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{0}^{4}}{6}}\times {\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)}, soitω2=ω02(1−θ028){\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {\theta _{0}^{2}}{8}}\right)}.

  • L'équation du mouvement du pendule est complètement intégrable grâce aux fonctions elliptiques, ce qui fait l'objet du paragraphe qui suit. Il suffit alors d'effectuer un développement à l'ordre souhaité de la solution exacte.

Cas pleinement non linéaire

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On considère le cas pleinement non linéaire. Écrivons laconservation de l'énergie mécanique

E=12ml2θ˙2+mgl(1−cos⁡θ){\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl(1-\cos \theta )}

sous la forme :

l2θ2˙+2gh=2gH{\displaystyle l^{2}{\dot {\theta ^{2}}}+2gh=2gH},

avech=l(1−cos⁡θ)=2lsin2⁡θ2{\displaystyle h=l(1-\cos \theta )=2l\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}} .

PosonsH=2lk2{\displaystyle H=2lk^{2}}, aveck=sin⁡θ02{\displaystyle k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}.

Il existe trois cas: k<1, k=1, k>1.

k<1 - le pendule oscille

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- cela signifie quesin⁡θ02<1{\displaystyle \sin {\tfrac {\theta _{0}}{2}}<1} etθ0<180∘,{\displaystyle \theta _{0}<180^{\circ },}h{\displaystyle h} varie entre0{\displaystyle 0} etH=l(1−cos⁡θ0){\displaystyle H=l(1-\cos \theta _{0})}. On a :

θ˙2=2gl(cos⁡θ−cos⁡θ0){\displaystyle {\dot {\theta }}^{2}=2{g \over l}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}.

Entre 0 etθ0{\displaystyle \theta _{0}}, on a

θ˙=2gl(cos⁡θ−cos⁡θ0){\displaystyle {\dot {\theta }}={\sqrt {2{g \over l}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}.

Un petit angle élémentairedθ{\displaystyle \mathrm {d} \theta } est parcouru pendant un intervalle de temps élémentaire

dt=l2gdθcos⁡θ−cos⁡θ0{\displaystyle \mathrm {d} t={\sqrt {\frac {l}{2g}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}.

La période totale des oscillations est donc

T=4l2g∫0θ0dθcos⁡θ−cos⁡θ0{\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}.

Les calculs doivent donner :

où

θ{\displaystyle \theta } en degréθ{\displaystyle \theta } en radian1+θ216{\displaystyle 1+{\theta ^{2} \over 16}}1+θ216+11θ43072{\displaystyle 1+{\theta ^{2} \over 16}+{11\theta ^{4} \over 3072}}TT0=2K(sin⁡(θ0/2))π{\displaystyle {T \over T_{0}}={2K(\sin(\theta _{0}/2)) \over \pi }}
100,1751,001 9041,001 9071,001 906
200,3491,007 6151,007 6691,007 667
300,5241,017 1351,017 4041,017 408
400,6981,030 4621,031 3121,031 343
500,8731,047 5961,049 6731,049 786
601,0471,068 5391,072 8451,073 182
701,2221,093 2891,101 2671,102 148
801,3961,121 8471,135 4561,137 493
901,5711,154 2131,176 0121,180 338
1001,7451,190 3861,223 6121,232 228
1101,9201,230 3671,279 0131,295 343
1202,0941,274 1561,343 0541,372 883
1302,2691,321 7521,416 6501,469 815
1402,4431,373 1561,500 7981,594 440
1502,6181,428 3681,596 5761,762 189
1602,7931,487 3881,705 1392.007 542
1702,9671,550 2151,827 7242,439 202
1803,1421,616 8501,965 646∞{\displaystyle \infty }

La fonction K admet également le développement :

K(k)=π2(1+k24+9k464+⋯+(2nn)216nk2n+⋯){\displaystyle K(k)={\pi \over 2}\left(1+{k^{2} \over 4}+{9k^{4} \over 64}+\cdots +{\frac {{2n \choose n}^{2}}{16^{n}}}k^{2n}+\cdots \right)}

où(2nn){\displaystyle {2n \choose n}} est uncoefficient binomial. En remplaçantk parsin⁡θ02{\displaystyle \sin {\theta _{0} \over 2}} et en se limitant aux deux premiers termes, on retrouve la formule de Borda.

k=1 - cas limite

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k=1{\displaystyle k=1} correspondant àθ0=π{\displaystyle \theta _{0}=\pi }.

où cosh et tanh sont respectivement le cosinus et la tangente hyperboliques.

E de la formuleθ(t){\displaystyle \theta (t)} montre que nous avons un temps infini pour entrer dans la verticale.

k>1 - le pendule tournoie

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v2 varie entre2g(H - 2l) et2gH. La période pour effectuer un tour est:

T=T01πkK(1k){\displaystyle T=T_{0}{1 \over \pi k}K\left({1 \over k}\right)}.

SiH est très grand, compte tenu du fait que K(0) vautπ/2, on pourra vérifier que la période tend vers2πlV{\displaystyle {2\pi l} \over V}.

Il est parfois judicieux de prendre pour période le temps mis pour faire deux tours. En effet, pourk légèrement inférieur à 1, le pendule effectue une trajectoire de longueur voisine de 4π. Avec cette convention, on a alorsT=2T01πkK(1k){\displaystyle T=2T_{0}{1 \over \pi k}K\left({1 \over k}\right)}[5].

On a également :

oùsn etdn sont desfonctions elliptiques de Jacobi.

Plan de phase

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Espace des phases du pendule simple.

On appelle orbite de phase la représentation paramétrée en temps du couple(θ(t),θ˙(t)){\displaystyle (\theta (t),{\dot {\theta }}(t))}, ou de fonctions monotones de celles-ci. Dans le graphe ci-dessous,θ est en abscisse etθ˙{\displaystyle {\dot {\theta }}} en ordonnée. On discerne :

  • la région dite d'oscillation (en noir), dite en œil d'Horus ou en œil en amande. Chaque orbite est parcourue dans le sens inverse au sens trigonométrique et tourne autour des points d'équilibre stables S, correspond aux valeurs 0, 2π, 4π, etc deθ0.
  • les deux régions de révolution (en rouge), soit positive (en haut), soit négative (en bas), correspondant au cas où le pendule tourne autour du point O.
  • la séparatrice, en bleu, correspondant au cas limite oùθ0 vautπ.
  • les points d'équilibre stable S déjà évoqués.
  • Les points d'équilibre instable I correspondant aux valeursπ, 3π, etc deθ0. Il faut un temps infini pour parcourir une orbite qui va d'un point I à un autre.

Il paraît clair dorénavant que si l'on établit un mécanisme quelconque qui peut soustraire ou ajouter une petite énergie au pendule au voisinage de l'élongationπ, on aura un phénomène difficile à prévoir même s'il est déterministe : exemple, placer un tout petit pendule accroché à la masse m : on a ainsi unpendule double ; les oscillations non linéaires de ce pendule, lesté d'un tel minuscule pendule, laissent pantois quand on les enregistre : Poincaré fut, avec Liapunov, un des premiers à considérer ce genre de problème ; puisBirkhoff ; puis l'école russe entraînée par la haute figure deKolmogorov, et puis celle deBogoliubov et de Krylov, puis Arnold,... jusqu'au moment où un article de 1971 de Ruelle et Takens vint suggérer que la situation était normale dès que l'espace des phases était à trois dimensions ou plus (on utilise parfois l'expression 1.5 degré de liberté).

Étude fine au voisinage de la séparatrice

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On s'intéresse au spectre de la vitesse juste au-dessus et au-dessous du niveau énergétique de laséparatrice. Sur cette séparatrice, le spectre est qualifié de modesoliton.

Rappel : la séparatrice et le mode soliton

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Dans le cas de la séparatrice, l'équation du premier ordre s'écrit :

θ2˙=2ω02(1+cos⁡θ)=4ω02cos2⁡θ2{\displaystyle {\dot {\theta ^{2}}}=2\omega _{0}^{2}(1+\cos \theta )=4\omega _{0}^{2}\cos ^{2}{\theta \over 2}}

avec:

La solution "soliton" est caractérisée par les équations suivantes :

Oscillations longues

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Si l'énergie du pendule est très légèrement inférieure à 2gH (1 -k2 << 1), la différence avec le mode soliton est infime. La valeur de la vitesse est imperceptiblement la même et le mouvement est donc quasi identique, sauf pour les moments où elle va s'annuler. La période est finie et vaut

T=T0−ln⁡(1−k2)+ln⁡(16)π{\displaystyle T=T_{0}{-\ln(1-k^{2})+\ln(16) \over \pi }},

valeur obtenue en utilisant la valeur approchée

K(k)=ln⁡(22)−12ln⁡(1−k){\displaystyle K(k)=\ln(2{\sqrt {2}})-{1 \over 2}\ln(1-k)}

au voisinage dek = 1.

Tournoiements longs

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De même, si l'énergie est très légèrement supérieure à 2gH (k2 - 1 << 1), le mouvement est quasi identique (mode soliton), sauf que la vitesse ne s'annule jamais et que l'élongation devient fonction monotone en quasi-escalier de marches de hauteur 2π en forme desigmoïdes (kinks en anglais), longues d'une période très grande mais finie :

T=T0−ln⁡(k2−1)+ln⁡162π{\displaystyle T=T_{0}{-\ln(k^{2}-1)+\ln 16 \over 2\pi }}.

On remarque l'apparition d'un 2 au dénominateur, qui est un artefact dû au fait que dans un cas, on calcule la période sur un aller et retour (soit 4π environ), alors qu'un tournoiement s'effectue sur 2π. C'est une des raisons d'examiner le "pendule à gazette" soigneusement.

Anharmonicité

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Vitesse du pendule simple au voisinage de la séparatrice.

On trouve donc quev2 ouh sont bien les mêmes fonctions de période

T=4ln⁡2−ln⁡|1−k2|ω0{\displaystyle T={4\ln 2-\ln |1-k^{2}| \over \omega _{0}}}.

Ci-dessous, l'allure dev2 au voisinage dek = 1. L'allure du graphe est la même, quek soit légèrement supérieur à 1 ou légèrement inférieur.

On caractérise le taux d'anharmonicité par l'étendue du spectre (discret puisque la fonction est périodique). A la limite :

Or, le spectre d'unpeigne de Dirac est un peigne de Dirac (Formule sommatoire de Poisson).

Le pendule simple est l'exemple le plus élémentaire qui montre :

  • à faible amplitude : la linéarisation et donc le monochromatisme
  • à amplitude critique : tous les harmoniques sont présents avec même amplitude.

Expérimentalement, on lance unpendule de Mach en tournoiement : les frottements faibles feront transiter d'un mode à l'autre. La projection de la boule sur l'axe portanth, elle, ne manifestera pas de transition : il y a continuité du phénomène.

Étude approfondie du spectre

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Le développement ensérie de Fourier des fonctions de Jacobisn,cn etdn sont connues. On en déduit un développement en série de Fourier de la vitesse angulaire.

Cask > 1 : soitN =T/T0, avecT la période pour effectuer deux tours, correspondant à une rotation de4π.N vaut2K(1/k)kπ{\displaystyle {2K(1/k) \over k\pi }}. Nous prendrons comme pulsation fondamentale du mouvementω=ω0N{\displaystyle \omega ={\omega _{0} \over N}}. On a :

θ˙(t)=2ω0N(1+a2cos⁡2ωt+a4cos⁡4ωt+⋯){\displaystyle {\dot {\theta }}(t)={2\omega _{0} \over N}(1+a_{2}\cos 2\omega t+a_{4}\cos 4\omega t+\cdots )}

avec:

Sik est très grand, le mouvement est un mouvement de rotation autour de O à très grande vitesse.q est très petit, et le mouvement s'effectue quasiment selon la loi

θ˙=2ω0N=4πT{\displaystyle {\dot {\theta }}={2\omega _{0} \over N}={4\pi \over T}}.

Quandk diminue,q augmente, de sorte que lesa2n prennent de l'importance. Lorsquek est très légèrement supérieur à 1,N est très grand,q≃e−πN{\displaystyle q\simeq {\rm {e}}^{\frac {-\pi }{N}}} et est très proche de 1. Le spectre est très étendu, puisque, pour n ~ N,an vaut encore environ 0,17.

Ci-dessous, les spectres de fréquence, par valeurs décroissantes dek, depuis une grande valeur jusqu'à une valeur légèrement supérieure à 1. En abscisse, on a porté les indices pairs 2n et en ordonnées les valeurs dea2n (on a prisa0 = 2) :

  • k
  • Grande valeur de k
    Grande valeur dek
  • Valeur intermédiaire
    Valeur intermédiaire
  • Valeur légèrement supérieure à 1
    Valeur légèrement supérieure à 1

Cask < 1 : la valeur deN est cette fois2K(k)π{\displaystyle {2K(k) \over \pi }}. La pulsation du mouvement est toujoursω=ω0N{\displaystyle \omega ={\omega _{0} \over N}}. On a :

θ˙(t)=2ω0N(a1cos⁡ωt+a3cos⁡3ωt+⋯){\displaystyle {\dot {\theta }}(t)={2\omega _{0} \over N}(a_{1}\cos \omega t+a_{3}\cos 3\omega t+\cdots )}

avec:

La situation oùk est très légèrement inférieur à 1 est comparable à celle oùk est très légèrement supérieur à 1. Lorsquek diminue,q décroît, et lorsquek est proche de 0, la pulsation prépondérante est celle qui correspond à ω.

Ci-dessous, les spectres de fréquence, par valeurs décroissantes dek, depuis une valeur légèrement inférieure à 1 jusqu'à une valeur très petite. En abscisse, on a porté les indices impairs 2n + 1 et en ordonnées les valeurs dea2n+1 :

  • k < 1 : spectre du pendule simple
  • Valeur légèrement inférieure à 1
    Valeur légèrement inférieure à 1
  • Valeur intermédiaire
    Valeur intermédiaire
  • Très petite valeur de k
    Très petite valeur dek

Voici également la représentation graphique deθ˙{\displaystyle {\dot {\theta }}} et la représentation des sommes partielles de Fourier correspondantes, d'une part pourk inférieur à 1, d'autre part pourk supérieur à 1 :

  • Série de Fourier du pendule simple
  • k < 1
    k < 1
  • k > 1
    k > 1

Pendule simple amorti

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Niveau élémentaire

En petites oscillations, le problème a déjà été étudié ; il est simple si le régime est deStokes ou si l'amortissement est de type friction solide.

Niveau élevé

Dans le cas où l'on prend en compte la résistance de l'air qui, aux vitesses en jeu, n'est pas en régime de Stokes (en -kv), mais en régime de fort nombre de Reynolds (en -kv2), comment tracer les séparatrices ? Comment trouver combien de tours fait le pendule avant d'osciller ?

Nombre de tours

il se trouve que ce problème est analytiquement soluble. Si

l1+4k2(1+e4nkπe−2kπ)<H<l1+4k2(1+e4nkπe+2kπ){\displaystyle {\frac {l}{1+4k^{2}}}(1+{\rm {e}}^{4nk\pi }{\rm {e}}^{-2k\pi })<H<{\frac {l}{1+4k^{2}}}(1+{\rm {e}}^{4nk\pi }{\rm {e}}^{+2k\pi })},

le pendule effectueran tours avant d'osciller.

Cette indication suffit à tracer une esquisse de portrait de phase assez correcte.

L'air

Le fait est que la pression de l'air joue un rôle, de l'ordre de quelques secondes par jour pour une pendule. Et il existe unminimum de la période en fonction de la pression.

Cela n'a plus vraiment d'importance aujourd'hui car les pendules sont systématiquement recalées sur l'émetteur GPS et plus tardpeut-être[évasif] sur l'émetteur du systèmeGalileo.

Histoire des sciences

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Analyse de Torricelli

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Dans le cas de petites oscillations,Evangelista Torricelli est certainement un des premiers à obtenir une mesure du coefficient2π en partant de considérations sur lachute ralentie.

On peut, pour considérer le mouvement du pendule d'amplitude3θ0, l'approximer par une chute sur un plan incliné de2θ0, de longueurBC=2lsin⁡θ0{\displaystyle BC=2l\sin \theta _{0}}, suivie d'une trajectoire horizontale de C en A, de longueur BC/2.

On aura ainsi le quart de la trajectoire. La périodeT dans cette cuvette BCAC'B' est :

T=4(2+1/2)lgsin⁡θ0sin⁡2θ0{\displaystyle T=4\left(2+1/2\right){\sqrt {\frac {l}{g}}}{\sqrt {\frac {\sin \theta _{0}}{\sin 2\theta _{0}}}}}

soit par approximation,T=2lg52{\displaystyle T=2{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {5}{\sqrt {2}}}} soit une approximation deπ :

π≈52=3,53{\displaystyle \pi \approx {\frac {5}{\sqrt {2}}}=3{,}53}.

Une autre approximation donne2+2=3,414{\displaystyle 2+{\sqrt {2}}=3{,}414}.

Mais mieux encore, Torricelli remarque à juste titre que

12mv2+mgh=cste{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+mgh=cste}, avech≈s22l{\displaystyle h\approx {\frac {s^{2}}{2l}}}

soit

v2+(g/l)s2=cste{\displaystyle v^{2}+(g/l)s^{2}=cste}.

Il lui suffit de vérifier que la fonction sinus satisfait l'équation et il a le résultat. En bon élève de Cavalieri, est-il capable de faire ce raisonnement avant 1647 ? La mystérieuse cassette ayant disparu à sa mort, on ne saura sans doute jamais rien de ses travaux ultimes.

En tout cas, son disciple (via Mersenne), Huygens, trouve la valeur de2π avant 1659, et montre que la courbe telle queh=s2/2l{\displaystyle h=s^{2}/2l} exactement est lacycloïde. Rappelons queDettonville publie sonTraité de la Roulette en.

Remarque : ces termes sont anachroniques :g n'existe pas encore, car il n'y aura des unités que tard dans le siècle mais on compare au temps de chute libre de la hauteur H = l : ce fameux rapport :π/(22)≈1,11{\displaystyle \pi /(2{\sqrt {2}})\approx 1{,}11}, qui intriguait Mersenne.

Isochronisme

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La section qui suit emprunte auxÉtudes galiléennes d'Alexandre Koyré.

Il pourrait paraître surprenant que Galilée et ses élèves n'aient pas vu ce phénomène[Lequel ?], alors que 4K devient infini lorsque les amplitudes pendulaires tendent vers 180°. Or, Galilée a affirmé que les oscillations du pendule étaientisochrones (voirpendule pesant). Il s'agit d'une cécité expérimentale, qui vaut la peine d'être mise en exergue.

  1. À la décharge de Galilée, il opérait vraisemblablement avec des fils (liaison unilatérale), donc le lancement sans vitesse initiale (chute « libre ralentie ») s'effectuait avec une amplitude inférieure à 90° : on pourra s'essayer[6] à retracer (sans regarder les valeurs tabulées) les valeurs de 4K. À 18 % près, 4K est constante dans ces conditions : Galilée a donc pu se laisser abuser.
  2. À la charge de Galilée, Koyré fait remarquer que c'est peu vraisemblable : si l'on dispose de plusieurs pendules identiques, on constate immédiatement le non-isochronisme : le déphasage est visible au bout de 10 oscillations. Or Galilée prétend avoir observé les oscillations sur de plus grands nombres. Mais il avait une thèse à défendre : l'isochronisme. Plus vraisemblablement, il a défendu des positions personnelles, philosophiques.
  3. Compte tenu de la résistance de l'air et du problème de la pseudo-période des oscillations amorties,
    Compte tenu du fait que ce même problème de la résistance de l'air a dû être écarté avec la chute libre,
    Compte tenu du fait qu'à 90°, un pendule à boule de liège et un pendule à boule d'acier ne se comportent pas de la même manière, il est vraisemblable que l'attitude de Galilée n'était pas malhonnête : les différences ont été portées sur le compte de la résistance de l'air.
  4. Le texte cité de Galilée dans leDialogo est donc à prendre avec précaution, ainsi que la conclusion qui en est tirée. Une preuve en est la lettre de Mersenne au jeune Huygens : après avoir dit grande merveille de Torricelli, la question est posée : qu'en est-il du facteur K(k)/K(0) (en notations modernes) ?

Notes et références

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  1. ↑a etbÉlie Lévy,Dictionnaire de Physique,Presses universitaires de France, Paris, 1988, page 596.
  2. ↑« Comptes Rendus de la 3ème Conférence Générale des Poids et Mesures »,Bureau International des Poids et Mesures,‎,p. 70(lire en ligne)
  3. ↑Jean-michelBauduin, ThierryBars et MélanieCousin,Physique Chimie MPSI, Dunod,, 830 p.(ISBN 978-2-10-076853-0,lire en ligne),p. 259
  4. ↑AlainGibaud et ThomasGibaud, « Étude des effets non linéaires observés sur les oscillations d'un pendule simple »,Bulletin de l'Union des Physiciens,vol. 101,no 891,‎,p. 2(lire en ligne)
  5. ↑VoirAlain Chenciner, « Connaissez-vous le pendule ? »,Gazette des mathématiciens,‎,p. 21-27(lire en ligne).
  6. ↑Grâce à la simulation présentée dansGeneviève Tulloue, « Période du pendule pesant », surUniversité de Nantes.

Articles connexes

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