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Enmathématiques, et plus précisément engéométrie algébrique, leparadoxe de Cramer (nommé d'aprèsGabriel Cramer, mais qui avait déjà été remarqué parMaclaurin) affirme que le nombre de points d'intersection de deux courbes de haut degré peut être supérieur au nombre de points nécessaires pour définir l'une de ces courbes. Le paradoxe résulte de deux théorèmes : lethéorème de Bézout, montrant que le nombre de points d'intersection des deux courbes est égal au produit de leurs degrés, et un théorème énoncé par Cramer, affirmant qu'une courbe de degrén est déterminée parn(n + 3)/2 points ; dès quen est égal ou supérieur à 3, ces deux valeurs sont apparemment contradictoires.
Unecourbe algébrique de degrén (ou moins) peut être représentée (dans unrepère affine) par uneéquation cartésienne de la forme
où l'on voit qu'il y a 3 coefficients pour les termes de degré 2, 4 coefficients pour ceux de degré 3, etc. ; on en déduit aisément (voirnombre triangulaire) qu'il y a au total (n+1)(n+2)/2 coefficients, et, puisque deux équations proportionnelles définissent la même courbe, que celle-ci est en définitive déterminée parn(n+3)/2 coefficients indépendants.
Si on se donne alorsp points(xi,yi) (avec1 ≤i ≤p) les courbes passant par ces points sont celles satisfaisant au système desp équations :
lequel possède des solutions non nulles tant quep < (n+1)(n+2)/2. Ainsi, les droites (correspondant àn=1) sont déterminées par deux points distincts et les coniques (correspondant àn=2) le sont par cinq points, puisque 5 = 2×(2+3)/2.
Dans un échange de lettres avecEuler[1],Cramer a développé les calculs précédents dans le cas descubiques et des quartiques (les courbes de degré 4), montrant qu'une cubique est déterminée par 9 points et une quartique par 14. Remarquant ensuite que deux cubiques se coupent en 9 points et deux quartiques en 16 (ce sont des cas particuliers duthéorème de Bézout, lequel affirme que deux courbes de degrésm etp se coupent en général enmp points[2]), il s'étonne de la contradiction : neuf points arbitraires définissent en effet une cubique unique, et, en général, puisque 14 points arbitraires définissent une quartique unique, il n'est pas possible d'en faire passer une (et encore moins plusieurs) par 16 points quelconques.
À la suite de cette correspondance, Euler a publié une analyse du paradoxe[3], montrant que les points d'intersection ne sont pas en réalité quelconques, et plus précisément que le système d'équations mentionné plus haut n'est pas, dans le cas de ces points, formé d'équations indépendantes. Il fallut cependant attendre le travail deJulius Plücker pour que soit donnée une résolution complète du paradoxe, utilisant la notion derang du système : dans le cas de points d'intersection de deux courbes de degrén, ce rang estd < n2, et donc sid des points d'intersection sont donnés, les autres peuvent être déterminés.
