Lesnombres transfinis sont desnombres exposés et étudiés par le mathématicienGeorg Cantor qui sont plus grands que tous les nombres finis. Cantor a introduit le terme « transfini » car ces nombres établissent une forme de hiérarchie dans lesensembles infinis. Ces notions participent à lathéorie des ensembles.
Un nombreentier naturel peut être utilisé pour décrire la taille d'unensemble fini, ou pour désigner la position d'un élément dans une suite. Ces deux utilisations correspondent aux notions decardinal et d'ordinal respectivement. Ces nombres ont des propriétés différentes selon que les ensembles auxquels ils s'appliquent sont finis ou infinis. Les cardinaux et ordinaux sont ditstransfinis dans le second cas. Leur existence est assurée par l'axiome de l'infini.
Le premier nombre ordinal transfini est noté (oméga), dernière lettre de l'alphabet grec. Il correspond au cardinal de l'ensemble des nombres entiers naturels, ordonné « naturellement ».
L'addition des ordinaux est associative mais pas commutative. On peut aussi définir unemultiplication et uneexponentiation, ce qui donne lieu à une arithmétique sur les nombres ordinaux transfinis.
DansZFC, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkelavecaxiome du choix, à tout ensemble correspond un cardinal, et les cardinaux sont deux à deux comparables ; dans ce cadre, le plus petit cardinal transfini est noté (Aleph zéro) ; c'est le cardinal de l'ensemble des nombres entiers naturels ; dans la définition devon Neumann,, c'est le même objet noté différemment en tant que cardinal.
Il y a une arithmétique des cardinaux, qui est différente de celle des ordinaux.
Lecardinal de l'ensemble des nombres réels est plus grand que, car il est impossible de faire correspondre un à un les entiers et lesréels.
Les nombres transfinis sont utilisés dans la nouvelleL'Aleph deJorge Luis Borges, dans le livre éponyme.
Sur les autres projets Wikimedia :
