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Moyenne

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Construction de différentes moyennes de deux nombres réels positifs dans untrapèze.
Construction de différentes moyennes de deux nombres réels positifs sur un demi-cercle[1].

Enmathématiques, lamoyenne est un outil de calcul permettant de résumer une liste de valeursnumériques en un seulnombre réel (oucomplexe), indépendamment de l’ordre dans lequel la liste est donnée. À défaut de précision supplémentaire, le terme désigne lamoyenne arithmétique, qui se calcule comme lasomme des termes de la liste divisée par son nombre de termes[2]. D’autres moyennes peuvent être plus adaptées selon le contexte. Dans tous les cas, la moyenne est intermédiaire entre les valeurs extrêmes de la liste.

La moyenne est un des premiersindicateurs statistiques pour une liste de nombres (unesérie statistique). Elle est couramment utilisés pour estimer un niveau global, par exemple celui d’une classe, à partir des notes obtenues par les élèves à un examen.

Lorsqu'une certaine quantité est globalement distribuée à une population, la moyenne des quantités reçues individuellement exprime la quantité que chacun aurait reçue avec une répartition à parts égales.

La notion de moyenne s’étend auxfonctions avec lavaleur moyenne, engéométrie classique avec lebarycentre et enthéorie des probabilités avec l’espérance d’unevariable aléatoire.

Motivation

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Valeur intermédiaire

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La notion de moyenne est historiquement reliée à celle de valeur intermédiaire, appelée aussimédiété[3]. Étant donnés deux nombresa etb, comment choisir une valeurc pour quea soit àc ce quec est àb ? La réponse diffère selon l’opération choisie pour aller d’un nombre à l’autre.

Par exemple, pour aller de 2 à 18, on peut ajouter deux fois 8, avec une étape en 10, ou multiplier deux fois par 3, avec une étape en 6. Le premier cas décrit unemoyenne arithmétique (10), qui s’obtient par la fraction2+182{\displaystyle {\frac {2+18}{2}}}. Le second cas est unemoyenne géométrique (6) qui s’obtient avec laracine carrée2×18{\displaystyle {\sqrt {2\times 18}}}.

Lesidentités remarquables usuelles permettent de montrer rapidement que la moyenne géométrique de deux nombres positifs est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique.

Une démonstration de l’inégalité arithmético-géométrique sur deux valeurs

Sia etb sont deux réels tels quea <b, de l'identité de Legendre

4ab=(a+b)2−(a−b)2{\displaystyle 4ab=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}

on déduit

ab<(a+b)24{\displaystyle ab<{\frac {(a+b)^{2}}{4}}}

et on conclut en appliquant la fonctionracine carrée (qui est strictement croissante).

Égalisation

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Une autre manière de définir ces moyennes est de cumuler les nombres choisis puis de chercher comment on peut obtenir le même résultat en cumulant plusieurs fois la même valeur. Tout dépend alors de la procédure de cumul. Avec une addition, on trouve 2+18=20, qu’on aurait pu obtenir en posant 10+10=20. Avec une multiplication, on trouve 2×18=36, qu’on aurait pu obtenir avec 6×6=36.

D’autres procédures de cumul sur deux nombresa etb permettent de définir lamoyenne harmonique2aba+b{\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}} et lamoyenne quadratiquea2+b22{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2} \over 2}}}.

Cette approche permet de définir les moyennes pour des listes de plus de deux nombres.

Position d'équilibre

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La moyenne peut aussi être concrétisée par le point d'équilibre d’unensemble fini demasses ponctuelles positionnées le long de ladroite numérique, comme sur unmobile.

Cette approche permet d’introduire naturellement la notion demoyenne pondérée. Par exemple, on peut souhaiter que la moyenne soit trois fois plus proche de la première valeur que de la deuxième. Entre 7 et 19, le nombre 10 est bien trois fois plus proche de 7 (avec un écart de 3) que de 19 (avec un écart de 9). On dit alors que 10 est la moyenne pondérée des nombres 7 et 19 avec les coefficients 3 et 1. On le trouve en calculant la somme pondérée que l’on divise par la somme des coefficients3×7+1×193+1=404=10{\displaystyle {\frac {3\times 7+1\times 19}{3+1}}={\frac {40}{4}}=10}.

Moyenne comme meilleure approximation

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Dans le cas où on cherche à évaluer une moyenne de plusieurs points, il vient naturellement de s'intéresser aux distances. La moyenne d'unn-uplet de points(x1, ... ,xn) dans un ensemble de réelsX devient alors la valeur qui minimise[4],[5]

D(x)=∑i=1nd(x,xi).{\displaystyle D(x)=\sum _{i=1}^{n}d(x,x_{i}).}

pour une distanced définie surX.

Le problème est que cette valeur minimale peut être atteinte en plusieurs points, voire ne pas être atteinte du tout.

Plusieurs moyennes sont induites par un problème de distance minimale :

En revanche, la mesure basée sur le symétrique dusymbole delta de Kronecker

d(x,y)=1−δxy={1six≠y0sinon{\displaystyle d(x,y)=1-\delta _{x\,y}={\begin{cases}1&\mathrm {si} \,x\neq y\\0&\mathrm {sinon} \end{cases}}}

ne donnera pas une valeur moyenne dun-uplet mais sonmode, et la distance usuelled(x,y) = |x – y| renvoie lamédiane.

Pour d'autres moyennes, comme lamoyenne logarithmique, le problème reste ouvert car aucune distance associée n'a été déterminée.

On peut aussi évoquer lamoyenne de Fréchet dans le cas où la fonctionnelle à minimiser est la variance de Fréchet[6] :

V(x)=∑i=1nd2(x,xi).{\displaystyle V(x)=\sum _{i=1}^{n}d^{2}(x,x_{i}).}

On parlera de moyenne de Karcher quand le minimum n'est pas atteint en un unique point, et de moyenne de Fréchet quand ce minimum est en un unique point.

Définition

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On appelle moyenne de deux nombresx ety, une fonctionnellem:R+×R+⟹R+{\displaystyle m:\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\Longrightarrow \mathbb {R} _{+}}continue vérifiant les propriétés suivantes :

Oscar Chisini donne unedéfinition moins restrictive (en) d'une moyenne « substitutive », où la moyenne dex ety par rapport àm est la valeurt telle que[7],[8] :

m(t,t)=m(x,y).{\displaystyle m(t,t)=m(x,y).}

Hardy,Littlewood etPólya, dans leur ouvrageInequalities définissent la moyenne d'un ensemble discret de nombres(x1, ...,xn) à partir d'une fonctionφ telle que, avecm=minixi,M=maxixi{\displaystyle m=\min _{i}x_{i},M=\max _{i}x_{i}},φ est continue et strictement monotone sur [m ,M], et pour un ensemble de poids(ω1, ..., ωn) strictement positifs et de somme égale à 1, la moyenne de(x1, ...,xn) est la valeurx telle que[9]:

φ(x¯)=∑i=1nωiφ(xi){\displaystyle \varphi ({\bar {x}})=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\varphi (x_{i})}

Propriétés

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Pour qu'une fonctionxm =m(x1, ... ,xn) d'unn-uplet de réelsx = (x1, ... ,xn) pris dans un ensembleX, puisse être utilisée comme moyenne dex :

On peut ajouter d'autres propriétés, comme l'homogénéité de degré 1 :

ou la symétrie : toutepermutation des coefficients dun-uplet ne change pas la valeur moyenne

ou encore la croissance, pourX=R+{\displaystyle \mathbf {X} =\mathbb {R} _{+}} :

Formulations

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Moyenne arithmétique

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Article détaillé :Moyenne arithmétique.

Pour toute liste(x1, ...,xn) de réels, on définit sa moyenne arithmétique par la formulex¯=1n∑i=1nxi{\displaystyle {\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}, qui ne dépend pas de l’ordre des termes et est toujours comprise entre les valeurs minimale et maximale de la liste.

Cette moyenne estlinéaire, c’est-à-dire que l’addition ou la multiplication par une constante sur les valeurs de la liste se traduit par la même opération sur la moyenne.

Pour calculer une moyenne sur une liste dans laquelle beaucoup de valeurs sont répétées, on peut noter(x1, ...,xk) la liste desvaleurs (sans répétition) et(n1, ...,nk) la liste deseffectifs (le nombre de fois qu’apparait chaque valeur dans la liste initiale). La moyenne s’écrit alorsx¯=1∑i=1kni∑i=1knixi{\displaystyle {\overline {x}}={1 \over \sum _{i=1}^{k}n_{i}}\sum _{i=1}^{k}{n_{i}x_{i}}}.

On retrouve la notion demoyenne pondérée, dans laquelle les facteursni ne représentent pas nécessairement des effectifs, mais des coefficients appeléspoids, par exemple pour calculer la moyenne de notes sur unbulletin scolaire dans lequel on souhaite accorder plus d’importance à certaines disciplines ou à certains devoirs, en leur attribuant un coefficient plus grand que les autres.

La moyenne arithmétique est aussi cumulative, c’est-à-dire que si la liste est partagée en plusieurs sous-listes, la moyenne de la liste globale est la moyenne pondérée des moyennes des sous-listes, avec pour coefficients de chaque sous-liste le nombre de termes concernés.

Moyennes généralisées

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Moyenne d'ordrep

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Article détaillé :Moyenne d'ordre p.

Étant donnée une liste(x1, ...,xn) de réels positifs (voire strictement positifs pour la moyenne harmonique), avec éventuellement une liste(m1, ...,mn) de poids associés, positifs et non tous nuls, on définit les moyennes usuelles suivantes.

Expressions des moyennes usuelles
NomMoyenne bruteMoyenne pondérée
moyenne arithmétiquex¯A=1n∑i=1nxi{\displaystyle {\overline {x}}_{\rm {A}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}∑i=1nmi⋅xi∑i=1nmi{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}{m_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{m_{i}}}}}
moyenne harmoniquex¯H=n∑i=1n1xi{\displaystyle {\overline {x}}_{\rm {H}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}}}}∑i=1nmi∑i=1nmixi{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}}{x_{i}}}}}}
moyenne géométriquex¯G=∏i=1nxin{\displaystyle {\overline {x}}_{\rm {G}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}(∏i=1nximi)1/∑i=1nmi{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{m_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}m_{i}}}
moyenne quadratiquex¯Q=1n∑i=1nxi2{\displaystyle {\overline {x}}_{\rm {Q}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}}}1∑i=1nmi∑i=1nmixi2{\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}m_{i}}}\sum _{i=1}^{n}{m_{i}x_{i}^{2}}}}}

Ces moyennes reprennent certaines propriétés de la moyenne arithmétique :

  • la moyenne ne dépend pas de l’ordre des termes ;
  • la moyenne est toujours comprise entre la valeur minimale et la valeur maximale de la liste ;
  • la moyenne esthomogène, c’est-à-dire que si toutes les valeurs de la liste sont multipliées par un même facteur, la moyenne est multipliée par ce même facteur ;
  • la moyenne est cumulative, c’est-à-dire que si la liste est partagée en plusieurs sous-listes, la moyenne de la liste globale est la moyenne pondérée des moyennes des sous-listes, avec pour coefficients de chaque sous-liste le nombre de termes concernés.
  • la moyenne est croissante (par rapport à chaquexi{\displaystyle x_{i}})

En outre, ces moyennes sont toujours ordonnées par les inégalités suivantes qui prolongent l’inégalité arithmético-géométrique :

x¯H⩽x¯G⩽x¯⩽x¯Q{\displaystyle {\overline {x}}_{\rm {H}}\leqslant {\overline {x}}_{\rm {G}}\leqslant {\overline {x}}\leqslant {\overline {x}}_{\rm {Q}}}

Toutes ces moyennes s’obtiennent sous la forme1n∑i=1nxipp{\displaystyle {\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}}} ou commelimite d’expressions sous cette forme, et entrent dans la définition de lamoyenne d'ordrep.Plus précisément, on retrouve :

  • pourp = 1, la moyenne arithmétique ;
  • pourp = 2, la moyenne quadratique ;
  • pourp = –1, la moyenne harmonique ;
  • lorsquep → 0, la limite dexp est la moyenne géométrique ;
  • lorsquep → +∞, la limite dexp est le maximum de la liste;
  • lorsquep → –∞, la limite dexp est le minimum de la liste.

Autres moyennes

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Parmi les autres moyennes de deux réels strictement positifs, on trouve :

Moyennes quasi-arithmétiques

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Article détaillé :Moyenne quasi-arithmétique.

On peut définir lamoyenne énergétique de la manière suivante :

x¯=10log10⁡(1n∑i=1n10xi/10){\displaystyle {\bar {x}}=10\log _{10}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{10^{x_{i}/10}}\right)\,}

C'est la moyenne de valeurs données endécibels, utilisées par exemple enacoustique.

Cette moyenne n’est pas homogène, mais elle reste cumulative, encadrée par le maximum et le minimum. Elle fait partie de la famille desmoyennes quasi-arithmétiques qui s’écrivent sous la formef−1(f(x)¯)=f−1(1n∑i=1nf(xi)){\displaystyle f^{-1}({\overline {f(x)}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)}, oùf est unefonction réellecontinue etstrictement croissante sur unintervalle contenant les valeurs de la liste, etf−1 est safonction réciproque. On retrouve en particulier les moyennes d'ordrep avec lesfonctions puissances ou avec la fonctionlogarithme. La moyenne énergétique s’obtient avec la fonctionx↦10x/10{\displaystyle x\mapsto 10^{x/10}}.

Moyenne arithmético-géométrique

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Article détaillé :Moyenne arithmético-géométrique.

À partir de deux nombresa etb, la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique fournissant deux nouveaux nombres, et l’on peutitérer le processus pour obtenir deuxsuites adjacentes quiconvergent vers un réel intermédiaire (parfois notéM(a,b)) appelémoyenne arithmético-géométrique et qui est relié à lalongueur d’uneellipse.

Cette définition n’est cependant pas cumulative, et ne s’étend donc pas à plus de deux valeurs.

Autres familles de moyennes

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On peut évoquer, pour deux réels strictement positifs :

Seiffert en personne a étudié les cas :
P=x−y2arcsin⁡(x−yx+y), T=x−y2arctan⁡(x−yx+y){\displaystyle P={\frac {x-y}{2\arcsin \left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}},\ T={\frac {x-y}{2\arctan \left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}}

Moyenne de Muirhead

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Article détaillé :Inégalité de Muirhead.

Étant donnée une liste(a1, … ,an) de réels et une liste(x1, … ,xn) de réels strictement positifs, laa-moyenne dex est égale à la moyenne arithmétique des monômes de la formex1aσ(1) × ⋯ ×xnaσ(n) lorsqueσ décrit l’ensemble des permutations de⟦1,n⟧.

Cette moyenne est homogène lorsque la somme des exposantsai est égale à 1, et appelée dans ce casmoyenne de Muirhead.

Dans le cas particuliern = 2, cette moyenne est appeléemoyenne de Heinz.

Moyennes comme une intégrale

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Pour deux nombres réelsa etb, Eves et Chen ont remarqué qu'on pouvait définir plusieurs moyennes par une fonction définie comme le rapport de deux intégrales similaires[16]. Plus précisément, pour une fonctionf positive, continue, strictement croissante sur ]0;1] et telle que∀s∈]0;1[,s<f(s)<1{\textstyle \forall s\in ]0;1[,s<f(s)<1}, alors

M(a,b)=bf(ab){\displaystyle M(a,b)=bf\left({\frac {a}{b}}\right)}

est bien une moyenne. De plus, en posant, pour une fonctionφ positive, continue, strictement croissante sur ]0;1], alors :

fφ(s)=∫s1xφ(x)dx∫s1φ(x)dx{\displaystyle f_{\varphi }(s)={\frac {\int _{s}^{1}x\varphi (x)\mathrm {d} x}{\int _{s}^{1}\varphi (x)\mathrm {d} x}}}

permet de définir une moyenne sur le modèle précédent.

Par exemple,φ(x) :=φt(x) =xt, on peut retrouver plusieurs moyennes définies plus haut :

  • le cast = –3 donne la moyenne harmonique ;
  • le cast = –3/2 donne la moyenne géométrique;
  • le cast = –1 donne la moyenne logarithmique ;
  • le cast = –1/2 donne la moyenne de Héron ;
  • le cast = 0 donne la moyenne arithmétique;
  • le cast = 1 donne lacentroid mean.

De plus, la monotonie def permet de retrouver les résultats d'inégalité entre les différentes moyennes.

Utilisations

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Évaluation globale

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La moyenne est beaucoup utilisée enévaluation scolaire. Dans de nombreux systèmes scolaires, une partie de l'évaluation des élèves débouche sur une note chiffrée, par exemple

  • en France, en Tunisie,Algérie et auMaroc : de 0 à 10 ou de 0 à 20 (0 étant la plus mauvaise note, 10 ou 20 la meilleure) ;
  • enSuisse : de 1 à 6 (1 étant la plus mauvaise note, 6 la meilleure) ;
  • enAllemagne : de 6 à 1 (6 étant la plus mauvaise note, 1 la meilleure) ;
  • au Canada : de 0 à 100 (0 étant la plus mauvaise note, 100 la meilleure) ;
  • auDanemark : de -3 à 12 (-3 étant la plus mauvaise note, 12 la meilleure).

On peut alors calculer la moyenne des notes d'une classe dans une matière, ou la moyenne des notes d'un élève dans une matière. Ces moyennes ont des sens différents :

  • la moyenne de la classe est censée représenter un « niveau global », si tant est que cela ait un sens ;
  • dans le cas d'un examen de grande ampleur, comme lebaccalauréat en France, où de nombreux élèves passent la même épreuve mais sont corrigés par différents professeurs, la différence des moyennes entre les groupes peut indiquer une différence de correction selon le professeur (certains étant plus sévères, d'autres plus tolérants), et l'on peut par exemple effectuer une correction de notes, une « mise en adéquation », afin que les groupes aient tous la même moyenne ; par exemple, sim1,m2… sont les moyennes des groupes etM la moyenne globale, alors les notes du groupei seront multipliées parM/mi ;
  • dans le cas d'un élève : la moyenne des notes sur une matière permet de niveler les résultats ; ainsi, si les résultats sont fluctuants, les faiblesses d'un moment sont rattrapées par les réussites d'un autre moment ;
  • la moyenne des notes d'un élève dans plusieurs matières est une autre manière de niveler les résultats, non plus dans le temps mais selon la matière : les points forts rattrapent les points faibles ; la moyenne est alors un critère de sélection, sachant que ce que l'on demande d'un élève, ce n'est pas qu'il soit bon partout, mais qu'il ait des qualités permettant de rattraper ses défauts ; lorsque certaines matières sont plus importantes que d'autres, on applique des coefficients de pondération (cf.infra).

Dans ces exemples, la moyenne est unlissage des valeurs. On peut bien sûr se demander si la moyenne est un critère pertinent de sélection (voirÉvaluation sommative) ; en général, ce n'est pas le seul critère qui entre en compte, à l'exception de certains examens et concours.

Statistique

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La moyenne est la valeur unique que devraient avoir tous lesindividus d'une population (ou d'unéchantillon) pour que leurtotal soit inchangé. C'est uncritère de position.

Dans la plupart des cas, letotal formé par les individus d'unepopulation est lasomme de leurs valeurs. La moyenne est alors lamoyenne arithmétique. Mais si letotal représenté par une population ou un échantillon n'est pas la somme de leurs valeurs, la moyenne pertinente ne sera plus la moyenne arithmétique.

Si, par exemple, letotal d'un ensemble d'individus est le produit de leurs valeurs, il convient de calculer leurmoyenne géométrique.

La moyenne ne peut donc se concevoir que pour unevariable quantitative. On ne peut pas faire le total des valeurs d'unevariable qualitative. Quand la variable estordinale, on lui préférera lamédiane.

Géométrie

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Lebarycentre d’un ensemble fini de points du plan ou de l’espace affine (éventuellement munis depoids positifs ou négatifs) est défini par une relation vectorielle et correspond essentiellement à la notion physique decentre de masse.

Lescoordonnées cartésiennes de ce barycentre dans unrepère sont alors données par la moyenne arithmétique pondérée des coordonnées des différents points.

Analyse

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Lelemme de Cesàro assure que pour toutesuiteuconvergente, la suite des moyennes partielles(1n+1∑k=0nuk)n∈N{\displaystyle \left({\dfrac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }} converge également vers la même limite.

Ce résultat permet d’étendre la notion de limite à des suites divergentes mais pour lesquelles la suite des moyennes partielles converge, comme la suite((−1)n)n⩾0, dont les moyennes partielles tendent vers 0, ou lasérie associée, appeléesérie de Grandi, à laquelle on attribue alors la limite1/2.

Ce procédé est utilisé par exemple dans la définition desomme de Fejér.

Probabilités

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Lamoyenne empirique d’unéchantillon devariables aléatoires réelles(X1, … ,Xn) est simplement la moyenne arithmétique de ces variables, notéeX¯{\displaystyle {\overline {X}}} ouX¯n{\displaystyle {\overline {X}}_{n}}. C’est une variable qui a la mêmeespérance que les variablesXi mais unevariance divisée parn (souscondition d'existence). Elle sert notamment commeestimateur (statistique) de l’espérance.

Physique

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Les règles de conservation sur les différentesgrandeurs physiques mènent à l’usage de moyennes différentes.

Ainsi, lacapacité électrique moyenne decondensateurs ensérie est lamoyenne harmonique de leurs capacités, comme larésistance (électricité) moyenne deconducteurs ohmiques enparallèle.

L’énergie cinétique dépendant linéairement ducarré de lavitesse, la vitesse moyenne d’un ensemble de particules enagitation thermique est la moyenne quadratique des vitesses individuelles.

Extensions de la notion de moyenne

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Au-delà des définitions précédentes de moyenne, il existe d'autres approches plus étendues pour cette notion :

Moyenne glissante (ou « mobile »)

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Article détaillé :Moyenne mobile.

Lamoyenne glissante est une notion statistique, où la moyenne, au lieu d'être calculée sur lesN valeurs fixes d'une liste, est calculée sur les sous-ensembles den valeurs consécutives de la liste (n<N). On remarquera que pour ce calcul, l'ordre d'apparition des termes dans la liste est essentiel. Cette notion permet par exemple d'exprimer une tendance dans le temps en observant l'évolution le la moyenne (« glissante ») calculée sur quelques mesures successives, dans une liste de mesures.

Ce type de calcul est aussi utilisé eninformatique pour minimiser la taille mémoire nécessaire au stockage des valeurs intermédiaires. Différentes formules de moyennes glissantes existent, par exemple pour une moyenne glissante de périoden :

x¯0=x0{\displaystyle {\bar {x}}_{0}=x_{0}} (une moyenne glissante de période 0 ne prend qu'un terme)
x¯n=x¯n−1⋅(n−1)+xnn{\displaystyle {\bar {x}}_{n}={\frac {{\bar {x}}_{n-1}\cdot (n-1)+x_{n}}{n}}} (formule derécurrence)

Moyenne tronquée (ou « réduite »)

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Article détaillé :Moyenne tronquée.

Unemoyenne tronquée est un calcul de moyenne arithmétique qui est appliqué après avoir ignoré les valeurs les plus extrêmes des données. L'idée de la troncation, opération dont le résultat s'appelle une troncature de l'ensemble des données, est de ne pas tenir compte des valeurs les plus éloignées, considérées alors comme aberrantes, et ainsi, dans le cas de la moyenne dite tronquée, de ne la calculer que sur un sous-ensemble « central » des données, la troncature. Notons que cette procédure est généralisable à d'autres estimateurs centraux.

Les statistiques tronquées, en anglaistrimmed estimators (en), ont été inventées pour pallier la sensibilité des statistiques aux valeurs aberrantes, ce qu'on appelle larobustesse statistique. Leur avantage sur la médiane et sur la moyenne arithmétique est d'allier la robustesse de la médiane, à la définition « collective » de la moyenne arithmétique, la formule de calcul ressemblant fort à celle de cette moyenne arithmétique, lui conférant un avantage psychologique sur la médiane dont le défaut majeur (!) est de ne pas s'écrire avec une formule simplement arithmétique.

Historiquement, cette technique a eu son heure de gloire dans la première moitié duXXe siècle comme méthode de « correction » des valeurs aberrantes, et avec l'apparition des premiers calculateurs, notamment, jusqu'aux travaux plus récents pour mieux cerner la notion de robustesse (Peter Rousseeuw (en)).

Moyenne pondérée

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Article détaillé :Moyenne pondérée.

Lamoyenne pondérée est utilisée, engéométrie pour localiser lebarycentre d'un polygone, en physique pour déterminer lecentre de gravité ou enstatistique etprobabilité pour calculer une espérance. On la calcule ainsi :

x¯=∑i=1nmi⋅xi∑i=1nmi{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{m_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{m_{i}}}}}

Dans le cas général lepoidsmi représente l'influence de l'élémentxi par rapport aux autres.

À noter qu'il s'agit ici de la moyenne pondérée arithmétique. Il existe aussi des versions pondérées des autres moyennes, comme lamoyenne géométrique pondérée et lamoyenne harmonique pondérée.

Valeur moyenne d'une fonction

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Pour toute fonctionfcontinue sur unsegment[a,b] non dégénéré (i. e.b >a) ou plus généralementintégrable sur]a,b[, lavaleur moyenne def sur[a,b] est le réel défini par :

m=1b−a×∫abf(x)dx{\displaystyle m={\frac {1}{b-a}}\times \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}.

L’inégalité de la moyenne permet d’encadrer cette valeur moyenne par desbornes de la fonction. Si la fonction est continue, lethéorème de la moyenne assure même l’existence d’un réelc ∈ ]a,b[ tel quem =f(c).

Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition ensérie de Fourier d'une fonction périodique : c'est la composante constante. Entraitement du signal, pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset).

On peut aussi, par analogie avec lesmoyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter « à chacune des valeurs prises par la fonction » un coefficient strictement positif. On utilise alors ce que l'on appelle une fonctionpoids

w:R⟶R+∗{\displaystyle w:\,\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{+*}}

(w pour l'initiale deweight, « poids » en anglais) :

mw=∫abf(x)⋅w(x)dx∫abw(x)dx{\displaystyle m_{w}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\cdot w(x)\,\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}w(x)\,\mathrm {d} x}}}.

Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (i. e. aucune de ses bornes n'est infinie) où la fonction ƒ×w est intégrable. On peut citer l'exemple classique servant à montrer l'orthogonalité de la famille despolynômes de Tchebychev :

2π∫[0;1[Tn(x)⋅Tp(x)1−x2dx{\displaystyle {2 \over \pi }\,\int _{[0;1[}{T_{n}(x)\cdot T_{p}(x) \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}

où la fonctionTn×Tp est continue sur le fermé [0,1] et où lafonction poids est

w:R⟶R+∗,x↦11−x2{\displaystyle w:\,\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{+*},\;x\mapsto {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}

est intégrable sur [0;1[, et dont l'intégrale vautπ2{\displaystyle \pi \over 2}.

Note : lorsque la fonction estpériodique de périodeT, elle a la même valeur moyenne sur toute période [a,a +T]. Cette valeur commune est appelée valeur moyenne de la fonction. Ainsi la fonction cosinus est de moyenne nulle, son carré de moyenne 1/2.

Notes et références

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  1. ↑(en) Francisco Javier Garcia Capitan, « Means as Chords »,Forum Geometricorum,vol. 8,‎,p. 99–101(ISSN 1534-1178).
  2. ↑Fabrice Mazerolle, « Moyenne Arithmétique »,(consulté le).
  3. ↑Stella Baruk, « Moyenne »,Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Éditions du Seuil, 1995.
  4. ↑(en) Mowaffaq Hajja, « Some Elementary Aspects of Means »,International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences,vol. 2013,‎(lire en ligne)
  5. ↑(en) Frank Deutsch,Best Approximations in Inner Product Spaces, Springer-Verlag,(lire en ligne), « 2. Best Approximation »
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