Enthéorie des probabilités, lamoyenne empirique d’unéchantillon devariables aléatoiresréelles ouvectorielles${\displaystyle (X_1,..,X_n)}$ est définie par lamoyenne arithmétique des variables :${\displaystyle {\overline{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i}$.

Cette moyenne constitue ainsi unestimateur sans biais de l’espérance pour laloi commune des variables${\displaystyle X_1,...,X_n}$. Lorsque cette loi a unevariance finie${\displaystyle {\sigma }^2}$, la moyenne empirique a pour variance${\displaystyle {\sigma }^2/n}$, ce qui en fait aussi un estimateurconvergent. Elle permet aussi de définir d’autres estimateurs, comme celui de la variance${\displaystyle S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}$ ou de son équivalent sans biais${\displaystyle {S^{\ast }}^2=\frac{n}{n-1}{S}^2}$.

La moyenne empirique est très utilisée en application duthéorème central limite, qui stipule qu’elle converge en loi vers laloi normale dont l’espérance et la variance sont celles des variables${\displaystyle X_1,...,X_n}$. Elle donne lieu ainsi à l’expression d’intervalles de confiance. Dans le cas où les variables${\displaystyle X_1,...,X_n}$ suivent déjà la loi normale ou une autreloi stable, la moyenne empirique suit le même type de loi.

• Gilbert Saporta,Probabilités, analyse de données et statistique §12.2.1 « Étude de la statistique${\displaystyle \overline{X}}$ », Éditions TECHNIP, Paris 2011.

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