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Orthodromie

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Comparaison entre les routes loxodromique (jaune) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, sur la sphère terrestre.

Comparaison entre lesroutes loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, sur une carte enprojection de Mercator ; la route la plus courte est l'orthodromie.

Comparaison entre les routes loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, enprojection gnomonique ; la ligne droite est l'orthodromie.

L'orthodromie désigne le chemin le plus court entre deux points de lasurface terrestre considéréesphérique. C'est le plus petit des deuxarcs dugrand cercle joignant les deux points.

Pour les navigateurs, une route orthodromique désigne ainsi la route la plus courte à la surface du globe terrestre entre deux points. Elle est l'une desgéodésiques de cette surface.

Dans le langage courant, cette plus courte distance entre deux points sur Terre est désignée sous le nom de « distance à vol d'oiseau » entre ces deux points^[1].

Représentation sur une carte

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Sur unecarte enprojection de Mercator, l'orthodromie n'est généralement pas représentée par une ligne droite mais par une ligne courbe. En effet, une carte en projection de Mercator conserve les angles mais pas les distances, de sorte que c'est laloxodromie (qui coupe tous lesméridiens sous un angle constant) qui y sera représentée par une ligne droite.

Sur une carte enprojection gnomonique, l'orthodromie est représentée par une droite. Les cartes en projection gnomonique sont utilisées pour la navigation en latitudes élevées.

La courbe de l'orthodromie sur la carte Mercator est ouverte vers l'équateur, soit courbée vers le pôle Nord dans l'hémisphère nord, le pôle Sud dans l'hémisphère sud. Ceci signifie que pour une traversée est-ouest (et inversement) on va se rapprocher du pôle. Le point d'infléchissement de l'orthodromie s'appelle le sommet (on emploie aussi le mot françaisvertex, issu du latin). La détermination de la latitude du sommet (latitude maximale atteinte) est une grandeur intéressante à déterminer pour préparer une traversée circumpolaire maritime — dans l'hémisphère sud par conséquent, par exemple de laTasmanie aucap Horn — où il importe de ne pas trop gagner en latitude en raison du danger des glaces et de la banquise. La route alors choisie se décomposera en un tronçon d'orthodromie jusqu'à la latitude extrême que l'on ne veut pas dépasser, puis en un tronçon de loxodromie à cette latitude et enfin un autre tronçon d'orthodromie pour rejoindre la destination.

Formules relatives à l'orthodromie

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Les formules ci-dessous sont données en assimilant la Terre à une sphère de40 000 km de circonférence.

Distance orthodromique

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La distance orthodromique, ou distance du grand cercle, est la plus courtedistance entre deux points sur unesphère. La surface de laTerre étant approximativement sphérique, la distance dugrand cercle est généralement employée pour mesurer la distance entre deux points à sa surface, à partir de leurlongitude et leurlatitude, et couramment appelée dans ce contexte « distance à vol d'oiseau ».

SoitM la longueur de l'orthodromie exprimée enmilles marins entre $A(\varphi _{A},\lambda _{A})$ et $B(\varphi _{B},\lambda _{B})$ , où $\varphi$ désigne lalatitude et $\lambda$ lalongitude.M est donnée par la formule suivante, la valeur de l'arc cosinus étant en degrés :

M=60\arccos \,[\sin(\varphi _{A})\sin(\varphi _{B})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})]\,

Repérage d'un pointP de la sphère terrestre par sa latitudeφ et sa longitudeλ.

En effet, en prenant le rayon de la sphère pour unité, les coordonnées cartésiennes des pointsA etB encoordonnées sphériques^[2] exprimées en fonction de la latitude et de la longitude sont :

{\begin{cases}x_{A}=\cos(\lambda _{A})\cos(\varphi _{A})\\y_{A}=\sin(\lambda _{A})\cos(\varphi _{A})\\z_{A}=\sin(\varphi _{A})\end{cases}}

{\begin{cases}x_{B}=\cos(\lambda _{B})\cos(\varphi _{B})\\y_{B}=\sin(\lambda _{B})\cos(\varphi _{B})\\z_{B}=\sin(\varphi _{B})\end{cases}}

de sorte que le cosinus de l'arcAB, égal auproduit scalaire des deux vecteursOA etOB, vaut :

\left({\overrightarrow {OA}}{\bigg |}{\overrightarrow {OB}}\right)=\sin(\varphi _{A})\sin(\varphi _{B})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})

Le coefficient 60 devant l'arc cosinus provient du fait que le mille marin (1 852 m) correspond à une minute d'arc sur un grand cercle de la surface terrestre, et donc 60 milles marins correspondent à un degré. Par conséquent, si on exprimearccos(AB) en degrés, on obtient la distance en milles marins en multipliant cet arc cosinus par 60.

Exemple :La distance orthodromique entreParis (48° 51′ N, 2° 21′ E) etNew York (40° 43′ N, 74° 00′ O) est d'environ 3 149 milles marins, soit 5 838 km, la Terre étant ici modélisée par une sphère d'une circonférence de 40 033 km.

On trouve également une expression de cette distance à l'aide de la fonctionsinus verse (versin) ou de sa moitié (haversin):

D=R\operatorname {versin} ^{-1}\left(\operatorname {versin} (\varphi _{B}-\varphi _{A})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\operatorname {versin} (\lambda _{B}-\lambda _{A})\right)

D=R\operatorname {haversin} ^{-1}\left(\operatorname {haversin} (\varphi _{B}-\varphi _{A})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\operatorname {haversin} (\lambda _{B}-\lambda _{A})\right)

Gain en distance par rapport à la loxodromie

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Sur une courte distance, on peut confondre orthodromie et loxodromie. La distinction devient importante lors des voyages intercontinentaux, et surtout aux latitudes élevées.

À titre d'exemple, un voyage entre Paris et New York a une longueur loxodromique approximative de 6 079 km, et le parcours orthodromique permet de gagner 241 km. Le gain est de 1 618 km entre Paris et Tokyo, pour une longueur orthodromique de 9 712 km environ.

Route initiale (cap du tronçon de route initial)

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On calcule ici le cap de l'orthodromie reliant Paris à New York.Le parcours le long d'une orthodromie ne se faisant pas à cap constant, on découpe en général celle-ci en tronçons plus courts où l'on garde un cap constant, propre à chaque tronçon. Le cap du premier tronçon, égal à celui de New York depuis Paris, correspond à l'angleR_o en degrés entre le nord et la tangente enA à l'orthodromie, compté dans le sens des aiguilles d'une montre. Un cap de 0° correspond au nord, 90° à l'est, 180° au sud, -90° ou 270° à l'ouest. L'angleR_o est donné par la formule suivante^[3] :

\operatorname {cotan} R_{o}={\frac {\cos(\varphi _{A})\tan(\varphi _{B})}{\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}-{\frac {\sin(\varphi _{A})}{\tan(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}

En effet, en prenant lerayon terrestre comme unité, le vecteurT tangent en A à l'orthodromie est égal àOB - (OB|OA)OA, où (OB|OA) désigne leproduit scalaire des deux vecteurs. Ce vecteur appartient en effet au plan engendré parOA etOB, et est orthogonal àOA. Le vecteur unitaireu tangent enA auméridien et dirigé vers le nord a pour composantes $(-\cos(\lambda _{A})\sin(\varphi _{A}),-\sin(\lambda _{A})\sin(\varphi _{A}),\cos(\varphi _{A}))$ . Le vecteur unitairev tangent enA au parallèle et dirigé vers l'est a pour composantes $(-\sin(\lambda _{A}),\cos(\lambda _{A}),0)$ . Ces deux vecteurs sont orthogonaux àOA. On a alors :

\operatorname {cotan} R_{o}={\frac {(u,T)}{(v,T)}}={\frac {(u,OB)}{(v,OB)}}={\frac {\cos(\varphi _{A})\sin(\varphi _{B})-\sin(\varphi _{A})\cos(\varphi _{B})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})}{\cos(\varphi _{B})\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}

ce qui correspond à la formule initiale.

Une autre formule possible est la suivante :

\sin(R_{o})={\frac {\cos(\varphi _{B})\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}{\sin(AB)}}

oùsin(AB) est le sinus de l'arcAB. On trouve directement cette relation en appliquant laformule des sinus entrigonométrie sphérique au triangle ABN, où N est le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle enA estR_o et est opposé à l'arc $BN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{B}$ , et l'angle au pôle est $\lambda _{B}-\lambda _{A}$ opposé à l'arcAB. On a donc :

{\frac {\sin(AB)}{\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}={\frac {\cos(\varphi _{B})}{\sin(R_{o})}}

Exemple : Le premier cap à suivre pour aller de Paris (48° 51′ N, 2° 21′ E) à New York (40° 43′ N, 74° 00′ O) est de 291,79° ou -68,21°, soit une direction ouest-nord-ouest, alors que New York se situe pourtant à une latitude inférieure à celle de Paris. Ce cap est à comparer à celui de la loxodromie reliant les mêmes cités et qui est de 261,43° soit un cap constant proche de l'ouest.

L'orthodromie Paris-New York survole laManche puis laCornouailles britannique et le Nord de lamer Celtique avant de passer à un peu moins de 20 kilomètres de la pointe sud-ouest de l'Irlande ; en Amérique, la ligne traverse successivementTerre-Neuve, le Nord de l'île du Cap-Breton et le Nord-Ouest de la péninsule deNouvelle-Écosse avant de parvenir àNew York.

Coordonnées du vertex

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Les vertex sont les deux points du grand cercle passant parA etB de latitude extrême (maximale ou minimale). Les deux vertex sont diamétralement opposés et l'orthodromie y coupe leméridien à angle droit. Par conséquent, les tangentes respectives du méridien et du grand cercle porteur de l'orthodromie sont aussi perpendiculaires. On en conclut qu'au point du vertex l'orthodromie est une route est-ouest croisant une route nord-sud (le méridien). Cependant les vertex ne se situent pas nécessairement sur la trajectoire entreA etB. À titre d'exemple, le grand cercle portant l'orthodromie Paris-São Paulo a son vertex sur la position62° 46′ S, 123° 44′ O, soit à une latitude beaucoup plus méridionale et à une longitude plus à l'ouest que la position de la grande ville brésilienne (23° 33′ S, 46° 38′ O).

Il est naturellement possible de vérifier les caps de l'orthodromie depuis le vertex avec les formules reprises dans le paragraphe « route initiale ». Les coordonnées du vertex sont communiquées ci-dessous pour les relations Paris-New York et Paris-Tokyo. Les vertex d'une orthodromie coïncidant avec un méridien sont le pôle Nord et le pôle Sud.

Latitude

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Le cosinus de la latitude du vertex est donné par :

\cos(\varphi _{V})=\left|\sin(R_{o})\right|\cos(\varphi _{A})\,

Pour le voir, on applique laformule des sinus entrigonométrie sphérique au triangle AVN, où V est le vertex et N le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle en V est droit, et opposé à l'arc $AN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}$ . L'angle en A estR_o et est opposé à l'arc $VN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}$ . On a donc :

{\frac {\cos(\varphi _{A})}{\sin(\pi /2)}}={\frac {\cos(\varphi _{V})}{\left|\sin(R_{o})\right|}}

Exemple : Entre Paris (48° 51′ N, 2° 21′ E) et New York (40° 43′ N, 74° 00′ O), le vertex se situe à une latitude de 52,33°, supérieure à la latitude des deux villes.

Longitude

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La différence de longitude entre le point de départ et le vertex est donnée par :

\cos(\lambda _{V}-\lambda _{A})={\frac {\tan(\varphi _{A})}{\tan(\varphi _{V})}}

En effet, on applique laformule des cosinus entrigonométrie sphérique au triangleAVN, oùV est le vertex etN le pôle Nord. Dans ce triangle, l'angle enV est droit, et opposé à l'arc $AN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}$ . L'angle enA estR_o et est opposé à l'arc $VN={\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}$ . L'angle enN est $\lambda _{V}-\lambda _{A}$ et opposé à l'arc AV. On a donc :

\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}\right)=\cos(AV)\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}\right)+\sin(AV)\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)

et donc :

\sin(\varphi _{A})=\cos(AV)\sin(\varphi _{V})

On a également :

\cos(AV)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}\right)\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{A}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi _{V}\right)\cos(\lambda _{V}-\lambda _{A})

et donc :

\cos(AV)=\sin(\varphi _{A})\sin(\varphi _{V})+\cos(\varphi _{A})\cos(\varphi _{V})\cos(\lambda _{V}-\lambda _{A})

On obtient la relation voulue en remplaçant $\cos(AV)$ dans $\sin(\varphi _{A})=\cos(AV)\sin(\varphi _{V})$ par la valeur donnée dans la deuxième relation.

Exemple 1 : Entre Paris (48° 51′ N, 2° 21′ E) et New York (40° 43′ N, 74° 00′ O), l'écart de longitude entre Paris et le vertex est de 27,93°. Connaissant la longitude du point de départ, on déduit que les coordonnées complètes du vertex sont :52° 20′ N, 25° 35′ O, soit la longitude dudétroit de Danemark et à peu près la latitude de la ville deRugby, auRoyaume-Uni.

Exemple 2 : Entre Paris (48° 51′ N, 2° 21′ E) et Tokyo (35° 41′ N, 139° 45′ E), l'écart de longitude entre Paris et le vertex est de 63,57° et les coordonnées complètes du vertex sont :68° 45′ N, 65° 55′ E, soit un point situé enRussie européenne au nord de l'Oural septentrional, dans l'okrug deIamalie et non loin de lamer de Kara.

Autres modèles de la Terre

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La situation se complique considérablement si on prend pour la Terre un modèle autre que sphérique. D'une part, les définitions peuvent varier, mais la détermination explicite d'une orthodromie peut se révéler en général impossible à calculer.

On conserve généralement comme définition de l'orthodromie la courbe reliant deux points donnés et de longueur minimale^[4], mais on trouve aussi comme définition celle d'unegéodésique^[5]. Or les deux notions peuvent se révéler différentes. Par exemple, dans le cas d'unellipsoïde de révolution aplati, l'équateur est une géodésique mais pas une orthodromie, car si on prend deux points diamétralement opposés sur cet équateur, il est plus court de les joindre en passant par les pôles. Enfin, on peut aussi trouver comme définition de l'orthodromie la trace sur la surface terrestre du plan passant par le centre de la Terre et les deux points à relier. Cette définition permet une détermination plus facile de la courbe et dans le cas de notre ellipsoïde de révolution, l'équateur redevient dans ce cas une orthodromie si les deux points sont situés sur la ligne équatoriale^[6].

Notes et références

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Notes

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Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Distance du grand cercle »(voirla liste des auteurs).

Références

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↑« Pourquoi parle-t-on de distance "à vol d'oiseau" ? »,5 novembre 2020(consulté le13 septembre 2023).
↑Les angles utilisés en coordonnées sphériques peuvent être différents. Il convient d'adapter les formules.
↑Dans cette formule, on a pris la convention, usuelle en mathématiques, des longitudes croissantes vers l'est. Si on prend comme convention que les longitudes croissent vers l'ouest, il convient de changer le signe du second membre.
↑« 1Guide de construction d’éléments géométriques, utilisation de GeodEasy et ACADEMIC »[PDF],11 juillet 2009(consulté le22 juin 2020),p. 7.
↑« Géométrie de l'ellipsoïde »[PDF](consulté le22 juin 2020),p. 33.
↑Henri de Sarrauton, « Exposé du système de l'heure décimale »,Bulletin de la Société de géographie,7^e série,t. 19,‎1898,p. 99(lire en ligne).