Pour les articles homonymes, voirNombre multicomplexe.

Pour l’article homonyme, voirNombre multicomplexe (Fleury).

Enmathématiques, lesnombres multicomplexes de symbole${\displaystyle {\mathbb{C}}_n}$ (n ∈ ℕ) constituent une famille d’algèbreshypercomplexesassociatives etcommutatives de dimension2ⁿ sur ℝ.Ils ont été introduits parCorrado Segre en 1892.

Les algèbres multicomplexes ℂ_n se construisent parrécurrence, en posantℂ₀ = ℝ comme initialisation.En supposant l’algèbreℂ_{n−1|n ≥ 1} déjà construite, on introduit une nouvelleunité imaginairei_n ∉ ℂ_n−1 vérifianti²
_n = −1 et commutant avec les précédentes unités imaginairesi₁, …, i_n−1 : on définit alorsℂ_n = {x +y i_n | (x,y) ∈ ℂ_n−1²}.

Pourn ≥ 1,1 eti_n commutent avec tout nombre de ℂ_n−1, etVect(1,i_n) ∉ ℂ_n−1 (cari_n ∉ ℂ_n−1).La relationℂ_n = {x +y i_n | (x,y) ∈ ℂ_n−1²} peut donc se réécrire sous la forme duproduit tensoriel d'algèbresℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ Vect(1,i_n).En outre, puisquei²
_n = −1, on aVect(1,i_n) ≅ ℂ, d’oùℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ ℂ.ℝ étant l’élément neutre de ⊗_ℝ, et donc sonproduit vide, on a donc :

${\displaystyle \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},{\mathbb{C}}_n=\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\cdots {\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}}}={\stackrel{n}{⨂}}_{\mathbb{R}}\mathbb{C}.}$

• Le nombre de composantes doublant à chaque rangn etℂ₀ = ℝ étant de dimension 1 sur ℝ, ℂ_n est de dimension2ⁿ sur ℝ.
• Chaque ℂ_n est unealgèbre de Banach.
• Pourn ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, ℂ_n possède desdiviseurs de zéro :
  • poura ≠b, on ai_a−i_b ≠ 0,i_a+i_b ≠ 0 et(i_a−i_b)(i_a+i_b) = i²
    _a−i²
    _b = 0 ;
  • poura ≠b, on ai_ai_b−1 ≠ 0,i_ai_b+1 ≠ 0 et(i_ai_b−1)(i_ai_b+1) = i²
    _ai²
    _b−1 = 0.

• ℂ_n ≅𝓜ℂ_2ⁿ.

• Pourn ≥ 1, ℂ₀, …, ℂ_n−1 sont dessous-algèbres de ℂ_n.
• Pourk ≤n, ℂ_n est de dimension2^n−k sur ℂ_k.
• Pourn ≥ 1, chaque unitéi_k vérifiei²
  _k = −1, donc ℂ_n contientn copies duplan complexe.
• Pourn ≥ 2 eta ≠b, chaque nombrej_a,b = i_ai_b = i_bi_a vérifiej_a,b² = 1, donc ℂ_n contientn(n−1)/2 copies duplan des complexes déployés.

Les casn ≤ 3 ont des noms consacrés :

• ℂ₀ :nombre réel (ℝ) ;
• ℂ₁ :nombre complexe (ℂ) ;
• ℂ₂ :nombre bicomplexe ;
• ℂ₃ : nombre tricomplexe.

• (it)Corrado Segre,The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities,Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
• (en) Griffith Baley Price,An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions,Marcel Dekker, New York, 1991.

v ·m Notion denombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \mathbb{N}}$) Entier relatif (${\displaystyle \mathbb{Z}}$) Nombre décimal (${\displaystyle \mathbb{D}}$) Nombre rationnel (${\displaystyle \mathbb{Q}}$) Nombre réel (${\displaystyle \mathbb{R}}$) Nombre complexe (${\displaystyle \mathbb{C}}$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \mathbb{H}}$) Octonion (${\displaystyle \mathbb{O}}$) Sédénion (${\displaystyle \mathbb{S}}$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle {\mathbb{C}}_2}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle {\mathbb{C}}_n}$ ${\displaystyle \mathcal{M}{\mathbb{C}}_n}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle {\mathbb{Q}}_p}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Entier surnaturel Entier profini Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \sqrt{2}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante d’Euler (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v ·m Nombres hypercomplexes
Associatifs, commutatifs	1D Nombre réel ℝ 2D Nombre complexe ℂ Nombre complexe déployé${\displaystyle \mathbb{C}╲}$ Nombre dual 𝔻 4D Tessarine 𝓣 (≅Nombre bicomplexe ℂ2) n D Nombre multicomplexe 𝓜ℂn 2n D Nombre multicomplexe ℂn
Associatifs, non commutatifs	4D Quaternion ℍ Coquaternion${\displaystyle \mathbb{H}╲}$ 8D Biquaternion 𝔹 Biquaternion de Clifford${\displaystyle \mathbb{B}╲}$ Quaternion dual (en) 𝔻ℍ 2n D Construction de Cayley-Dickson Algèbre de Clifford classification représentation
Non associatifs, non commutatifs	4D Quaternion hyperbolique 𝕄 8D Octonion 𝕆 Octonion déployé${\displaystyle \mathbb{O}╲}$ 16D Sédénion 𝕊
Surℤ	2D Entier de Gauss ℤ[i] Entier d'Eisenstein ℤ[j] 4D Quaternions de Hurwitz${\displaystyle \tilde{\mathbb{H}}(\mathbb{Z})}$
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).

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