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Oscillateur de Van der Pol

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L’oscillateur de Van der Pol est unsystème dynamique à temps continu à deuxdegré de liberté. Il est décrit par une coordonnéex(t) vérifiant uneéquation différentielle faisant intervenir deux paramètres : unepulsation propreω₀ et un coefficient de non-linéaritéε. Lorsqueε = 0, cet oscillateur se réduit à unoscillateur harmonique pur.

Il porte le nom deBalthasar van der Pol.

Histoire

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Cecircuit électronique à base detriode développe un régime d'oscillations forcées régies par l'équation de Van der Pol^[1] (les composants passifs sont : unerésistanceR, uncondensateurC et uncircuit couplé d'inductanceL et deinductance mutuelleM) . Lecircuit RLC monté en série est parcouru d'un couranti, et l'anode (ou plaque) de la triode reçoit un couranti_a, tandis que la tension aux bornes de lagrille de la triode est notéeu_g. L’oscillateur de Van der Pol est mis en régime forcé par unesource de tension alternativeE_s.

L’oscillateur de Van der Pol a été imaginé par le physicien néerlandaisBalthasar van der Pol alors qu'il était employé par les laboratoiresPhilips^[2]. Van der Pol découvrit que ce circuit contenant untube à vide développait des oscillations stables, qu'il appela « oscillation de relaxation^[3] » et que l'on désigne aujourd'hui plutôt comme descycles limites descircuits électriques. Lorsque ces circuits sont excités à une fréquence proche de celle du cycle limite il se crée uncouplage, c'est-à-dire que lesignal de commande impose sa fréquence au courant. Van der Pol et son collègue Van der Mark publièrent en 1927^[4] qu'à certainesfréquences de commande, il apparaissait unbruit irrégulier. Ce bruit se déclenchait toujours au voisinage des fréquences naturelles de couplage. Ce fut l'une des premières mises en évidence de l'existence d'unchaos déterministe^[5]^,^[6].

L’équation de Van der Pol a trouvé de nombreuses applications dans lessciences physiques etbiologiques. Par exemple, en biologie, Richard Fitzhugh^[7] etJinichi Nagumo^[8] ont développé une versionbidimensionnelle de ce système dynamique (modèle FitzHugh-Nagumo) pour décrire lepotentiel d'action desneurones. L’équation a aussi été utilisée ensismologie pour modéliser l’interaction des plaques sur unefaille^[9].

Oscillateur libre

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L'équation différentielle de l'oscillateur libre s'écrit :

{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}-\varepsilon \omega _{0}\left(1-x^{2}(t)\right){\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x(t)=0.

Lorsqueε ≠ 0, ce système dissipatif possède une dynamique régulière caractérisée par unattracteur en forme decycle limite, représenté sur la figure ci-dessous (où on a poséω₀ = 1) :

Oscillateur forcé

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Comportement chaotique de l'oscillateur avec forçage sinusoïdal.

Lorsque cet oscillateur est excité par un terme harmonique à la pulsationω, son équation différentielle devient :

{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}-\varepsilon \,\omega _{0}\left(1-x^{2}(t)\right){\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\ x(t)=\omega _{0}^{2}\,X\cos(\omega t)

Notes

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↑(en) K. Tomita, « Periodically forced nonlinear oscillators »,Chaos, Arun V. Holden, Manchester University Press,‎1986,p. 213–214(ISBN 0719018110).
↑M.L.Cartwright, « Balthazar van der Pol »,J. London Math. Soc.,n^o 35,‎1960,p. 367-376(lire en ligne).
↑B.Van der Pol, « On relaxation-oscillations »,The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci.,2^e série,n^o 7,‎1927,p. 978-992.
↑B.Van der Pol et J.Van der Mark, « Frequency demultiplication »,Nature,n^o 120,‎1927,p. 363-364.
↑T.Kanamaru, « Van der Pol oscillator »,Scholarpedia,2^e série,n^o 1,‎2007,p. 2202(lire en ligne).
↑Jean-MarcGinoux, « Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concepts »,Chaos,n^o 22,‎2012(DOI 10.1063/1.3670008)
↑R.FitzHugh,, « Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membranes »,Biophysics J.,n^o 1,‎1961,p. 445-466.
↑J. Nagumo, S.Arimoto et S.Yoshizawa, « An active pulse transmission line simulating nerve axon »,Proc. IRE,n^o 50,‎1962,p. 2061-2070.
↑J.Cartwright, V.Eguiluz, E.Hernandez-Garcia et O.Piro, « Dynamics of elastic excitable media »,International Journal of Bifurcation and Chaos Appl. Sci. Engrg.,n^o 9,‎1999,p. 2197–2202.