Cet article concerne l'opération arithmétique. Pour les autres significations, voirMultiplication (homonymie).
La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4.
Lamultiplication est l'une des quatreopérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, lasoustraction et ladivision. Selon la norme NF EN ISO 80000-2[1],[2], la multiplication de deux nombres et se dit indifféremment en français « multiplié par » ou « fois » ; cette opération peut être notée,, ou. Son résultat s'appelle leproduit, les nombres que l'on multiplie sont lesfacteurs.
La multiplication de deux nombres entiers peut être vue comme une addition répétée plusieurs fois. Par exemple, « 3 fois 4 » peut se voir comme la somme de trois nombres 4 ; « 4 fois 3 » peut se voir comme la somme de quatre nombres 3 :
,
,
avec :
.
La multiplication permet de compter des éléments rangés dans unrectangle ou de calculer l'aire d'un rectangle dont on connaît la longueur et la largeur. Elle permet aussi de déterminer un prix d'achat connaissant le prix unitaire et la quantité achetée.
Selon la norme NF EN ISO 80000-2[1],[2], la multiplication de deux nombres et se dit indifféremment en français « multiplié par » ou « fois » ; cette opération peut être notée
la multiplication est aussi notée par un point, en hauteur médiane ou basse :5 ⋅ 2 ou5 . 3 ;
enalgèbre, une multiplication impliquant desvariables est souvent écrite par une simplejuxtaposition (par exemplexy pour « x foisy » ou 5x pour « cinq foisx »), aussi appeléemultiplication implicite. Cette notation peut aussi être utilisée pour des quantités qui sont entourées deparenthèses (e.g., 5(2) ou (5)(2) pour cinq fois deux). Cet usage implicite de la multiplication peut créer des ambiguïtés quand laconcaténation des variables correspond au nom d'une autre variable, ou quand le nom de la variable devant la parenthèse peut être confondu avec le nom d'une fonction, ou pour la détermination de l'ordre des opérations.
enmultiplication vectorielle, le symboles croix et point ont des sens différents. Le symbole croix représente leproduit vectoriel de deuxvecteurs de dimension 3, fournissant un vecteur comme résultat, alors que le symbole point représente leproduit scalaire de deux vecteurs de même dimension (éventuellement infinie), fournissant unscalaire ;
enprogrammation informatique, l'astérisque (comme dans5*2) est la notation la plus courante. Cela est dû au fait qu'historiquement les ordinateurs étaient limités à un petitjeu de caractères (commeASCII ouEBCDIC) n'ayant pas de symbole comme⋅ ou×, alors que l'astérisque se trouve sur tous les claviers. Cet usage trouve ses origines dans le langage de programmationFORTRAN.
Multiplier un entier par un autre, c'est ajouter cet entier à lui-même plusieurs fois. Ainsi multiplier 6 par 4, c'est calculer 6 + 6 + 6 + 6, et le résultat de 6 × 4 se dit« six multiplié par quatre »[4], ce qui revient à dire« quatre fois six ». On appelle leproduit de 6 par 4 le résultat de cette opération. Dans cette multiplication, 6 est appelé lemultiplicande, car c'est lui qui est répété, et 4 est appelé lemultiplicateur, car il indique combien de fois 6 est répété.
Cependant, puisque la multiplication d'entiers estcommutative, à savoir ici 6 multiplié par 4 (6 + 6 + 6 + 6) est égal à 4 multiplié par 6 (4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4), cette distinction est peu nécessaire, et les deux nombres sont appelésfacteurs du produit, qui peut être noté indifféremment 6 × 4 ou 4 × 6. De même, 6 × 4 (ou 4 × 6) peut se lire indifféremment« quatre fois six » (comme expliqué ci-dessus) ou« six fois quatre ». L'ordre usuel du multiplicande et du multiplicateur dépend du pays sans que cela ait une incidence sur la notation[5].
Dans les livres scolaires d'arithmétique des deux derniers siècles, on lisait plutôt « multiplié par » à l'origine. « Fois » était ressenti comme moins précis (comme « et » pour l'addition).[réf. nécessaire]
Il n'est pas efficace, à long terme, de voir la multiplication comme une addition répétée. Il est donc nécessaire d'apprendre le résultat de la multiplication de tous les entiers de 1 à 9. C'est l'objet de latable de multiplication.
La multiplication dans les entiers vérifie les propriétés suivantes :
on peut changer l'ordre des facteurs sans changer le résultat final : a × b = b × a. On dit que la multiplication estcommutative ;
quand on doit multiplier trois nombres entre eux, on peut, au choix, multiplier les deux premiers et multiplier le résultat obtenu par le troisième facteur ou bien multiplier entre eux les deux derniers puis multiplier le résultat par le premier nombre : (a × b) × c = a × (b × c). On dit que la multiplication estassociative ;
quand on doit multiplier une somme (ou une différence) par un nombre, on peut, au choix, calculer d'abord la somme et multiplier le résultat par le nombre ou bien, multiplier d'abord chaque terme de la somme par ce nombre et ensuite effectuer la somme : (a + b) × c = (a × c) + (b × c). On dit que la multiplication estdistributive pour l'addition car on a distribué c aux deux termes de la somme.
Les parenthèses indiquent l'ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées. En pratique, pour éviter de traîner trop de parenthèses, on utilise, par convention, la règle de priorité suivante : les multiplications s'effectuent toujours avant les additions. Ainsi, dans l'écriture 4 + 5 × 2, il faut lire 4 + (5 × 2), c'est-à-dire 4 + 10 = 14 et non (4 + 5) × 2 qui aurait valu 18.
La dernière propriété a trait aux comparaisons. Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et qu'on les multiplie par le même nombre strictement positif, les résultats seront rangés dans le même ordre. Si a < b alors a × c < b × c. On dit que la multiplication par desentiers positifs est compatible avec l'ordre.
Le symbole utilisé pour la multiplication est la croix × (a × b) mais on trouve aussi, dans des calculs avec des lettres le point (a b) ou même rien (ab) s'il n'y a pas d'ambiguïté possible.
Il existe deux opérations un peu particulières :
la multiplication par 1 qui ne change pas le facteur : 1 × a = a × 1 = a. On dit que 1 est unélément neutre pour la multiplication ;
la multiplication par 0 qui donne toujours 0 : 0 × a = a × 0 = 0. on dit que 0 est unélément absorbant pour la multiplication.
Pour multiplier entre eux desnombres décimaux, on utilise le fait que les produits peuvent être effectués dans n'importe quel ordre. Si l'on cherche à multiplier, par exemple, 43,1 par 1,215, on effectue les remarques suivantes
De là naît la règle : pour multiplier entre eux deux décimaux, on compte le nombre de chiffres situés après la virgule dans les deux nombres et on en fait la somme. On effectue ensuite le produit, sans tenir compte de la virgule. Enfin, on place la virgule dans le résultat final en laissant à droite autant de chiffres que la somme que l'on a obtenue précédemment.
3,15 × 1,2 = ? (on compte 3 chiffres après la virgule, 2 dans le premier nombre et 1 dans le second nombre)
315 × 12 = 630 × 6 = 3 780
3,15 × 1,2= 3,780 = 3,78.
Cette règle fonctionne car le calcul « sans tenir compte de la virgule » revient à multiplier 3,15 par 100, pour obtenir 315 et multiplier 1,2 par 10 pour obtenir 12. Ces multiplications doivent être compensées à la fin du calcul par la multiplication inverse, donc une division, par 100 et par 10 : 3 780 devient alors 378 puis 3,78, donnant le résultat de l’opération demandée.
Illustration de la multiplication dans les nombres négatifs. Dans la zone bleue, le produit est positif, dans la zone rouge le produit est négatifIllustration de la multiplication de nombres relatifs sur ladroite numérique. Une multiplication par un nombre négatif peut être vue comme un changement de sens duvecteur denorme égale à lavaleur absolue du produit des facteurs.
On peut voir le produit 4 fois (–6) comme la somme de (–6) répété 4 fois soit (–6) + (–6) + (–6) + (–6) = –24.
On peut aussi voir le produit (–4) fois (6) comme un nombre 6 que l'on ôte 4 fois. Ainsi, faire le produit de (–4) fois 6 c'est ôter 24, que l'on écrit (–4) × 6 = –24.
Enfin, on peut voir le produit (–4) fois (–6) comme le nombre (–6) que l'on enlève 4 fois, il s'agit donc d'enlever –24. Enlever –24 consiste à ajouter 24 donc(–4) × (–6) = 24.
Ces exemples expliquent la règle concernant les nombres ayant un signe. Pour effectuer le produit de deux nombres signés, on effectue le produit de leurs valeurs absolues et on affecte au résultat le signe – si les signes des deux facteurs sont différents, et le signe plus (+) si les deux facteurs ont même signe.
Ces règles se résument ainsi
moins parmoins égaleplus
moins parplus égalemoins
plus parmoins égalemoins
plus parplus égaleplus
La multiplication dans lesentiers relatifs possède les mêmes propriétés que la multiplication dans les entiers naturels (elle est commutative, associative, distributive pour l'addition) à une exception près : elle ne conserve pas toujours l'ordre : si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et si on les multiplie par un entier strictement positif, l'ordre est conservé
–2 < 3 et (–2) × 4 < 3 × 4
mais si on le multiplie par un nombre strictement négatif, l'ordre est inversé
Multiplier entre elles deux fractions, c'est multiplier entre eux les numérateurs et les dénominateurs :
Dans l'ensemble ℚ desnombres rationnels, la multiplication conserve les propriétés déjà énoncées avec la même difficulté concernant l'ordre et la multiplication par un nombre négatif.
Dans l'ensemble desnombres rationnels, et dans l'ensemble desnombres réels, on retrouve les propriétés suivantes pour la multiplication :
Associativité
Pour tous a, b, c, a ×(b × c) = (a × b) ×c
Commutativité
Pour tous a et b, a × b = b × a
Élément neutre
Pour tout a, a × 1 = 1 × a = a
Inverse
Pour tout a non nul, il existe a−1 tel que a × a−1 =1
Distributivité
Pour tous a, b, et c, (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Élément absorbant
pour tout a, a × 0 = 0 × a = 0
Ordre
Pour tout a > 0 et tous b et c, si b < c alors ab < ac
Ces propriétés associées à celles que possède l'addition sur ces ensembles font de ℝ et ℚ, munis de l'addition et de la multiplication, des ensembles spéciaux appelés descorps ordonnés.
Excepté lamultiplication égyptienne et sa varianterusse qui utilisent un principe binaire, les techniques de multiplication qui se sont développées au cours des siècles, utilisent le système décimal et nécessitent pour la plupart de connaitre latable de multiplication des nombres de 1 à 9 ainsi que le principe de distributivité. Ainsi pour multiplier 43 par 25, on écrit que43 × 25 = 43 × (2 dizaines + 5 unités). Ensuite, on distribue les différents termes
Les différentes méthodes consistent à présenter ce calcul de manière pratique. On trouve ainsi laméthode chinoise qui commence par les poids forts, c'est-à-dire la multiplication des chiffres les plus à gauche. Cette méthode est celle utilisée dans la multiplication avecboulier. Mais d'autres méthodes sont possibles comme celle couramment utilisée dans les écoles consistant à« poser la multiplication »[6] en multipliant 43 d'abord par 5 puis par 2 dizaines et faire la somme.
Multiplication posée des nombres entiers (couramment utilisée dans les écoles)
La mémorisation des tables pour des nombres compris entre 6 et 9 se révèle parfois difficile.Georges Ifrah signale un moyen simple de multiplier avec les doigts des nombres compris entre 6 et 9[8]. Sur chaque main, on dresse autant de doigts que d'unités dépassant 5 pour chacun des nombres concernés. Ainsi pour multiplier 8 par 7 on dresse3 doigts de la main gauche et deux doigts de la main droite. La somme des doigts dressés donne le nombre de dizaines et le produit des doigts repliés donne le nombre d'unités à ajouter. Ainsi, dans l'exemple, il y a5 doigts dressés donc5 dizaines. Il y a2 doigts pliés dans une main et3 doigts pliés dans l'autre ce qui donne2 × 3 = 6 unités soit 7 × 8 = 56.
L'explication mathématique fait appel encore une fois à la distributivité : si on appelle x et y le nombre de doigts repliés, les nombres de doigts dressés sont a = 5 – x et b = 5 – y et l'on effectue la multiplication de 10 – x par10 – y :
(10 – x)(10 – y) = 10(10 – x) – (10 – x) y = 10(10 – x ) – 10y + xy = 10 (10 – x – y) + xy = 10(a + b) + xy.
Une technique analogue existe pour multiplier entre eux des nombres compris entre 11 et 15. On ne se sert alors que des doigts dressés. Le nombre de doigts dressés donne le nombre de dizaines à ajouter à 100, et le produit des doigts dressés donne le nombre d'unités à ajouter.
Dans les tablettesbabyloniennes, il existe un idéogramme pour représenter la multiplication A – DU[9].
Dans leséléments d'Euclide, la multiplication est vue comme le calcul d'uneaire. Ainsi, pour représenter le produit de deux nombres, on parle d'unrectangle ABCD, dans lequel les côtés AB et AD représentent les deux nombres. Le produit des deux nombres est alors appelé lerectangle BD (sous-entendu l'aire du rectangle decôtés AB et AD).
Diophante, lui, n'utilise pas de symbole spécial pour la multiplication, plaçant les nombres côte à côte. On retrouve cette même absence de signe dans lesmathématiques indiennes, les nombres sont souvent placés côte à côte, parfois séparés par un point ou parfois suivis de l'abréviation bha (pour bhavita, le produit)[9].
En Europe, avant que le langage symbolique ne soit définitivement admis, les opérations s'exprimaient en phrases écrites en latin. Ainsi 3 fois 5 s'écrivait-il 3 in 5.
AuXVIe siècle, on voit apparaître le symbole M utilisé parStifel etStevin. Lacroix de St André × est utilisée pour désigner une multiplication parOughtred en 1631 (Clavis mathematicae). Mais on trouve à cette époque d'autres notations, par exemple une virgule précédée d'un rectangle chezHérigone, « 5 × 3 » s'écrivant « ☐ 5 , 3 : ».Johann Rahn lui utilise le symbole * en 1659. Le point est utilisé parGottfried Wilhelm Leibniz qui trouve la croix trop proche de la lettre x[9]. À la fin duXVIIe siècle, il n'existe toujours pas de signe établi pour la multiplication, Dans une lettre à Hermann, Leibniz précise que la multiplication n'a pas besoin de s'exprimer seulement par des croix mais que l'on peut utiliser aussi des virgules, des points ou des espaces[10].
Ce n'est qu'au cours duXVIIIe siècle que se généralise l'usage du point pour la multiplication dans le langage symbolique[9].
Puisque la multiplication est associative, il est inutile de définir une priorité sur les multiplications à effectuer. Il reste cependant à définir comment écrire le produit d'un nombre indéterminé de facteurs.
signifie que l'on a multipliénfois le facteurapar lui-même. le résultat est notéanet se lit « aà lapuissancen ».
signifie que l'on a fait le produit de tous les entiers de 1 àn, le résultat est notén! et se lit « factoriellen ».
Si est une suite de nombres,signifie que l'on a fait le produit de cesnfacteurs entre eux. Ce produit est aussi noté
Si l'expression a un sens, la limite du produit précédent quandntend vers l'infini est appeléeproduit infini et se note
